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2021-2022学年江苏省盐城市射阳外国语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）
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这是一份2021-2022学年江苏省盐城市射阳外国语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）|﹣|的相反数是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3
C．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 D．2x2（﹣xy）＝﹣x3y
3．（3分）2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）5月31日，参观上海世博会的游客约为505 000人．505 000用科学记数法表示为（ ）
A．505×103 B．5.05×103 C．5.05×104 D．5.05×105
6．（3分）将一副三角尺按如图的方式摆放，其中l1∥l2，则∠α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．70°
7．（3分）已知实数m，n满足条件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，则+的值是（ ）
A． B． C．或2 D．或2
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝k1x+4与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接BO，若S△OBC＝2，，则k2的值是（ ）
A．﹣20 B．20 C．﹣5 D．5
二、填空题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）16的平方根是 ．
10．（3分）分解因式：2x2﹣8y2＝ ．
11．（3分）已知一组数据8，3，m，2的众数为3，则这组数据的平均数是 ．
12．（3分）圆锥母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的侧面积为 （结果用带π的数的形式表示）．
13．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）
14．（3分）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝5，BD＝3，BC＝4，则DE长为 ．
15．（3分）如图，点E在线段AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AC＝1，AB＝5，EB＝2，点P是射线BD上的一个动点，则当BP＝ 时，△CEA与△EPB相似．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为 ．
三、解答题。（本大题共11小题，共102分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组：
19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣2．
20．（8分）一次函数y1＝﹣2x+b的图象交x轴于点A、与正比例函数y2＝2x的图象交于点M（m，m+2），
（1）求点M坐标；
（2）求b值；
（3）点O为坐标原点，试确定△AOM的形状，并说明你的理由．
21．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝12，tan∠A＝．
（1）尺规作图：以AC为直径作⊙O，与AB交于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求⊙O的半径长度．
22．（10分）袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字：1，2，3，4，5，6．
（1）从袋中摸出一个小球，求小球上数字小于3的概率；
（2）将标有1，2，3数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球，求数字之和为偶数的概率．（要求用列表法或画树状图求解）
23．（10分）某中学学生为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类），并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）参加调查的学生共有 人，在扇形图中，表示“其他球类”的扇形的圆心角为 度；
（2）将条形图补充完整；
（3）若该校有2000名学生，则估计喜欢“篮球”的学生共有 人．
24．（10分）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC＝1：2．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AD＝3，求△ABC的面积．
26．（12分）已知矩形MBCD的顶点M是线段AB上一动点，AB＝BC，矩形MBCD的对角线交于点O，连接MO，BO．点P为射线OB上一动点（与点B不重合），连接PM，作PN⊥PM交射线CB于点N．
（1）如图1，当点M与点A重合时，且点P在线段OB上．
①依题意补全图1；
②写出线段PM与PN的数量关系并证明．
（2）如图2，若∠OMB＝α，当点P在OB的延长线上时，请补全图形并直接写出PM与PN的数量关系．
27．（14分）如图，二次函数y＝﹣x2+mx+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在函数图象上，CD∥x轴且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）则m＝ 、A点的坐标 、B点的坐标 、E点的坐标 ；
（2）如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴上是否存在点T，使得线段TA绕点T顺时针旋转90°后，点A的对应点A'恰好也落在此抛物线上？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图3，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，直接写出Q的坐标；若不存在，说明理由．
2021-2022学年江苏省盐城市射阳外国语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）|﹣|的相反数是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及相反数性质计算即可求出值．
【解答】解：|﹣|＝，的相反数是﹣．
故选：D．
【点评】此题考查了绝对值，以及相反数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3
C．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 D．2x2（﹣xy）＝﹣x3y
【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，平方差公式以及单项式乘单项式的运算在逐一判断即可．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、（﹣2x2y）3＝﹣8x6y3，故本选项不合题意；
C、（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，故本选项不合题意；
D、2x2（﹣xy）＝﹣x3y，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，单项式乘单项式，平方差公式以及积的乘方，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
3．（3分）2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（3分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从物体的左面看得到的图形解答．
【解答】解：从左边看到的现状是A中图形，
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
5．（3分）5月31日，参观上海世博会的游客约为505 000人．505 000用科学记数法表示为（ ）
A．505×103 B．5.05×103 C．5.05×104 D．5.05×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：505 000用科学记数法表示为5.05×105．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．（3分）将一副三角尺按如图的方式摆放，其中l1∥l2，则∠α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．70°
【分析】依据平行线的性质，可得∠ABC，再根据∠CBD＝90°，即可得到∠α＝90°﹣30°＝60°．
【解答】解：如图所示，∵l1∥l2，
∴∠A＝∠ABC＝30°，
又∵∠CBD＝90°，
∴∠α＝90°﹣30°＝60°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
7．（3分）已知实数m，n满足条件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，则+的值是（ ）
A． B． C．或2 D．或2
【分析】分m＝n及m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根两种情况考虑，当m＝n时，+＝2；当m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根时，根据根与系数的关系可得出m+n＝7，mn＝2，将其代入+＝中即可求出结论．综上，此题得解．
【解答】解：∵实数m，n满足条件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，
∴m＝n或m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根．
当m＝n时，+＝1+1＝2；
当m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根时，
m+n＝7，mn＝2，
∴+＝＝＝．
综上所述，+的值为2或．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减法，分m＝n及m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根两种情况求出+的值是解题的关键．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝k1x+4与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接BO，若S△OBC＝2，，则k2的值是（ ）
A．﹣20 B．20 C．﹣5 D．5
【分析】先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．
【解答】解：∵直线y＝k1x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，4），
∴OC＝4，
过B作BD⊥y轴于D，
∵S△OBC＝2，
∴BD＝1，
∵，
∴＝，
∴OD＝5，
∴点B的坐标为（1，5），
∵反比例函数在第一象限内的图象交于点B，
∴k2＝1×5＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．
二、填空题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）16的平方根是 ±4 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
10．（3分）分解因式：2x2﹣8y2＝ 2（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】观察原式2x2﹣8y2，找到公因式2，提出公因式后发现x2﹣4y2符合平方差公式，所以利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：2x2﹣8y2＝2（x2﹣4y2）＝2（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：2（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法（平方差公式）．要求灵活运用各种方法进行因式分解．
11．（3分）已知一组数据8，3，m，2的众数为3，则这组数据的平均数是 4 ．
【分析】直接利用众数的定义得出m的值，进而求出平均数；
【解答】解：∵一组数据8，3，m，2的众数为3，
∴m＝3，
∴这组数据的平均数：＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了平均数和众数，解题的关键是正确理解各概念的含义．
12．（3分）圆锥母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的侧面积为 12π （结果用带π的数的形式表示）．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×6÷2＝12π，
故答案为：12π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积的计算方法．
13．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为 π﹣2 （结果保留π）
【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形BOC的面积与△BOC的面积之差，从而可以解答本题．
【解答】解：∵∠BAC＝45°，OB＝2，
∴∠BOC＝90°，
∴图中阴影部分的面积为：＝π﹣2，
故答案为：π﹣2．
【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式解答．
14．（3分）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝5，BD＝3，BC＝4，则DE长为 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC
∴，
∴＝，
∴DE＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，利用平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例是解答此题的关键．
15．（3分）如图，点E在线段AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AC＝1，AB＝5，EB＝2，点P是射线BD上的一个动点，则当BP＝ 或6 时，△CEA与△EPB相似．
【分析】先根据已知条件得出AE＝3，再分△CAE∽△PBE和△CAE∽△EBP两种情况，利用相似三角形的对应边成比例分别求解可得．
【解答】解：∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
又∵AB＝5，EB＝2，
∴AE＝AB﹣EB＝3，
①当△CAE∽△PBE时，＝，即＝，
解得：PB＝；
②当△CAE∽△EBP时，＝，即＝，
解得：BP＝6；
综上，当BP＝或6时，△CEA与△EPB相似．
故答案为：或6．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为 ．
【分析】由题意易证△BDE≌△DCF，从而得到∠DEB＝∠DFC，再由平角的定义和四边形内角和定理可得∠BPD＝120°，由于点P在运动中保持∠BPD＝120°，所以点P的路径是一段以A为圆心，以AD为半径的弧，连接AC交弧于点P，此时CP的长度最小，或得最小值CP即可．
【解答】解：如图1，连接BD，
Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，
∴AB＝，AC＝，
∵△ADC与△ABC关于AC对称，
∴BC＝DC，∠ACD＝∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD＝CD，∠BDC＝∠BCD＝60°，
∵DE＝CF，
∴△BDE≌△DCF（SAS），
∴∠BED＝∠DFC，
∵∠BED+∠PEC＝180°，
∴∠PEC+∠DFC＝180°，
∴∠DCF+∠EPF＝∠DCF+∠BPD＝180°，
∵∠DCF＝60°，
∴∠BPD＝120°，
由于点P在运动中保持∠BPD＝120°，
如图2，∴点P的运动路径为：以A为圆心，AB为半径的120°的弧，
连接AC与圆弧的交点即为点P，此时CP的长度最小，
∴CP＝AC﹣AP＝﹣＝，
则线段CP的最小值为；
故答案为：．
【点评】本题考查了对称性，全等三角形的判定与性质，直角三角形30度角的性质，圆的性质，知道线段最短时点的位置，并能确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点．
三、解答题。（本大题共11小题，共102分）
17．（6分）计算：．
【分析】先根据零指数幂，负整数指数幂，平方根的定义及特殊角的三角形函数值化简，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝1+3﹣2+2×
＝4﹣2+
＝4﹣．
【点评】本题属于实数的运算，主要考查二次根式的化简，负整数指数幂，零整数指数幂，特殊角的三角函数值等知识，熟知相关定义是解题关键．
18．（6分）解不等式组：
【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再求出它们的公共解即可．
【解答】解：原不等式组可化为．
即．
所以原不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
【点评】解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣2．
【分析】把分式进行化简，再把x的值代入即可求出结果．
【解答】解：原式＝．
当时，原式＝．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算﹣化简求值问题，在解题时要乘法公式的应用进行化简．
20．（8分）一次函数y1＝﹣2x+b的图象交x轴于点A、与正比例函数y2＝2x的图象交于点M（m，m+2），
（1）求点M坐标；
（2）求b值；
（3）点O为坐标原点，试确定△AOM的形状，并说明你的理由．
【分析】（1）把点M（m，m+2）代入y2＝2x即可得到结论；
（2）把点M坐标（2，4）代入y1＝﹣2x+b即可得到结论；
（3）求得A（4，0），得到OA＝4，OM＝2，AM＝＝2，于是得到结论．
【解答】解：（1）把点M（m，m+2）代入y2＝2x得，m+2＝2m，
∴m＝2，
∴点M坐标（2，4）；
（2）把点M坐标（2，4）代入y1＝﹣2x+b中得4＝﹣2×2+b，
∴b＝8；
（3）△AOM是等腰三角形，
理由：由（2）知，b＝8，
∴y1＝﹣2x+8，
令y＝0，则x＝4，
∴A（4，0），
∴OA＝4，OM＝2，AM＝＝2，
∴OM＝AM，
∴△AOM是等腰三角形．
【点评】本题考查了两直线平行或相交问题，勾股定理，等腰三角形的判定，正确的理解题意是解题的关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝12，tan∠A＝．
（1）尺规作图：以AC为直径作⊙O，与AB交于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求⊙O的半径长度．
【分析】（1）作AC的垂直平分线得到AC的中点，然后以O为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）如图，连接CD，根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，再根据等腰三角形的性质得到AD＝BD＝6，接着利用正切的定义求出CD，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所作；
（2）如图，连接CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AB，
∵AC＝BC，
∴AD＝BD＝AB＝×12＝6，
在Rt△ACD中，∵tan∠A＝＝，
∴CD＝ AD＝×6＝2，
∴AC＝＝＝，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
22．（10分）袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字：1，2，3，4，5，6．
（1）从袋中摸出一个小球，求小球上数字小于3的概率；
（2）将标有1，2，3数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球，求数字之和为偶数的概率．（要求用列表法或画树状图求解）
【分析】（1）让小球上数字小于3的数的个数除以球的总数即为所求的概率；
（2）此题需要两步完成，采用列表法或者采用树状图法都可以．
【解答】解：（1）小于3的概率；（4分）
（2）列表如下：
（8分）
从表或树状图中可以看出其和共有9种等可能结果，其中是偶数的有4种结果，所以和为偶数的概率．（10分）
【点评】考查的是用列表法或树状图法求概率．
列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两部以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）某中学学生为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类），并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）参加调查的学生共有 300 人，在扇形图中，表示“其他球类”的扇形的圆心角为 36 度；
（2）将条形图补充完整；
（3）若该校有2000名学生，则估计喜欢“篮球”的学生共有 800 人．
【分析】（1）本题需根据喜欢乒乓球的人数和所占的百分比即可求出参加调查的学生总数，用360°乘以喜欢“其他球类”的学生所占的百分比即可得出圆心角的度数；
（2）本题需先求出喜欢足球的学生人数即可将条形图补充完整；
（3）本题需先求出喜欢“篮球”的学生所占的百分比即可得出该校喜欢“篮球”的学生人数．
【解答】解：（1）参加调查的学生共有60÷20%＝300（人），
表示“其他球类”的扇形的圆心角为：360×＝36°
故答案为：300，36；
（2）喜欢足球的学生人数为：300﹣120﹣60﹣30＝90（人），条形图如图．
（3）喜欢“篮球”的学生共有：
2000×＝800（人）
故答案为：800．
【点评】本题主要考查了条形图和扇形图，在解题时要注意灵活应用条形图和扇形图之间的关系是本题的关键．
24．（10分）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．
【分析】利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上1.5即为这幢教学楼的高度AB．
【解答】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，
∴FG＝＝＝AG．
在Rt△ACG中，tan∠ACG＝，
∴CG＝＝AG．
又CG﹣FG＝40，
即AG﹣AG＝40，
∴AG＝20，
∴AB＝20+1.5．
答：这幢教学楼的高度AB为（20+1.5）米．
【点评】构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC＝1：2．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AD＝3，求△ABC的面积．
【分析】（1）首先连接OC，由PE是⊙O的切线，AE和过点C的切线互相垂直，可证得OC∥AE，又由OA＝OC，易证得∠DAC＝∠OAC，即可得AC平分∠BAD；
（2）由AB是⊙O的直径，PE是切线，可证得∠PCB＝∠PAC，即可证得△PCB∽△PAC，然后由相似三角形的对应边成比例与PB：PC＝1：2，即可求得答案；
（3）首先过点O作OH⊥AD于点H，则AH＝AD＝，四边形OCEH是矩形，即可得AE＝+OC，由OC∥AE，可得△PCO∽△PEA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OC的长，再由△PBC∽△PCA，证得AC＝2BC，然后在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，可得（2BC）2+BC2＝52，即可求得BC的长，继而求得答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵PE是⊙O的切线，
∴OC⊥PE，
∵AE⊥PE，
∴OC∥AE，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠BAD；
（2）线段PB，AB之间的数量关系为：AB＝3PB．
理由：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∵∠PCB+∠OCB＝90°，
∴∠PCB＝∠PAC，
∵∠P是公共角，
∴△PCB∽△PAC，
∴，
∴PC2＝PB•PA，
∵PB：PC＝1：2，
∴PC＝2PB，
∴PA＝4PB，
∴AB＝3PB；
（3）解：过点O作OH⊥AD于点H，则AH＝AD＝，四边形OCEH是矩形，
∴OC＝HE，
∴AE＝+OC，
∵OC∥AE，
∴△PCO∽△PEA，
∴，
∵AB＝3PB，AB＝2OB，
∴OB＝PB，
∴＝，
∴OC＝，
∴AB＝5，
∵△PBC∽△PCA，
∴，
∴AC＝2BC，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴（2BC）2+BC2＝52，
∴BC＝，
∴AC＝2，
∴S△ABC＝AC•BC＝5．
【点评】此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
26．（12分）已知矩形MBCD的顶点M是线段AB上一动点，AB＝BC，矩形MBCD的对角线交于点O，连接MO，BO．点P为射线OB上一动点（与点B不重合），连接PM，作PN⊥PM交射线CB于点N．
（1）如图1，当点M与点A重合时，且点P在线段OB上．
①依题意补全图1；
②写出线段PM与PN的数量关系并证明．
（2）如图2，若∠OMB＝α，当点P在OB的延长线上时，请补全图形并直接写出PM与PN的数量关系．
【分析】（1）①根据题意画出图形即可；
②证明△PMG≌△PNH（AAS），由全等三角形的性质可得出结论；
（2）证得∠OBM＝∠MNP＝α，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】解：（1）①补全图形如图1．
②线段PM与PN的数量关系为：PM＝PN．
证明：过点P分别作PG⊥MB于G，PH⊥BC于H，线段PN交MB于点F．如图2．
∵四边形MBCD是矩形，AB＝BC，
∴四边形MBCD是正方形．
∴BO平分∠MBC，∠MBC＝90°．
∵PG⊥MB，PH⊥BC，
∴PG＝PH，∠PHB＝∠PGM＝90°．
∵PM⊥PN，∠MBC＝90°，
∴∠MPN＝∠GBN＝90°．
∵∠MFP＝∠BFN，
∴∠PMG＝∠PNH．
∴△PMG≌△PNH（AAS）．
∴PM＝PN．
（2）补全图形如图3．
．
线段PM与PN的数量关系为：．
连接MN，
∵矩形MBCD的对角线交于点O，
∴OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM＝α，
∵∠MBN＝90°，∠MPN＝90°，
∴B、P、N、M四点共圆，
∴∠PBN＝∠PMN，
∵∠OBM+∠PBN＝90°，∠PMN+∠MNP＝90°，
∴∠OBM＝∠MNP＝α，
∴tanα＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
27．（14分）如图，二次函数y＝﹣x2+mx+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在函数图象上，CD∥x轴且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）则m＝ 2 、A点的坐标 （﹣1，0） 、B点的坐标 （3，0） 、E点的坐标 （1，4） ；
（2）如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴上是否存在点T，使得线段TA绕点T顺时针旋转90°后，点A的对应点A'恰好也落在此抛物线上？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图3，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，直接写出Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由抛物线的对称性可求m的值，即可求解；
（2）可设F（0，a），则可表示出F′的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F′坐标代入直线BE解析式可得到关于a的方程，可求得F点的坐标；
（3）分两种情况讨论，利用旋转的性质和全等三角形的性质可求解；
（4）设点P坐标为（n，0），可表示出PA、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标．
【解答】解：（1）∵CD∥x轴，CD＝2，
∴抛物线对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
∴m＝2，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点E（1，4），
∵二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，
∴0＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
故答案为：2，（﹣1，0），（3，0），（1，4）；
（2）设点F的坐标为（0，a），
∵对称轴为直线x＝1，
∴点F关于直线l的对称点F′的坐标为（2，a），
∵直线BE经过点B（3，0），E（1，4），
∴直线BE的表达式为y＝﹣2x+6，
∵点F′在BE上，
∴a＝﹣2×2+6＝2，
∴点F的坐标为（0，2）；
（3）如图2﹣1，若点T在x轴上方时，设对称轴与x轴交点为G点，过点A'作A'H⊥EG于H点，
设T（1，c），则TG＝c，
∵将线段TA绕点T顺时针旋转90°，
∴AT＝A'T，∠ATA'＝90°，
∴∠ATG+∠A'TH＝90°，
又∵∠ATG+∠TAG＝90°，
∴∠A'TH＝∠TAG，
又∵∠A'HT＝∠AGT＝90°，
∴△ATG≌△TA'H（AAS），
∴AG＝HT＝2，TG＝A'H＝c，
∴点A'（1﹣c，c+2），
∵点A'在抛物线上，
∴c+2＝﹣（1﹣c﹣1）2+4，
∴c1＝1，c2＝﹣2（舍去），
∴点T（1，1）；
若点T在x轴下方时，
当AG＝GT＝GB＝2时，
∴∠GAT＝∠ATG＝45°＝∠ABT＝∠BTG，
∴AT＝BT，∠ATB＝90°，
∴线段TA绕点T顺时针旋转90°得到TB，
∴点T（1，﹣2），
综上所述：点T坐标为（1，1）或（1，﹣2）；
（4）存在点Q满足题意．
设点P坐标为（n，0），则PA＝n+1，PB＝PM＝3﹣n，PN＝﹣n2+2n+3．
作QR⊥PN，垂足为R，
∵S△PQN＝S△APM，
∴（n+1）（3﹣n）＝（﹣n2+2n+3）•QR，
∴QR＝1．
①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，﹣n2+4n），R点的坐标为（n，﹣n2+4n），N点的坐标为（n，﹣n2+2n+3）．
∴在Rt△QRN中，NQ2＝1+（2n﹣3）2，
∴n＝时，NQ取最小值1，
此时Q点的坐标为（ ，）；
②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，﹣n2+4）．
同理，NQ2＝1+（2n﹣1）2，
∴n＝时，NQ取最小值1，
此时Q点的坐标为（，）；
综上所述可得：存在满足题意的点Q，其坐标为（，）或（，）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
1
2
3
4
5
6
7
5
6
7
8
6
7
8
9
1．（3分）|﹣|的相反数是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3
C．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 D．2x2（﹣xy）＝﹣x3y
3．（3分）2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）5月31日，参观上海世博会的游客约为505 000人．505 000用科学记数法表示为（ ）
A．505×103 B．5.05×103 C．5.05×104 D．5.05×105
6．（3分）将一副三角尺按如图的方式摆放，其中l1∥l2，则∠α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．70°
7．（3分）已知实数m，n满足条件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，则+的值是（ ）
A． B． C．或2 D．或2
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝k1x+4与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接BO，若S△OBC＝2，，则k2的值是（ ）
A．﹣20 B．20 C．﹣5 D．5
二、填空题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）16的平方根是 ．
10．（3分）分解因式：2x2﹣8y2＝ ．
11．（3分）已知一组数据8，3，m，2的众数为3，则这组数据的平均数是 ．
12．（3分）圆锥母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的侧面积为 （结果用带π的数的形式表示）．
13．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）
14．（3分）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝5，BD＝3，BC＝4，则DE长为 ．
15．（3分）如图，点E在线段AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AC＝1，AB＝5，EB＝2，点P是射线BD上的一个动点，则当BP＝ 时，△CEA与△EPB相似．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为 ．
三、解答题。（本大题共11小题，共102分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组：
19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣2．
20．（8分）一次函数y1＝﹣2x+b的图象交x轴于点A、与正比例函数y2＝2x的图象交于点M（m，m+2），
（1）求点M坐标；
（2）求b值；
（3）点O为坐标原点，试确定△AOM的形状，并说明你的理由．
21．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝12，tan∠A＝．
（1）尺规作图：以AC为直径作⊙O，与AB交于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求⊙O的半径长度．
22．（10分）袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字：1，2，3，4，5，6．
（1）从袋中摸出一个小球，求小球上数字小于3的概率；
（2）将标有1，2，3数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球，求数字之和为偶数的概率．（要求用列表法或画树状图求解）
23．（10分）某中学学生为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类），并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）参加调查的学生共有 人，在扇形图中，表示“其他球类”的扇形的圆心角为 度；
（2）将条形图补充完整；
（3）若该校有2000名学生，则估计喜欢“篮球”的学生共有 人．
24．（10分）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC＝1：2．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AD＝3，求△ABC的面积．
26．（12分）已知矩形MBCD的顶点M是线段AB上一动点，AB＝BC，矩形MBCD的对角线交于点O，连接MO，BO．点P为射线OB上一动点（与点B不重合），连接PM，作PN⊥PM交射线CB于点N．
（1）如图1，当点M与点A重合时，且点P在线段OB上．
①依题意补全图1；
②写出线段PM与PN的数量关系并证明．
（2）如图2，若∠OMB＝α，当点P在OB的延长线上时，请补全图形并直接写出PM与PN的数量关系．
27．（14分）如图，二次函数y＝﹣x2+mx+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在函数图象上，CD∥x轴且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）则m＝ 、A点的坐标 、B点的坐标 、E点的坐标 ；
（2）如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴上是否存在点T，使得线段TA绕点T顺时针旋转90°后，点A的对应点A'恰好也落在此抛物线上？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图3，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，直接写出Q的坐标；若不存在，说明理由．
2021-2022学年江苏省盐城市射阳外国语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）|﹣|的相反数是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及相反数性质计算即可求出值．
【解答】解：|﹣|＝，的相反数是﹣．
故选：D．
【点评】此题考查了绝对值，以及相反数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3
C．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 D．2x2（﹣xy）＝﹣x3y
【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，平方差公式以及单项式乘单项式的运算在逐一判断即可．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、（﹣2x2y）3＝﹣8x6y3，故本选项不合题意；
C、（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，故本选项不合题意；
D、2x2（﹣xy）＝﹣x3y，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，单项式乘单项式，平方差公式以及积的乘方，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
3．（3分）2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（3分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从物体的左面看得到的图形解答．
【解答】解：从左边看到的现状是A中图形，
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
5．（3分）5月31日，参观上海世博会的游客约为505 000人．505 000用科学记数法表示为（ ）
A．505×103 B．5.05×103 C．5.05×104 D．5.05×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：505 000用科学记数法表示为5.05×105．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．（3分）将一副三角尺按如图的方式摆放，其中l1∥l2，则∠α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．70°
【分析】依据平行线的性质，可得∠ABC，再根据∠CBD＝90°，即可得到∠α＝90°﹣30°＝60°．
【解答】解：如图所示，∵l1∥l2，
∴∠A＝∠ABC＝30°，
又∵∠CBD＝90°，
∴∠α＝90°﹣30°＝60°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
7．（3分）已知实数m，n满足条件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，则+的值是（ ）
A． B． C．或2 D．或2
【分析】分m＝n及m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根两种情况考虑，当m＝n时，+＝2；当m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根时，根据根与系数的关系可得出m+n＝7，mn＝2，将其代入+＝中即可求出结论．综上，此题得解．
【解答】解：∵实数m，n满足条件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，
∴m＝n或m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根．
当m＝n时，+＝1+1＝2；
当m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根时，
m+n＝7，mn＝2，
∴+＝＝＝．
综上所述，+的值为2或．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减法，分m＝n及m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根两种情况求出+的值是解题的关键．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝k1x+4与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接BO，若S△OBC＝2，，则k2的值是（ ）
A．﹣20 B．20 C．﹣5 D．5
【分析】先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．
【解答】解：∵直线y＝k1x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，4），
∴OC＝4，
过B作BD⊥y轴于D，
∵S△OBC＝2，
∴BD＝1，
∵，
∴＝，
∴OD＝5，
∴点B的坐标为（1，5），
∵反比例函数在第一象限内的图象交于点B，
∴k2＝1×5＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．
二、填空题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）16的平方根是 ±4 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
10．（3分）分解因式：2x2﹣8y2＝ 2（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】观察原式2x2﹣8y2，找到公因式2，提出公因式后发现x2﹣4y2符合平方差公式，所以利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：2x2﹣8y2＝2（x2﹣4y2）＝2（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：2（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法（平方差公式）．要求灵活运用各种方法进行因式分解．
11．（3分）已知一组数据8，3，m，2的众数为3，则这组数据的平均数是 4 ．
【分析】直接利用众数的定义得出m的值，进而求出平均数；
【解答】解：∵一组数据8，3，m，2的众数为3，
∴m＝3，
∴这组数据的平均数：＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了平均数和众数，解题的关键是正确理解各概念的含义．
12．（3分）圆锥母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的侧面积为 12π （结果用带π的数的形式表示）．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×6÷2＝12π，
故答案为：12π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积的计算方法．
13．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为 π﹣2 （结果保留π）
【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形BOC的面积与△BOC的面积之差，从而可以解答本题．
【解答】解：∵∠BAC＝45°，OB＝2，
∴∠BOC＝90°，
∴图中阴影部分的面积为：＝π﹣2，
故答案为：π﹣2．
【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式解答．
14．（3分）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝5，BD＝3，BC＝4，则DE长为 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC
∴，
∴＝，
∴DE＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，利用平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例是解答此题的关键．
15．（3分）如图，点E在线段AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AC＝1，AB＝5，EB＝2，点P是射线BD上的一个动点，则当BP＝ 或6 时，△CEA与△EPB相似．
【分析】先根据已知条件得出AE＝3，再分△CAE∽△PBE和△CAE∽△EBP两种情况，利用相似三角形的对应边成比例分别求解可得．
【解答】解：∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
又∵AB＝5，EB＝2，
∴AE＝AB﹣EB＝3，
①当△CAE∽△PBE时，＝，即＝，
解得：PB＝；
②当△CAE∽△EBP时，＝，即＝，
解得：BP＝6；
综上，当BP＝或6时，△CEA与△EPB相似．
故答案为：或6．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为 ．
【分析】由题意易证△BDE≌△DCF，从而得到∠DEB＝∠DFC，再由平角的定义和四边形内角和定理可得∠BPD＝120°，由于点P在运动中保持∠BPD＝120°，所以点P的路径是一段以A为圆心，以AD为半径的弧，连接AC交弧于点P，此时CP的长度最小，或得最小值CP即可．
【解答】解：如图1，连接BD，
Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，
∴AB＝，AC＝，
∵△ADC与△ABC关于AC对称，
∴BC＝DC，∠ACD＝∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD＝CD，∠BDC＝∠BCD＝60°，
∵DE＝CF，
∴△BDE≌△DCF（SAS），
∴∠BED＝∠DFC，
∵∠BED+∠PEC＝180°，
∴∠PEC+∠DFC＝180°，
∴∠DCF+∠EPF＝∠DCF+∠BPD＝180°，
∵∠DCF＝60°，
∴∠BPD＝120°，
由于点P在运动中保持∠BPD＝120°，
如图2，∴点P的运动路径为：以A为圆心，AB为半径的120°的弧，
连接AC与圆弧的交点即为点P，此时CP的长度最小，
∴CP＝AC﹣AP＝﹣＝，
则线段CP的最小值为；
故答案为：．
【点评】本题考查了对称性，全等三角形的判定与性质，直角三角形30度角的性质，圆的性质，知道线段最短时点的位置，并能确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点．
三、解答题。（本大题共11小题，共102分）
17．（6分）计算：．
【分析】先根据零指数幂，负整数指数幂，平方根的定义及特殊角的三角形函数值化简，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝1+3﹣2+2×
＝4﹣2+
＝4﹣．
【点评】本题属于实数的运算，主要考查二次根式的化简，负整数指数幂，零整数指数幂，特殊角的三角函数值等知识，熟知相关定义是解题关键．
18．（6分）解不等式组：
【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再求出它们的公共解即可．
【解答】解：原不等式组可化为．
即．
所以原不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
【点评】解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣2．
【分析】把分式进行化简，再把x的值代入即可求出结果．
【解答】解：原式＝．
当时，原式＝．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算﹣化简求值问题，在解题时要乘法公式的应用进行化简．
20．（8分）一次函数y1＝﹣2x+b的图象交x轴于点A、与正比例函数y2＝2x的图象交于点M（m，m+2），
（1）求点M坐标；
（2）求b值；
（3）点O为坐标原点，试确定△AOM的形状，并说明你的理由．
【分析】（1）把点M（m，m+2）代入y2＝2x即可得到结论；
（2）把点M坐标（2，4）代入y1＝﹣2x+b即可得到结论；
（3）求得A（4，0），得到OA＝4，OM＝2，AM＝＝2，于是得到结论．
【解答】解：（1）把点M（m，m+2）代入y2＝2x得，m+2＝2m，
∴m＝2，
∴点M坐标（2，4）；
（2）把点M坐标（2，4）代入y1＝﹣2x+b中得4＝﹣2×2+b，
∴b＝8；
（3）△AOM是等腰三角形，
理由：由（2）知，b＝8，
∴y1＝﹣2x+8，
令y＝0，则x＝4，
∴A（4，0），
∴OA＝4，OM＝2，AM＝＝2，
∴OM＝AM，
∴△AOM是等腰三角形．
【点评】本题考查了两直线平行或相交问题，勾股定理，等腰三角形的判定，正确的理解题意是解题的关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝12，tan∠A＝．
（1）尺规作图：以AC为直径作⊙O，与AB交于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求⊙O的半径长度．
【分析】（1）作AC的垂直平分线得到AC的中点，然后以O为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）如图，连接CD，根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，再根据等腰三角形的性质得到AD＝BD＝6，接着利用正切的定义求出CD，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所作；
（2）如图，连接CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AB，
∵AC＝BC，
∴AD＝BD＝AB＝×12＝6，
在Rt△ACD中，∵tan∠A＝＝，
∴CD＝ AD＝×6＝2，
∴AC＝＝＝，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
22．（10分）袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字：1，2，3，4，5，6．
（1）从袋中摸出一个小球，求小球上数字小于3的概率；
（2）将标有1，2，3数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球，求数字之和为偶数的概率．（要求用列表法或画树状图求解）
【分析】（1）让小球上数字小于3的数的个数除以球的总数即为所求的概率；
（2）此题需要两步完成，采用列表法或者采用树状图法都可以．
【解答】解：（1）小于3的概率；（4分）
（2）列表如下：
（8分）
从表或树状图中可以看出其和共有9种等可能结果，其中是偶数的有4种结果，所以和为偶数的概率．（10分）
【点评】考查的是用列表法或树状图法求概率．
列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两部以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）某中学学生为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类），并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）参加调查的学生共有 300 人，在扇形图中，表示“其他球类”的扇形的圆心角为 36 度；
（2）将条形图补充完整；
（3）若该校有2000名学生，则估计喜欢“篮球”的学生共有 800 人．
【分析】（1）本题需根据喜欢乒乓球的人数和所占的百分比即可求出参加调查的学生总数，用360°乘以喜欢“其他球类”的学生所占的百分比即可得出圆心角的度数；
（2）本题需先求出喜欢足球的学生人数即可将条形图补充完整；
（3）本题需先求出喜欢“篮球”的学生所占的百分比即可得出该校喜欢“篮球”的学生人数．
【解答】解：（1）参加调查的学生共有60÷20%＝300（人），
表示“其他球类”的扇形的圆心角为：360×＝36°
故答案为：300，36；
（2）喜欢足球的学生人数为：300﹣120﹣60﹣30＝90（人），条形图如图．
（3）喜欢“篮球”的学生共有：
2000×＝800（人）
故答案为：800．
【点评】本题主要考查了条形图和扇形图，在解题时要注意灵活应用条形图和扇形图之间的关系是本题的关键．
24．（10分）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．
【分析】利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上1.5即为这幢教学楼的高度AB．
【解答】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，
∴FG＝＝＝AG．
在Rt△ACG中，tan∠ACG＝，
∴CG＝＝AG．
又CG﹣FG＝40，
即AG﹣AG＝40，
∴AG＝20，
∴AB＝20+1.5．
答：这幢教学楼的高度AB为（20+1.5）米．
【点评】构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC＝1：2．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AD＝3，求△ABC的面积．
【分析】（1）首先连接OC，由PE是⊙O的切线，AE和过点C的切线互相垂直，可证得OC∥AE，又由OA＝OC，易证得∠DAC＝∠OAC，即可得AC平分∠BAD；
（2）由AB是⊙O的直径，PE是切线，可证得∠PCB＝∠PAC，即可证得△PCB∽△PAC，然后由相似三角形的对应边成比例与PB：PC＝1：2，即可求得答案；
（3）首先过点O作OH⊥AD于点H，则AH＝AD＝，四边形OCEH是矩形，即可得AE＝+OC，由OC∥AE，可得△PCO∽△PEA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OC的长，再由△PBC∽△PCA，证得AC＝2BC，然后在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，可得（2BC）2+BC2＝52，即可求得BC的长，继而求得答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵PE是⊙O的切线，
∴OC⊥PE，
∵AE⊥PE，
∴OC∥AE，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠BAD；
（2）线段PB，AB之间的数量关系为：AB＝3PB．
理由：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∵∠PCB+∠OCB＝90°，
∴∠PCB＝∠PAC，
∵∠P是公共角，
∴△PCB∽△PAC，
∴，
∴PC2＝PB•PA，
∵PB：PC＝1：2，
∴PC＝2PB，
∴PA＝4PB，
∴AB＝3PB；
（3）解：过点O作OH⊥AD于点H，则AH＝AD＝，四边形OCEH是矩形，
∴OC＝HE，
∴AE＝+OC，
∵OC∥AE，
∴△PCO∽△PEA，
∴，
∵AB＝3PB，AB＝2OB，
∴OB＝PB，
∴＝，
∴OC＝，
∴AB＝5，
∵△PBC∽△PCA，
∴，
∴AC＝2BC，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴（2BC）2+BC2＝52，
∴BC＝，
∴AC＝2，
∴S△ABC＝AC•BC＝5．
【点评】此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
26．（12分）已知矩形MBCD的顶点M是线段AB上一动点，AB＝BC，矩形MBCD的对角线交于点O，连接MO，BO．点P为射线OB上一动点（与点B不重合），连接PM，作PN⊥PM交射线CB于点N．
（1）如图1，当点M与点A重合时，且点P在线段OB上．
①依题意补全图1；
②写出线段PM与PN的数量关系并证明．
（2）如图2，若∠OMB＝α，当点P在OB的延长线上时，请补全图形并直接写出PM与PN的数量关系．
【分析】（1）①根据题意画出图形即可；
②证明△PMG≌△PNH（AAS），由全等三角形的性质可得出结论；
（2）证得∠OBM＝∠MNP＝α，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】解：（1）①补全图形如图1．
②线段PM与PN的数量关系为：PM＝PN．
证明：过点P分别作PG⊥MB于G，PH⊥BC于H，线段PN交MB于点F．如图2．
∵四边形MBCD是矩形，AB＝BC，
∴四边形MBCD是正方形．
∴BO平分∠MBC，∠MBC＝90°．
∵PG⊥MB，PH⊥BC，
∴PG＝PH，∠PHB＝∠PGM＝90°．
∵PM⊥PN，∠MBC＝90°，
∴∠MPN＝∠GBN＝90°．
∵∠MFP＝∠BFN，
∴∠PMG＝∠PNH．
∴△PMG≌△PNH（AAS）．
∴PM＝PN．
（2）补全图形如图3．
．
线段PM与PN的数量关系为：．
连接MN，
∵矩形MBCD的对角线交于点O，
∴OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM＝α，
∵∠MBN＝90°，∠MPN＝90°，
∴B、P、N、M四点共圆，
∴∠PBN＝∠PMN，
∵∠OBM+∠PBN＝90°，∠PMN+∠MNP＝90°，
∴∠OBM＝∠MNP＝α，
∴tanα＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
27．（14分）如图，二次函数y＝﹣x2+mx+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在函数图象上，CD∥x轴且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）则m＝ 2 、A点的坐标 （﹣1，0） 、B点的坐标 （3，0） 、E点的坐标 （1，4） ；
（2）如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴上是否存在点T，使得线段TA绕点T顺时针旋转90°后，点A的对应点A'恰好也落在此抛物线上？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图3，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，直接写出Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由抛物线的对称性可求m的值，即可求解；
（2）可设F（0，a），则可表示出F′的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F′坐标代入直线BE解析式可得到关于a的方程，可求得F点的坐标；
（3）分两种情况讨论，利用旋转的性质和全等三角形的性质可求解；
（4）设点P坐标为（n，0），可表示出PA、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标．
【解答】解：（1）∵CD∥x轴，CD＝2，
∴抛物线对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
∴m＝2，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点E（1，4），
∵二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，
∴0＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
故答案为：2，（﹣1，0），（3，0），（1，4）；
（2）设点F的坐标为（0，a），
∵对称轴为直线x＝1，
∴点F关于直线l的对称点F′的坐标为（2，a），
∵直线BE经过点B（3，0），E（1，4），
∴直线BE的表达式为y＝﹣2x+6，
∵点F′在BE上，
∴a＝﹣2×2+6＝2，
∴点F的坐标为（0，2）；
（3）如图2﹣1，若点T在x轴上方时，设对称轴与x轴交点为G点，过点A'作A'H⊥EG于H点，
设T（1，c），则TG＝c，
∵将线段TA绕点T顺时针旋转90°，
∴AT＝A'T，∠ATA'＝90°，
∴∠ATG+∠A'TH＝90°，
又∵∠ATG+∠TAG＝90°，
∴∠A'TH＝∠TAG，
又∵∠A'HT＝∠AGT＝90°，
∴△ATG≌△TA'H（AAS），
∴AG＝HT＝2，TG＝A'H＝c，
∴点A'（1﹣c，c+2），
∵点A'在抛物线上，
∴c+2＝﹣（1﹣c﹣1）2+4，
∴c1＝1，c2＝﹣2（舍去），
∴点T（1，1）；
若点T在x轴下方时，
当AG＝GT＝GB＝2时，
∴∠GAT＝∠ATG＝45°＝∠ABT＝∠BTG，
∴AT＝BT，∠ATB＝90°，
∴线段TA绕点T顺时针旋转90°得到TB，
∴点T（1，﹣2），
综上所述：点T坐标为（1，1）或（1，﹣2）；
（4）存在点Q满足题意．
设点P坐标为（n，0），则PA＝n+1，PB＝PM＝3﹣n，PN＝﹣n2+2n+3．
作QR⊥PN，垂足为R，
∵S△PQN＝S△APM，
∴（n+1）（3﹣n）＝（﹣n2+2n+3）•QR，
∴QR＝1．
①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，﹣n2+4n），R点的坐标为（n，﹣n2+4n），N点的坐标为（n，﹣n2+2n+3）．
∴在Rt△QRN中，NQ2＝1+（2n﹣3）2，
∴n＝时，NQ取最小值1，
此时Q点的坐标为（ ，）；
②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，﹣n2+4）．
同理，NQ2＝1+（2n﹣1）2，
∴n＝时，NQ取最小值1，
此时Q点的坐标为（，）；
综上所述可得：存在满足题意的点Q，其坐标为（，）或（，）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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