2022-2023学年人教版数学六年级下册小升初一轮复习（知识点清单+过关检测）：专题30 生活中的立体图形（教师版·学生版）

专题30  生活中的立体图形

1. 生活中的立体图形。

明确长方体、正方体、圆柱和圆锥等立体图形的特征，能从整体上把握这些图形的特征及其相互关系。

2.体积。

物体所占空间的大小叫作物体的体积。

常用的体积单位有：立方米、立方分米、立方厘米。

3.容积。

容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。

常用的容积单位有：升、毫升（通常用于液体或气体）。容器的容积的计算方法一般与体积计算公式相同，但要从容器的里面量有关数据。

【例1】求下面几何体的体积及表面积。（单位:cm）

（1）                                 （2）

【点拨分析】 

此题是求组合体的表面积和体积，仔细观察，然后把组合体分解为我们学过的立体图形，分析过程中灵活运用数学知识进行创新，使计算简单。

（1）此图由两个圆柱组合而成，体积是两个圆柱的体积和。表面积由两个圆柱的侧面、大圆柱下底面、大圆柱上底环形面和小圆柱的上底面5部分组成。不难发现，大圆柱上底环形面与小圆柱的上底面正好可补为大圆柱的上底面。这样，组合体的表面积可看作是由大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积。

（2）此图是一个典型的钢管围，其体积可以看作是大圆柱的体积减去中间的小圆柱的体积，或直接看作是一个底面为环形的直柱，体积＝底面积×高。表面由两个环形底面和内、外两个圆柱的侧面围成。

【答 案】 

（1）×3＝398.78（cm3）

S底×2+3.14×10×4+3.14×6×3＝339.12（cm2）

（2）×22＝1865.16（cm3）

S底＝3.14×[（)-(]×2+3.14×12×22+3.14×6×2＝1413（cm2）

[来源:学,科,网Z,X,X,K]

1.求下图的体积和表面积。（单位:厘米）

2.求下图的体积和表面积。（单位:分米）

3.从一个底面半径为2厘米、高为8厘米的圆柱的一端打一个直径为2厘米、深为6厘米的洞，如图，求剩下部分的表面积和体积。

【例2】求下面图形的体积。（单位:cm）

（1）                                 （2）

【点拨分析】 

（1）此图由一个圆柱和一个圆锥组成，可由二者的体积和求出组合体的体积。其实，圆柱和圆锥同底，故可将圆锥看成一个和它同底的圆柱，原组合体就成了一个大的圆柱，其高是）m。

（2）此图是一个不规则的立体图形，不能直接求出它的体积。可以用两个这样的图形拼成一个圆柱，如下图所示，所求的体积是拼成的圆柱体积的一半。

成将此图割补为右图所示与原图底面积相等、高为6cm的圆柱。

【答 案】 

（1）（）＝1004.8（cm2）

（2）＝18.84（cm3）

1.求下面几何体的体积。（单位:cm）

（1）                        （2）

2.如右图，在一个底面直径为2cm，高为3cm的圆柱内，挖去两个分别以圆柱底面为底面、共顶点的圆锥后，所剩几何体的体积为多少？

3.挖一个圆环形水池，外圆周长是62.8米，内圆周长是31.4米，深1.5米，需挖土多少立方米？如果用一辆容积为6.5立方米的汽车把土运走，大约要运多少次？

【例3】如右图，一个酒瓶里面高24厘米，底面内径是16厘米，瓶里酒的高度是15厘米。把酒瓶塞紧后，使其瓶口向下倒立，这时酒的高度是19厘米，酒瓶的容积是多少毫升？

[来源:学,科,网]

【点拨分析】

由上图可看出，瓶子的容积由两部分组成，一部分是下面酒所占的体积，一部分是上面空着的体积。藏子无论是正放还是倒放，里面的酒的体积不变，空着的部分的体积也不变。正放时，酒的体积是圆柱体积，可求得;倒放时，空着的体积是圆柱体积，也可求得。瓶子的容积就是二者的和。

【答 案】 

（24-19）＝4019.2（立方厘米）＝4019.2毫升

酒瓶的容积是4019.2毫升。

1.一个饮料瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图所示，已知它的容积为1200毫升，当瓶子正放时瓶内饮料高18厘米，倒放时瓶内空余部分高为6厘米，瓶内装有多少毫升的饮料？

2.如下图，一种饮料瓶呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30立方厘米。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分高度为5厘米。瓶内现有饮料多少立方厘米？

3.如图，将容器上下颠倒后，水面高度是多少厘米？[来源:学科网ZXXK]

【例4】用一块长30厘米、宽20厘米的长方形铁皮（如右图），做成一个高为5厘米的长方体无盖盒子（焊接处忽略不计）。画一画:应该怎样下料？在图上标出来。算一算:这个盒子的容积最大是多少毫升？

【点拨分析】

此题实践性较强，综合运用立体几何知识，有助于培养学生的实践操作与探索能力，强化学生的数学素质。

【答 案】 

方法一:想象着将一个长方体无盖纸盒沿高剪开后展开，正好5个面连在一起，恰是一个长方形少了4个角上的4个小正方形。由此可按下图1下料。

将四边折起来焊接成长方体铁盒。

容积:20×10×5＝1000（毫升）

方法二:在方法一的基础上，想象怎样充分利用铁皮。图1剪去的4个小正方形，用2个可拼为一个长方体的侧面。将A，B两个正方形移拼焊接为右边的长方体侧面，如图2。

容积:25×10×5＝1250（毫升）

方法三:高一定，使其底面积尽可能地大，用如图3的公式移拼焊接。

容积:17.5×15×5＝1312.5（毫升）

1000＜1250＜1312.5，所以这个盒子的容积最大是1312.5毫升。

这个盒子的容积最大是1312.5毫升。

[温馨提示] 的三种下样方法，各有优点，在实际操作中，应从生活实际出发，选择较合适的方法。

1.一张长30厘米、宽18厘米的长方形硬纸板，在它的四角上各剪去边长为2厘米的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒（接头处忽略不计）。这个纸盒的容积是多少毫升？

2.现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一个深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处忽略不计）。你有几种焊接方法？你做出的铁皮盒的最大容积是多少毫升？

3.图1是边长为36厘米的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是多少立方厘米？

满分：100分，时间：60分钟

基础达标（60分）

一、填空。（22分）

1.观察右图，弹球的体积是（　　）立方厘米。（量简的最小刻度值为毫升）

2.体积相等的圆柱和圆锥的底面积的比是4:3，它们高的比是（　　）。

3.底面积相等的圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥的高的3倍，圆锥的体积是9.42立方分米，圆柱的体积是（　　）立方分米。

4.有一块棱长是30厘米的正方体木料，刨成一个底面直径最大的圆柱，刨去木料的体积是（　　）立方厘米。

5.世界上最早的灯塔建于公元前270年。塔分三层，每层都高27米，底座呈正四棱柱形，中间呈正八棱柱形，上部呈正圆锥形，如右图。上部的体积是底座体积的（　　）。

6.把一个圆柱沿直径切成若干等份，拼成一个和它体积相等的近似长方体，已知圆柱的侧面积是25.12cm2，长方体的宽是4cm，长方体的体积是（　　）cm3。

7.一个长方体、一个圆柱和一个圆锥，它们的高和体积都相等，那么圆柱的底面积和长方体的底面积（　　），圆锥的底面积是长方体底面积的（　　）。

8.一位美术教师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在讲桌上（如右图），然后把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的部分的面积为（　　）平方分米。

9.一个大正方体的棱长是1米，现沿三条棱分别锯成2份、3份、5份，共得到30个小长方体，这些小长方体的表面积之和为（　　）平方米。

10.如图，从长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角上各剪掉边长2厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒。这个纸盒的容积是（　　）立方厘米。

二、选择。（把正确答案的序号填在括号里）（8分）

1.一块长方形铁皮长12.56米，宽6.28米，把它卷成一个圆筒，再配上一个底做成水桶， （　　）种做法容量大。

A.以12.56米为底，6.28米为高    B.以6.28米为底，12.56米为高    C.一样大

2.小明家有一个底面半径为4厘米、高18厘米的圆柱形物体，这个物体可能是（　　）。

A.水桶            B.固体胶           C.不锈钢茶杯

3.一个长方体，它的底面是一个正方形，这个正方形的边长正好与一个圆柱底面圆的直径相等，而且这个长方体的高与这个圆柱的高也相等，那么这个圆柱的体积是这个长方体体积的（　　）。

                            C.2倍

4.下左图是一个圆柱和一个圆锥，从不同的方向会看到不同的图形，从右面看到的图形是（　　）。

三、计算。（30分）

1.求（1）的表面积和体积，求（2）的体积。（单位:厘米）

（1）                           （2）

2.右图是一个圆柱，求它的表面积和体积。

[来源:学科网]

能力创新（40分）

四、解决问题。（40分）

1.有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米。在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多能放多少块？

2.一个长方体木块，如果长减少2厘米，就成为正方体木块，这个正方体木块的表面积是96平方厘米。原来这个长方体木块的体积是多少立方厘米？

3.一个装了一些水的密封的长方体玻璃箱，从里面量长30厘米，宽10厘米，高15厘米，水深5厘米（如图）。如果把箱子的左侧面作为底面放在桌面上，那么水深多少厘米？

4.刘华测量一个瓶子的容积，测得瓶子的底面直径是12厘米，然后他给瓶子内盛入一些水，正放时水深20厘米，倒放时水深25厘米，瓶子高30厘米，如图。你能根据这些信息求出瓶子的容积吗？

5.有一顶少数民族的帽子（如右图），帽顶部分是圆柱形，用黑布做;帽檐部分是一个圆环，用白布做。帽顶的半径、高和帽檐的宽都是a厘米，黑布和白布哪种用得多？

【附加题】

1.在一个棱长为4厘米的正方体的前后、上下、左右6个面的中心位置各挖去一个底面半径为1厘米、高为1厘米的圆柱，求挖去后物体的体积和表面积。

2.兰州来的张师傅擅长做拉面，拉出的面条很细。他每次是这样做的:将一个面团搓成圆柱形面棍，长1.5米，然后对齐;再拉长到1.5米…照这样反复下去，最后拉出的面条粗细（直径）仅有原来面棍的，最后拉出的细面条总共有多长？[来源:Z§xx§k.Com]

【答案解析】

[举一反三训练1]

1. V＝3.14×1×（12+22+42）＝65.94（立方厘米）

S表＝42×2π+2π+4π+8π＝46π＝144.44（平方厘米）

2. r＝10÷2＝5（分米）

V＝（30×20-3.14×52）×5＝2607.5 （立方分米）

S表＝（30×20+30×5+20×5）×2+3.14×10× 5-3.14×52×2＝1700（平方分米）

3. V＝3.14×22×8-3.14×(2+2)2×6＝81.64（立方厘米）

S表＝3.14×22×2+3.14×2×2×8+3.14×2×6＝163.28（平方厘米）

[举一反三训练2]

1.（1）3.14cm3（2）452.16cm3

2.  3.14×(2÷2)2×3×（）＝6.28（cm2）

3.  3.14×[（）/1/3(3144/3144）]×1.5＝353.25（立方米）

353.25÷6.5≈55（次）

[举一反三训练3]

1. 1200÷（18+6）×18＝900（毫升）

2.  （立方厘米）               

3.（15-9）+9÷3＝9（厘米）

[举一反三训练4]

1.（30-2×2）×（18-2×2）×2＝728（毫升）

2.有3种焊接方法（如下），最大容积是2000毫升。

30×10×5＝1500（毫升）                  35×10×5＝1750（毫升）

20×20×5＝2000（毫升）

3.  36÷（1+2+1+2）＝6（厘米）

（36-6×2）×6×（6×2）＝1728（立方厘米）

[自我检测]

一、1.10        2.1:4       3.84.78        4.5805       5.    6.50.24    7.相等、3倍                                                  8.33        9.20          10.90

二、1.A          2.C      3.B           4.B

三、1.（1）96平方厘米，23×7＝56（立方厘米）

（2）（15+20）（立方厘米）

2.  5×2×2+3.14×5274.95（平方分米）

52（立方分米）

四、（块）

2. 96÷6＝16（平方厘米）

所以正方体的棱长为4厘米。

4×4×（4+2）＝96（立方厘米）

3. 30×10×5÷（10×15）＝10（厘米）

4. 3.14×(12÷2)2×（30-25+20）＝2826（毫升）

5. 黑布:2πa·a+πa2＝3πa2

白布:π[(2a)2-a1]＝3πa2一样多。

【附加题】

1. V＝43-3.14×12×1×6＝45.16（立方厘米）

S＝42×6+3.14×2×1×1×6＝133.68（平方厘米）

2.  1.5+（）＝600（米）