2022-2023学年人教版数学六年级下册小升初一轮复习（知识点清单+过关检测）：专题13 行程问题（教师版·学生版）

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专题13  行程问题与追及问题 1.行程问题我们把研究速度、路程和时间三者之间关系的问题，称为行程问题。行程问题常用的数量关系式:路程 = 速度 × 时间速度 = 路程 ÷ 时间时间 = 路程 ÷ 速度2.相遇问题。两个人或物体分别从两地同时相向出发，按一定的速度，经过一定的时间相遇。相遇问题的基本关系式是:路程和= 速度和 × 相遇时间相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和速度和 = 路程和 ÷ 相遇时间[提示]基本的相遇问题具备三个基本条件：①两人或两物，②同时出发，③相向而行。这三个条件是可以交化的，如同时出发变为一先一后出发，相向而行变为背向而行（相离）等。在解题时可以借助线段图分析，使复杂的条件明朗化，便于解决问题。3.追及问题。两个物体向同一个方向运动，出发地点不同（或同一地点不同时间向同一方向运动），慢的在前，快的在后，随着时间的推移，快者离慢者越来越近，最后追上慢者。我们把这种情况及与其相关的变化问题称为追及问题。实质上，从出发到追上的时间内，快者比慢者多走的路程就是两人之间的路程差（追及路程），也就是出发时两人之间的距离，它与两人的速度差和追及时间有下面的关系式:路程差 = 速度差 × 追及时间 追及时间 = 路程差 ÷ 速度差速度差 = 路程差 ÷ 追及时间 [提示]追及问题变化不多，但它常常与其他情况的相遇问题组合在一起，整合成较复杂的行程问题。在分析思考中，可画线段图帮助理解，寻找解题的突破口。    【例1】龟、兔赛跑，龟每分钟爬25米，兔每分钟跑325米，全程1500米。兔自以为能得第一，在途中睡了一觉，结果龟到终点时，兔还差200米。兔睡了多少分钟？  【点拨分析】这是一道行程问题，其数量关系是“速度×时间＝路程”。要求三者中的一个条件，就必须去寻找另外两个条件。已知龟的路程是1500米，这度是每分钟25米，那么龟爬的时间是1500÷25＝60（分）。在这段时间内，兔跑了1500-200＝1300（米），又睡了一会，兔每分钟跑325米，由此求出兔跑的时间，就可求出它睡的时间。【答 案】  1500÷25＝60（分）  [来源:学科网]60-（1500-200）÷325＝56（分）答：兔睡了56分钟。  1.小狗和小熊赛跑，小狗1分钟跑了400米后，见小熊落在后面，它想:反正还差一半路就到达终点了，先玩8分钟也不迟。于是小狗痛快地玩起来了，而小熊仍以每分钟100米的速度往前跑。它俩谁先到达终点？早到几分钟？    2.龟、兔赛跑，全程5.2千米。兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米。兔子边跑边玩，它先跑1分钟，然后玩15分钟;再跑2分钟，然后玩15分钟;接着跑3分钟，然后玩15分钟…而乌龟却不停地跑。那么，先到达终点的比后到达终点的早多少分钟？    3.狮子和小熊赛跑，狮子1分钟跑了500米后，见小熊落在后面，它想:反正还差一半路就到达终点了，先玩10分钟也不迟。于是狮子就跳到路边的池塘里玩水去了，而小熊仍以每分钟100米的速度往前跑。它俩谁先到达终点？早到几分钟？      【例2】甲、乙两人同时从A，B两地出发，相对而行，甲每分钟行200米，乙每分钟行160米。两人在距中点80米处相遇。A，B两地相距多少千米？  【点拨分析】  由题意可知二人的速度，所以解题关健是求出同时行驶的时间。本题中的难点是对“在距中点80米处相遇”的理解。变破点一:“在距中点80米处相遇”，说明较快的甲所行的路程比一半路程多80米，而乙正好比一半路程少80米，这样就可知相遇时甲比乙多行80×2＝160（米）。如图:   突破点二:想象路程差产生的过程，同时行驶1分钟，产生1个速度差，即200-160＝40（米），行驶2分钟，产生2个速度差…由此得:速度差×同时行的时间＝同时行的路程差[来源:Z§xx§k.Com]那么根据同时行的路程差和速度差就可求出同时行的时间。【答 案】  同时行的时间:80×2÷（200-160）＝4（分）A，B两地间的距离:（200+160）×4＝1440（米）＝1.44千米答：A，B两地相距1.44千米。  1.甲、乙两辆汽车同时从A，B两地出发，相向而行，甲车每小时行63千米，乙车每小时行57千米，相遇时甲车比乙车多行24千米。A，B两地相距多少千米？    2.甲、乙两辆卡车同时从A，B两地出发，相向而行，甲车每小时行75千米，乙车每小时行60千米，两车在距中点14.4千米处相遇。求A，B两地间的距离。    3.一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米。当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距75千米。甲、乙两地相距多少千米？      【例3】甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离100千米，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。甲出发时带着一只狗，狗每小时行10千米。这只狗同甲一道出发，先向前走，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走…直到两人相遇。这只狗一共走了多少千米？  【点拨分析】  此题主要考查学生运用行程问题的有关知识灵活解决生活中的实际问题的能力。深刻理解行程问题中的基本数量关系是解题的关键。行程问题的主要数量关系是:路程＝速度×时间。若分段算出狗走的路程，再求出这些路段的和，是非常困难的。因此，一定要从整体考虑。构总共走的时间正好是甲、乙两人从出发到相遇的时间，再乘狗的速度即可求出狗走的路程。【答 案】  甲、乙两人相遇所需时间:100÷（6+4）＝10（时）狗走的总路程:10×10＝100（千米）列综合算式解答:10×[100÷（6+4）]＝100（千米）答：这只狗一共走了100千米。  1.甲、乙、丙三人做健身游戏，甲、乙两人同时从相距3900米的A，B两地出发，相向而行，甲每分钟行60米，乙每分钟行70米。如果丙与甲同时同地出发，丙每分钟行80米，当丙遇到乙时立即返回，遇到甲后又立即迎乙而去，这样丙不停地在甲、乙两人之间往返，直到甲、乙相遇为止。那么请问:丙在甲、乙两人间行的路程是多少米？（丙的转身时间忽略不计）      2.甲、乙两人同时从相距100千米的两地出发，相向而行，甲每小时行4.8千米，乙每小时行4.2千米。甲出发时带着一只狗，狗每小时行9千米。这只狗与甲同时出发后，遇到乙的时候，立即掉头向甲跑去，遇到甲后，又掉头向乙跑去…直到两人相距1千米时，才停止不跑。这只狗一共跑了多少千米？     3.甲、乙两个车队同时从相隔420千米的两地出发，相向而行，甲车队每小时行60千米，乙车队每小时行80千米。一个人骑摩托车每小时行120千米，与两车队同时出发，在两车队间往返联络。问:两车队相遇时，摩托车行驶了多少千米？      【例4】晚饭后，小明和爸爸沿同一条公路去散步，小明走得慢，每分钟走60米，所以他先从家出发。5分钟后，爸爸以每分钟80米的速度去追小明。爸爸经过多少分钟可以追上小明？  【点拨分析】  爸爸要追上小明，则两人离开家的距离要相同，也就是爸爸在从出发至追上小明这段时间内要比小明多行小明前5分钟所走的路程。如下图。  实线部分为同时行走的路程，由此可知相同时间内爸爸比小明多走了60×5＝300（米）。而每分钟只能多走80-60＝20（米），300中有几个20就需要几分钟可以追上小明。【答 案】  60×5÷（80-60）＝15（分）答：爸爸经过15分钟可以追上小明。  1.一辆汽车从甲地开出，以每小时50千米的速度行了2小时后，一辆摩托车从甲地开出紧紧追赶，速度为每小时80千米。摩托车几小时后可追上汽车？    2.小红从家出发步行去学校，每分钟走60米，走了10分钟后，爸爸从家骑自行车去追小红，结果在距家900米的地方追上小红。爸爸骑自行车每分钟行多少米？    3.一条环形跑道长400米，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑300米。两人同时同地同向出发，至少经过多少分钟乙追上甲？     【例5】甲、乙两人相距40千米，甲先出发1.5小时，乙再出发，甲在后乙在前，两人同向而行，甲的速度为每小时8千米，乙的速度为每小时6千米，甲出发后几小时追上乙？ 【点拨分析】  甲、乙两人原来相距40千米，但由于甲先出发1.5小时，所以乙出发时两人的距离是40-1.5×8＝28（千米），遵及距离知道，两人的速度差也可以算出来，那么追及时间就可以算出来了，而算出来的这个时间还不是问题所求，还要加上1.5小时，才是甲出发至追上乙的时间。【答 案】  40-1.5×8＝28（千米）  28÷（8-6）＝14（时）  14+1.5＝15.5（时）答：甲出发后15.5小时追上乙。   1.摩托车和汽车从相距30千米的甲、乙两地同时同向出发（汽车在前），摩托车每小时行65千米，汽车每小时行40千米，途中摩托车发生故障，修理了半小时后继续前进。问:摩托车追上汽车时，两车各行了多少千米？     2.客、货两车从相距120千米的A，B两地同时同向出发（客车在前），货车每小时行75千米，客车每小时行60千米，途中客车发生故障，修理了1小时后继续前进。问:货车追上客车时，两车各行了多少千米？    3.甲站向乙站开出一列快车，速度是每小时65.5千米，过了1小时后，又从甲站开出一列慢车，速度是每小时58.5千米，当快车到达乙站时，慢车离乙站还有104千米。问:甲、乙两站相距多少千米？      【例6】甲、乙两辆汽车同时从A，B两地相对开出，甲每小时行75千米，乙每小时行65千米。甲、乙两车第一次相遇后继续前进，分别到达B，A两地后，立即按原路返回，两车从出发到第二次相遇共行了6小时。A，B两地相距多少千米？  【点拨分析】解答此题的关键是能从整体出发，忽略其具体的行驶形式。首先，两车同时出发，无论到第几次相遇，两车行驶的时间都相同，所以两车行驶的路程和＝速度和×同时行驶的时间。其次，要弄清相遇时所行路程和与两地距离的关系。第一次相遇，很显然所行路程和就是两地间的距离。第二次相遇呢？是两个两地间距离吗？观察右图不难发现，第二次相遇时，两车合起来正好行了3个全程（每个车行了一个全程又一部分）。另外我们从倍比关系还可以得到（速度或速度和一定）:第二次相遇时的路程和是第一次相遇时的3倍，第二次相遇时所用的时间也是第一次相遇时的3倍。每个车行的路程中，第二次相遇时所行路程也是第一次相遇时所行路程的3倍。【答 案】  （75+65）×6÷3＝280（千米）或（75+65）×（6÷3）＝280（千米）答：A，B两地相距280千米。   1.甲、乙两地之间的距离是420千米。两辆汽车同时从甲地开往乙地，第一辆汽车每小时行42千米，第二辆汽车每小时行28千米，第一辆汽车到乙地后立即返回，途中两车相遇。两辆车从开出到相遇共用多少小时？    2.甲、乙两名同学从相距100米的两地同时出发，相向而跑，当跑到对方出发地后立即返回。甲每秒跑6.5米，乙每秒跑5.5米。经多少秒两人第二次相遇？    3.李明和王华同时从A，B两地出发，相向而行，在离A地52米处相遇，相遇后继续走，到达对方出发点后，两人立即以原来的速度沿原路返回，又在离A地44米处相遇。求A，B两地距离。     【例7】有甲、乙、丙三辆汽车，甲车每小时行驶110km，乙车每小时行驶100km，丙车每小时行驶90km。甲车从A地开往B地，乙车和丙车从B地开往A地，三车同时出发，甲车和乙车相遇后，过了15min又与丙车相遇，求A，B两地的距离。 【点拨分析】解决本题，我们可以结合下图分析，第一次甲车和乙车在点C相遇时，丙车在点D，过了15mm，甲车和丙车再相遇，说明15min甲车和丙车行驶的路程CD长为（110+90）（km），CD长电灵第一次相遇时乙车比丙车多行驶的路程。由此得出第一次甲车与乙车相遇所用的时间，进而即可得出A，B两地的距离。  【答 案】  甲车与乙车相遇时，甲车与丙车相距的路程:（110+90）（km）甲车与乙车相遇用的时间:50÷（100-90）＝5（h）A，B两地的距离:（110+100）×5＝1050（km）答：A，B两地相距1050km。   1.甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走55m，乙每分钟走68m，丙每分钟走75m，甲、乙从东村去西村，丙从西村去东村，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2min与甲相遇，求东、西两村间的路程。     2.在一条公路上，汽车A，B，C分别以每小时80千米、60千米、40千米的速度行驶，汽车A从甲站开往乙站，同时汽车B，C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中，车A与车B相遇后又过了2小时与车C相遇，甲、乙两站的距离为多少千米？    3.甲、乙和丙同时由东、西两城出发，甲、乙两人由东城到西城，丙由西城到东城，甲步行每小时走5千米，乙骑自行车每小时行15千米，丙也骑自行车每小时行20千米，已知丙在途中遇到乙后，又经过1小时才遇到甲，求东、西两城相距多少千米。        满分：100分，时间：60分钟基础达标（60分）一、解决问题。（60分）1.甲、乙两地相距56千米，汽车行完全程要1.4小时，乐乐跑步行完全程要14小时。乐乐由甲地出发，跑步行3.6小时后改乘汽车，他到达乙地共要几小时？   [来源:Z_xx_k.Com]2.甲、乙两城相距340千米，一辆小轿车从甲城开往乙城，每小时行52千米，1小时后，一辆中巴车从乙城开往甲城，每小时行44千米。小轿车开出几小时后与中巴车相遇？    3.甲、乙两人同时从两地相对出发，甲骑自行车每小时行15千米，乙骑摩托车每小时行34千米，甲在离出发地37.5千米处与乙相遇。两地相距多少千米？[来源:学科网]    4.甲、乙两车同时从两地出发，相向而行，甲车每小时行83千米，乙车每小时行95千米，两车在距中点24千米处相遇。求两地间的距离。     5.甲、乙两列火车相对行驶，在两地的中点相遇，甲车每小时行驶76千米，相遇时行了5小时。乙车每小时行驶95千米，乙车比甲车迟出发了几小时？     6.甲、乙二人在一个长400米的环形跑道上从同一点同时出发，反向而行，甲每分钟走45米，乙每分钟走35米。多少分钟后两人第一次相遇？     7.甲、乙两车分别从A，B两城同时相对开出，7小时后相遇，然后又各自向前行驶了2小时，这时甲车距B城还有240千米，乙车距A城还有360千米。A，B两城相距多少千米？    8.甲、乙两列火车同时从相距500千米的两地相对开出，4小时后两车没有相遇且还相距20千米，已知甲车每小时行65千米，乙车每小时行多少千米？     9.甲、乙两辆车从相距432千米的两地同时相对开出，经过6小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的，则甲车的速度是多少千米/时？   [来源:Zxxk.Com] 10.甲、乙两车分别从A，B两地同时相对开出，经过4小时，甲车行驶了全程的80%，乙车超过中点13千米，已知甲车比乙车每小时多行驶3千米，A，B两地相距多少千米？     11.快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行驶40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米，慢车每小时行驶多少千米？     12.甲、乙、丙三人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米。甲、乙两人从东镇，丙一人从西镇同时相向出发，丙遇到乙后又过了2分钟遇到甲。问:东、西两镇相距多少米？     能力创新（40分）二、想一想，做一做。（40分）1.A，B两地相距480千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时相对开出，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只鸽子以每小时50千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞出，遇到乙车立即折回飞向甲车，遇到甲车再立即飞向乙车…这样一直飞下去，当两车相遇时，鸽子飞了多少千米？     2.兄妹二人同时从家出发去上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离学校180米处和妹妹相遇。他们家离学校有多远？     3.甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发，相向而行。第一次两车在距B地7千米处相遇。相遇后，两车继续向前行驶，当两车分别到达B，A两地后立即返回，返回时在距A地4千米处相遇。A，B两地相距多少千米？    4.龟兔赛跑，同时同地出发，全程20000米，乌龟每分钟爬行80米，兔子每分钟跑800米，兔子跑了一会儿就在途中睡觉，醒来后立刻以原速向前跑。（1）若兔子不想输给乌龟，则它在途中最多只能睡多少分钟？   （2）如果兔子在途中要睡1.5小时（乌龟和兔子的速度保持不变），且兔子不输给乌龟，则路程至少为多少米？    5.甲、乙、丙三个小分队都从A地到B地进行野外训练，上午6时，甲、乙两个小队一起从A地出发，甲队每小时走5千米，乙队每小时走4千米，丙队上午8时才从A地出发，傍晚6时，甲、丙两队同时到达B地。那么丙队追上乙队的时间是什么时候？      【附加题】1.快、慢两车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人，两车分别用了6分钟、10分钟追上骑车人。已知快车每分钟行400米，慢车每分钟行320米，那么骑车人每分钟行多少米？    2.某特训营纵队以7千米时的速度行进，队尾的通信员以11千米时的速度赶到队首送一封信，送到后立即以原速返回队尾，共用0.22小时。求这支队伍的长度。