2022-2023学年人教版数学六年级下册小升初一轮复习（知识点清单+过关检测）：专题3 因数和倍数（教师版+学生版）

专题3  因数和倍数

1.因数和倍数的意义。

如果a × b = c（a，b，c均为正整数），那么c就是a和b的倍数，a和b就是c的因数。因数和倍数是相互依存的。

2.因数的特征。

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

3.找因数的方法。

找因数时，可以一对一对地找。（1）用乘法找。把一个数写成两个自然数相乘的形式，只要找到所有的乘法算式，就可以找到这个数的全部因数。（2）用除法找。用这个数分别除以1，2，3，4…能正好整除的，这个除数与对应的商就是这个数的因数。

4.倍数的特征。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

5.找倍数的方法。

一个数和任意非0自然数的乘积都是这个数的倍数。找一个数的倍数时，可以先写出这个自然数本身，然后用这个自然数分别乘2，3，4，5…求出对应的积即可。

6.  2，3，5的倍数的特征

（1）            2的倍数的特征:个位上的数字是0，2，4，6，8。

（2）            3的倍数的特征:各个数位上的数字的和是3的倍数。

（3）            5的倍数的特征:个位上的数字是0或5。

（4）            2、5的倍数的特征:个位上的数字是0。

7. 奇数和偶数

（1）            奇数:在自然数中，不是2的倍数的数叫作奇数。

（2）            偶数:在自然数中，是2的倍数的数叫作偶数。

[小提升]自然数不是奇数就是偶数，最小的奇数是1，没有最大的奇数；最小的偶数是0，没有最大的偶数。

奇数±奇数=偶数         偶数±偶数=偶数         奇数±偶数=奇数

奇数×奇数=奇数         奇数×偶数=偶数         偶数×偶数=偶数

8.质数和合数的意义。

（1）质数:一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）。

（2）合数:一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。

9.质因数。

（1）质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫作这个合数的质因数。

（2）分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。

（3）分解质因数的方法一般有两种:（以60为例）

[小提升]分解质因数时，要把被分解的合数写在左边，分解的结果写在右边，中间用等号连接。如：把50分解质因数要写成50=2×5×5，不能写成2×5×5=50。[来源:Zxxk.Com]

10.最大公因数。

几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。其中最大的那个叫作这几个数的最大公因数。

11.最小公倍数。

几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。其中最小的那个叫作这几个数的最小公倍数。

12.互质数。

只有公因数1的两个数叫作互质数。

13.求两个数的最大公因数的方法。[来源:学科网]

一般采用枚举法、短除法和缩小倍数法。

（1）枚举法:先分别列举出这两个数的因数，再从中找出它们的公因数，最后从公因数中找出最大公因数。

（2）短除法:先用这两个数共有的质因数同时去除这两个数，直到所得的商互质为止，再将所有的除数相乘。

（3）缩小倍数法:先列举出这两个数中较小数的因数，再从这些因数中找出较大数的因数，即这两个数的公因数，从而确定出最大公因数。

14.求两个数的最小公倍数的方法。

一般采用枚举法、短除法和扩大倍数法。

（1）枚举法:与求两个数的最大公因数的方法相同。

（2）短除法:与求两个数的最大公因数的短除过程相同，求最小公倍数只要把所有的除数和商都相乘即可。

（3）扩大倍数法:与求两个数最大公因数的方法正好相反，通常情况下，先列举出这两个数中较大数的倍数，再从这些倍数中找出较小数的倍数，即这两个数的公倍数，从而确定出最小公倍数。

[小提升]如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数互质，那么这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。

【例1】在自然数1~20中，既是奇数又是合数的是（　　），既是偶数又是质数的是（　　）， （　　）既不是质数也不是合数。

1.在非0自然数中，最小的偶数是（　　），最小的奇数是（　　），最小的合数是（　　），最小的质数是（　　）。

2.在1，2，3，9，24，41和51中，奇数是（　　），偶数是（　　），质数是（　　），合数是（　　），（　　）是奇数但不是质数，（　　）是偶数但不是合数。

3.警察叔叔在查找一辆肇事汽车的车牌号（四位数）。一位目击者说:“第一位数字最小，最后两位数字是最大的两位偶数，前两位数字的乘积的4倍刚好比后两位数少2。你能帮警察叔叔猜出这个车牌号吗？

【例2】  7□3□既是2的倍数，又是5的倍数，同时又是3的倍数，求出这个四位数。

1.想一想，填一填。

（1）同时是3和5的倍数的最小的偶数是（　　），最大的三位数是（　　）。

（2）100以内同时是2，3，5的倍数的数有（　　）。

2.按要求在□里填上合适的数字。

（1）同时是2和3的倍数:106□         315□        98□8          162□

（2）同时是3和5的倍数:123□        2008□        52□5          52□0

（3）同时是2，3，5的倍数:1□3□   □5□0   1□6□  

3.下面四个数都是五位数，其中F＝0，M是一位自然数，那么一定能被3和5整除的数是（　　）。

A.MMMFM          B.MFMFM          C.MFFMF          D.MFMMF

【例3】 有四个小朋友，他们的年龄一个比一个大1岁，将他们的年龄数相乘，积是5040。求这四个小朋友的年龄各是多少。

1.张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛获奖了，他所得的成绩、名次和他的年龄三者的积是2910。张明的成绩、名次和年龄分别是多少？

2.有4名学生恰好一个比一个大1岁，他们年龄的乘积为3024。如果把这4名学生按年龄从小到大的顺序排列，那么第二名学生多少岁？

[来源:学|科|网Z|X|X|K]

3.王老师带领同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成3组。如果师生每人擦的块数同样多，且一共擦了111块，那么平均每人擦了多少块？

【例4】 填空。

（1）已知a＝2×3×5，b＝3×3×5，则a，b的最大公因数是（　　），最小公倍数是（　　）。

（2）已知a与b是互质数，a，b的最大公因数是（　　），最小公倍数是（　　）。

（3）已知a＝5b（a，b都是大于0的自然数），则a，b的最大公因数是（　　），最小公倍数是（　　）。[来源:Zxxk.Com]

1.填空。

（1）如果a，b都是非0自然数，并且a÷b＝4，那么a和b的最大公因数是（　　），最小公倍数是（　　）。[来源:Z_xx_k.Com]

（2）如果a＝b+1（a，b都是大于0的自然数），那么a和b的最大公因数是（　　），最小公倍数是（　　）。

（3）把自然数a和b分解质因数得到:a＝2×5×7×m，b＝3×5×m，如果a和b的最小公倍数是2730，那么m＝（　　）。

2.求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。

35和84          78和90          13和91          13和36

3.有两个两位数的自然数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则这两个数的和是（　　）。

A.96           B.60              C.48               D.30

【例5】 已知小明家贮藏室的长是3.2米，宽0.8米。如果用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖必须是整块），可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？

1.一张长方形的纸，长1.36米，宽0.8米，把它裁成一样大小的正方形，并使它们的面积尽可能大且裁完后没有剩余、则共可裁出多少个正方形？

2.有三根木条分别长150厘米、200厘米、220厘米，要把这三根木条截成长度相等的小段，要求尽可能长，且没有剩余。这些小段一共可以做多少个等边三角形？

3.六年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组但各班同学不能打乱、每组最多有多少人？三个班各分为几组？

【例6】有一堆苹果，3个3个地数余2个，4个4个地数余3个，5个5个地数余4个。这堆苹果最少有多少个？

1.某公共汽车始发站，1路车每5分钟发车一次，2路车每10分钟发车一次，3路车每12分钟发车一次。这三路公共汽车同时发车后，至少再经过多少分钟又同时发车？

2.有苹果、橘子各一筐，苹果有240个，橘子有313个，把这两筐水果分给一些小朋友，已知苹果等分到最后余2个不够分，橘子等分到最后还余7个不够再分。问:最多有多少个小朋友在分水果？[提示:想多少个苹果、多少个橘子可被小朋友人数整除]

3.五（1）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人。问:上体育课的同学最少有多少人？[提示:想总人数怎么样后可被3，4，5，6整除]

满分：100分，时间：60分钟

基础达标（60分）

一、判断。(对的打“√”，错的打“×”)(10分)

1.50÷0.5＝100，所以说50是0.5的倍数，0.5是50的因数。

2.把2004分解质因数是2004＝1×2×2×3×167。

3.24×35×a的积一定是2，3，5的倍数。（a是大于0的自然数）

4.a是一个非0自然数，那么2a+1一定是个奇数。

5.除2外，所有的质数都是奇数。

6.两个合数一定不是互质数。

7.因为a＝3×4×5，b＝2×5×7，所以a和b的最小公倍数是2×3×4×5×7＝420.（　　）

8.三个连续非0自然数的积一定是6的倍数。

9.一个自然数不是奇数就是偶数，不是合数就是质数。

10.如果a是x，y，z的公因数，那么x，y，z的积一定是a的倍数。

二、选择。（把正确答案的序号填在括号里）（20分）

1.一个质数的因数有（　　）个，一个合数的因数至少有（　　）个。

A.2              B.3                C.无数

2.两个奇数的和一定是（　　）数，积一定是（　　）数。

A.奇             B.偶               C.质             D.合

3.已知a＝22×32×5，那么a的因数有（　　）个。

A.3              B.4                C.18               D.无法确定

4.1，3，7都是21的（　　）。

A.质因数         B.公因数           C.奇数             D.因数

5.用4，5，7，8这四个数，能组成（　　）对互质数。

A.3              B.4                C.5

6.两个不同的非0自然数相乘，所得的积（　　）。

A.一定是质数         B.一定是合数          C.可能是质数，也可能是合数

7.有168名学生参加夏令营，把他们平均分成若干队，每队的人数不少于10人，也不多于30人，有（　　）种不同的分法。

A.2              B.3         C.4                D.5

8.a和b都是自然数，且0.3a＝b，那么a和b的最小公倍数是（　　）。

A.a                B.b                     C.ab                  D.无法判断

9.用358这三张数字卡片摆成一个三位数，使摆成的三位数有因数5，有（　　）种摆法。

A.1                 B.2         C.3                   D.6

10.用0，1，3，5四个数字组成的所有没有重复数字的四位数都是（　　）的倍数。

A.2                 B.3                     C.5

三、填空。（1~5题每空1分，7题5分，其余每空2分，共30分）

1.同时是3和5的倍数的两位数中，最大的奇数是（　　），最小的偶数是（　　）。

2.同时是2，3，5的倍数的最小三位数是（　　），把它分解质因数是（　　）。

3.30的因数有（　　），24的因数有（　　），30和24的公因数有（　　）。

4.在1到9这九个数中，相邻的两个数都是质数的是（　　）和（　　），相邻的两个数都是合数的是（　　）和（　　）。

5.一个三位数的最高位上的数是最小的合数，最低位上的数是最小的质数，它还同时是2和3的倍数，这个三位数最大是（　　），最小是（　　）。

6.把一张长60厘米、宽45厘米的木板截成相同大小的正方形木板，而且没有剩余，能截成的正方形木板的边长最大是（　　）厘米，共可截成（　　）块。

7.在下面括号里填上合适的质数。

（1）（　　）+（　　）＝21＝（　　）×（　　）

（2）30＝（　　）+（　　）＝（　　）+（　　）＝（　　）+（　　）

8.a＝2×3×m，b＝3×5×m（m是非0自然数），如果a和b的最大公因数是21，那么a和b的最小公倍数是（　　）。

9.甲、乙两数的最大公因数是75，最小公倍数是450，若它们的差最小，则这两个数为（　　）和（　　）。

10.有一根长240厘米的绳子，从一端开始每4厘米做一个记号，每6厘米也做一个记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了（　　）段。

能力创新（40分）

四、解决问题。（40分）

1.在1~60的整数中，是3，4和5的倍数的数共有多少个？

2.有四位小朋友，他们的年龄一个比一个小一岁。将他们的年龄数相乘，积是11880，年龄最小的一个多少岁？

3.小丽家的客厅地面如右图，应选择下面哪种规格的地砖来铺，才能既完整，又大方？需要多少块？

A.30cm×30cm                B.40cm×40cm

C.50cm×50cm                D.60cm×60cm

4.同学们排队做操，不论是每行8人，还是每行10人，或每行12人，最后都正好多出5人。至少有多少人做操？

5.甲、乙、丙三人定期到李老师家补习，甲每2天去一次，乙每3天去一次，丙每4天去一次。如果8月10日他们三人都去李老师家，那么下次他们三人都去李老师家是几月几日？

【附加题】

1.学校要在操场周围种树，开始时每隔3米种一棵，种了9棵后，发现树苗不够，于是决定重种，改为每隔4米种一棵。这次重种时，不必再拔掉的树有多少棵？

2.一次数学竞赛的成绩出来后，有的学生获得一等奖，的学生获得二等奖，的学生获得三等奖，其余的学生获纪念奖。已知参加这次数学竞赛的学生不满50人，那么获纪念奖的有多少人？