【精品同步】数学同步培优练习八年级下册20.1 数据的集中趋势（知识梳理+含答案）

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第二十章 数据的分析20.1 数据的集中趋势要点一、算术平均数和加权平均数一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为.详解：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动. 所以平均数容易受到个别特殊值的影响.若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.详解：（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 要点二、中位数和众数1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数.详解：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 详解：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适. 中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.类型一、加权平均数与平均数例1、老师在计算学期总平均分的时候按如下标准：作业占10%、测验占20%、期中占35%、期末考试占35%，小关和小兵的成绩如下表：求小关和小兵的学期总平均分.例2、为了鉴定某种灯泡的质量，对其中100只灯泡的使用寿命进行测量，结果如下表（单位：小时）：求这些灯泡的平均使用寿命？练习：1、一家公司打算招聘一名部门经理，现对甲、乙两名应聘者从笔试、面试、实习成绩三个方面表现进行评分，笔试占总成绩20%、面试占30%、实习成绩占50%，各项成绩如表所示：试判断谁会被公司录取，为什么？2、某班40名学生身高情况如下图，请计算该班学生平均身高.类型二、中位数和众数例3、某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的销售金额，统计了这15个人的销售量如下（单位：件）：1800、510、250、250、210、250、210、210、150、210、150、120、120、210、150（1）求这15个销售员该月销量的中位数和众数. （2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售定额定为320件，你认为合理吗？如果不合理，请你制定一个合理的销售定额，并说明理由. 台数规格月份例4、某商店3、4月份出售某一品牌各种规格的空调，销售台数如表所示：根据表格回答问题：（1）商店出售的各种规格空调中，众数是多少？（2）假如你是经理，现要进货，6月份在有限的资金下进货单位将如何决定？练习：1、在一次环保知识竞赛中，某班50名学生成绩如下表所示：分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数.2、公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下（单位：岁）：甲群：13、13、14、15、15、15、16、17、17. 乙群：  3、  4、  4、   5、  5、  6、  6、 54、57. （1）甲群游客的平均年龄是 岁，中位数是 岁，众数是 岁，其中能较好反映甲群游客年龄特征的是 . （2）乙群游客的平均年龄是 岁，中位数是 岁，众数是 岁. 其中能较好反映乙群游客年龄特征的是 . 类型三、利用三数——平均数、众数、中位数解决问题例5、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：（1）如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，请说明理由；（2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．点拨：（1）运用求平均数公式即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果.练习：小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少？例6、下表是七年级(2)班30名学生期中考试数学成绩表(已破损)．已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分．（1）求该班80分和90分的人数分别是多少？（2）设此班30名学生成绩的众数为，中位数为，求的值．解析：(1) 设该班得80分的有人，得90分的有人．根据题意和平均数的定义，得整理得 解得即该班得80分的有8人，得90分的有5人． (2) 因为80分出现8次且出现次数最多．所以＝80，第15、16两个数均为80分，所以＝80，则＝8080＝160． 总结：本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．解题的关键是准确理解题意，建立等量关系.练习：某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图．请根据图表中的信息，回答以下问题. （1）求的值； （2）求这50名学生每人一周内的零花钱数额的众数和平均数．1. 在一个样本中，2出现了次，3出现了次，4出现了次，5出现了次，则这个样本的平均数为 .2. 某人打靶，有a次打中环，b次打中环，则这个人平均每次中靶 环. 3. 在一次英语口试中，已知50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1人，其余为84分. 已知该班平均成绩为82分，问该班有多少人？4. 某公司有15名员工，他们所在的部门及相应每人所创的年利润如下表该公司每人所创年利润的平均数是多少万元？5. 下表是截至到2002年费尔兹奖得主获奖时的年龄，根据表格中的信息计算费尔兹奖得主获奖时的平均年龄.6. 为调查居民生活环境质量，环保局对所辖的50个居民区进行了噪音（单位：分贝）水平的调查，结果如图，求每个小区噪音的平均分贝数. 7. 数据8、9、9、8、10、8、9、9、8、10、7、9、9、8的中位数是 ，众数是 .8. 一组数据23、27、20、18、X、12，它的中位数是21，则X的值是 . 9. 数据92、96、98、100、X的众数是96，则其中位数和平均数分别是（ ）A. 97、96    B. 96、96.4 C. 96、97 D. 98、9710. 如果在一组数据中，23、25、28、22出现的次数依次为2、5、3、4次，并且没有其他的数据，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）A. 24、25 B. 23、24 C. 25、25 D. 23、2511. 随机抽取我市一年（按365天计）中的30天平均气温状况如下表：请你根据上述数据回答问题：（1）该组数据的中位数是什么？（2）若当气温在时为市民“满意温度”，则我市一年中达到市民“满意温度”的大约有多少天？12. 某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下：（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数？（精确到1元）（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到1元）（3）你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司职工的工资水平？13. 某公司有15名员工，它们所在的部门及相应每人所创的年利润如下表示：根据表中的信息填空：（1）该公司每人所创年利润的平均数是 万元. （2）该公司每人所创年利润的中位数是 万元. （3）你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创年利润的一般水平？ 八下第一本答案第十八章 平行四边形18.1 平行四边形的性质例1、A 练习：1.B 2.B 3.答案不唯一． BE=DF或BF=DE或∠BCE=∠DAF或AF∥EC等 4.C 例2、D 练习：B 例3、28 13 82 练习：AB=14cm AD=10cm 例4-练习：4cm例5:证明：∵ABCD，∴OA=OC，DF∥EB，∴∠E=∠F，又∵∠EOA=∠FOC，∴△OAE≌△OCF(AAS)，∴OE=OF．练习：DE=BF.证明如下：∵ABCD，O为AC的中点∴OA=OC.又AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO.故在△AOE与△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE=CF.又∵AD=CB(平行四边形的对边相等)，∴AE−AD=CF−CB，即DE=BF.例6：AB=4cm，BC=6cm，平行四边形ABCD面积为cm2例7：证明：设：CE、DF相交于M∵平行四边形ABCD ∴AB∥CD AD=BC又∵AD=2AB，且AE=AB ∴BC=BE ∴∠E=∠ECB∵AB∥CD ∴∠E=∠ECD ∴∠ECD=∠ECB=∠BCD同样道理： ∠FDC=∠FDA=∠ADC∵平行四边形ABCD中AD∥BC ∴∠ADC＋∠BCD=180º∴∠ECD＋∠FDC=(∠BCD＋∠ADC)=90º即∠MCD＋∠MDC=90º ∴∠DMC=90º∴CE⊥DF课后巩固一、选择题1-4、BDAD 5、80° 6、3；6 7、150°；30° ；150° 8、49 9、9 10. BE =DF 证明略.11. 9cm12证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO(平行四边形的对角线互相平分)，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF．13.答案：(1)解：有4对全等三角形．分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA．(2)证明：如图，∵OA=OC，∠1=∠2，OE=OF． ∴△OAE≌△OCF，∴∠EAO=∠FCO． 在ABCD中，AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO．∴，即∠EAM=∠FCN．14.证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， ∵AD∥BC， ∴∠1=∠2． ∵AF=CE， ∴AE=CF， 在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠1=∠2，AE=CF，∴△ABE≌△CDF．18.2 平行四边形的判定例1-练习：点拨：欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形． 证明：∵ 四边形AECF为平行四边形， ∴ AF∥CE． ∵ 四边形DEBF为平行四边形， ∴ BE∥DF．∴ 四边形EGFH为平行四边形．2.证明：在等边△ADC和等边△AFB中 ∠DAC＝∠FAB＝60°． ∴ ∠DAF＝∠CAB．又∵ AD＝AC，AF＝AB．∴ △ADF≌△ACB(SAS)． ∴ DF＝CB＝CE． 同理，△BAC≌△BFE，∴ EF＝AC＝DC． ∴ 四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．3.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，　　 　 ∴AB=CD，AB∥DC，　　 　 ∴∠ABE=∠CDF，　　 　 ∵AG=CH，　　 　 ∴BG=DH，　　 　 在△BEG和△DFH中，　　 　 　　 　 ∴△BEG≌△DFH(SAS)；　　 　 (2)∵△BEG≌△DFH(SAS)，　　 　 ∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，　　 　 ∴∠GEF=∠HFB，　　 　 ∴GE∥FH，　　 　 ∴四边形GEHF是平行四边形．　　　　　4.分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。解：(1)四边形ABCD是平行四边形，理由如下：∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°又∠A=60°，∠C=60°，∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C∴四边形ABCD是平行四边形(2)四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，∠BC1D1=∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB所以四边形ABC1D1是平行四边形例2、解答：证明：连接BF，∵△ADF和△ABC是等边三角形，∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60∘，∴∠FAD−∠EAD=∠CAB−∠EAD，∴∠FAB=∠CAD，在△FAB和△DAC中AF=AD，∠FAB=∠CAD，AB=AC，∴△FAB≌△DAC(SAS)，∴BF=DC,∠ABF=∠ACD=60∘，∵BE=CD，∴BF=BE，∴△BFE是等边三角形，∴EF=BE=CD，在△ACD和△CBE中∵CA=BC，∠ACB=∠ABC，CD=BE∴△ACD≌△CBE(SAS)，∴AD=CE=DF，∵EF=CD，∴四边形CDFE是平行四边形。练习：(1)易证 (2)DE=例3、解答：在四边形AECF中，∵ ∠EAF＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD， ∴ ∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－60°－90°－90°＝120°． 在ABCD中，∵ AB∥CD，∴ ∠B＋∠C＝180°．∠C＋∠D＝180°，∴ ∠B＝∠D＝60°． 在Rt△ABE中，∠B＝60°，BE＝2cm， ∴ AB＝4cm，CD＝AB＝4cm．(平行四边形的对边相等) 同理，在Rt△ADF中，AD＝6cm，∴ BC＝AD＝6cm， ∴ ∴ ．练习：解：平移线段AM至BE，连EA，则四边形BEAM为平行四边形∴BE＝AM＝9，ED＝AE＋AD＝15，又∵BD＝12∴∠EBD＝90°，BE⊥BD， ∴△EBD面积＝又∵2AE＝AD∴△ABD面积＝＝36∴ABCD的面积＝72.例4、解：延长BD交AC于点N． ∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN， ∴ ∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°， 又∵ AD为公共边，∴ △ABD≌△AND(ASA) ∴ AN＝AB＝12，BD＝DN． ∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6， ∵ D、M分别为BN、BC的中点， ∴ DM＝CN＝＝3．练习：B；解： 连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，∴ 线段EF的长度将保持不变．例5-练习：证明：如图,过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，∴NE=AM，ME⊥BC， ∵ME=AN=CM,∠EMB=∠MCA=90∘，BM=AC，∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠3=90∘，∴∠2+∠4=90∘且BE=NE，∴△BEN为等腰直角三角形,∠BNE=45∘，∵AM∥NE，∴∠BPM=∠BNE=45∘.课后巩固1、解：(1)选证△BDE≌△FEC证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACD=60°∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120°又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC(2)四边形ABDF是平行四边形理由：由(1)知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°∴AB∥DF，BD∥AF∵四边形ABDF是平行四边形。2、解：(1)∵ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE(2)∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，∵四边形ABCD是正方形∴BE′∥DG，AB=CD∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG∴四边形DE′BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形3、分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，∴∠AEO=∠CGO，∵∠AOE=∠COG，OA=OC∴△AOE≌△COG，∴OE=OG同理△BOF≌△DOH∴OF=OH∴四边形EFGH是平行四边形4、四边形DEBF是平行四边形；理由是：连接BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，DO=BO；∵AE=CF，∴AO−AE=CO−CF，∴EO=FO，又∵DO=BO，∴四边形DEBF是平行四边形。5、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，又∵ED=BF，∴AD−ED=BC−BF，即AE=CF，在△AEO和△CFO中,⎧AE=CF ∠AEO=∠CFO ∠FCO=∠EAO，∴△AEO≌△CFO，∴OA=OC.6、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠F=∠E，∠FDO=∠EBO，又∵CF=AE，∴ED=BF，∴△EOD≌△FOB.∴OD=OB，OF=OE.即EF与BD互相平分。7、(1)易证 (2)由(1)可知AD=BC ∠DAF=∠BCE ∴AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形8、∵BE是∠ABC的平分线,∠ABC=70∘,∴∠ABE=∠CBE=35∘,∠ADC=∠ABC=70∘，在ABCD中，∵AD∥BC，∴∠EBF=∠AEB=35∘，∵DF∥BE，∴∠ADF=∠AEB=35∘，∴∠CDF=35∘.9、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵CE⊥BE，∴∠EBC+∠ECB=90° ∵∠ABC+∠DCB=180°∴∠ABE+∠DCE=90°，∴∠BCE=∠DCE，同理得：CD=DE，∵AD=AE+ED=AB+CD=2CD，∴BC=2CD10、(1)证明：当∠AOF=90∘时，∵∠BAO=∠AOF=90∘，∴AB∥EF，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形。(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，在△AOF和△COE中∠FAO=∠ECO AO=CO ∠AOF=∠COE.∴△AOF≌△COE(ASA).∴AF=EC. 11、证明：连接BD，交AC于点O.∵四边形ABCD和EBFD均是平行四边形，∴OA=OC，OE=OF，∠ACD=∠BAC即∠FCD=∠EAB∴OA-OE=OC-OF，即AE=CF.∴在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS)12、证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C,DC∥AB.∵AE=CF,∴△ADE≌△CBF(SAS).∴∠AED=∠CFB,DE=BF.∵DC∥AB,∴∠CFB=∠ABF.∴∠AED=∠ABF.∴ME∥FN.又∵M、N分别是DE、BF的中点，且DE=BF，∴ME=FN.∴四边形ENFM是平行四边形。13、证明：∵ABCD，∴AB∥CD，BC∥AD，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，∵AB=CD，∴BF=DE，∵BF∥DE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴FG∥HE，∵GE∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG=FH特殊平行四边形类型一、矩形的性质例1、解：(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；(2)连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由(1)知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN=2，设AP=x，则PD=6﹣x，在Rt△PDN中PD2+DN2=PN2，∴(6﹣x)2+22=x2，解得：x=所以AP=．练习：A例2、(1)证明：在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD.∴∠EBF=∠DCF，∠BEF=∠CDF.∵AB=BE，∴BE=CD.在△ABD与△BEC中，∠EBF=∠DCF BE=CD ∠BEF=∠CDF，∴△BEF≌△CDF.(2)由(1)知，四边形BECD为平行四边形，则FD=FE，FC=FB.∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠FCD.又∵∠BFD=2∠A，∠BFD=∠FCD+∠FDC，∴∠FCD=∠FDC，∴FC=FD，∴FC+FB=FD+FE，即BC=ED，∴四边形BECD为矩形.例3、解析：证明：在ABCD中，AD∥BC， ∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°， ∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC， ∴ ∠BAE＋∠ABE＝∠BAD＋∠ABC＝90°． ∴ ∠HEF＝∠AEB＝90°． 同理：∠H＝∠F＝90°．∴ 四边形EFGH是矩形．例4、证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝AB，DF＝CD.∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA.(2)四边形AECF是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝AB，DF＝CD.∴AE∥CF且AE＝CF.∴四边形AECF是平行四边形.∵CA＝CB，E是AB的中点，∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形.例5、C；解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．练习：连接OP． ∵ 四边形ABCD是平行四边形． ∴ AO＝CO，BO＝DO， ∵ ∠APC＝∠BPD＝90°，∴ OP＝AC，OP＝BD，∴ AC＝BD．∴ 四边形ABCD是矩形．课后巩固1-4：DDBC5.； 6. 30或14； 7.12； 8.；9.(1)证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO＝∠DFO＝90°，∵点O是EF的中点，∴OE＝OF，又∵∠DOF＝∠BOE，∴△BOE≌△DOF(ASA)；(2)解：四边形ABCD是矩形．理由如下：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD，又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OA＝BD，OA＝AC，∴BD＝AC，∴ABCD是矩形．10.证明：(1)由折叠可得．∵ AD∥BC， ∴ ，∴ ，∴ ．(2)猜想．理由：由题意，得，．由(1)知．在中，∵ ，，，，∴ ．11、(1)证明：∵∠BAD=∠CAE，　　∴∠EAB=∠DAC，　　在△ABE和△ACD中　　∵AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD　　∴△ABE≌△ACD(SAS)；　(2)证明：∵△ABE≌△ACD，　　∴BE=CD，　　又DE=BC，　　∴四边形BCDE为平行四边形．　　∵AB=AC，　　∴∠ABC=∠ACB　　∵△ABE≌△ACD，　　∴∠ABE=∠ACD，　　∴∠EBC=∠DCB　　∵四边形BCDE为平行四边形，　　∴EB∥DC，　　∴∠EBC+∠DCB=180°，　　∴∠EBC=∠DCB=90°，　　四边形BCDE是矩形．12、证明：连接EG、DG，∵ CE是高， ∴ CE⊥AB． ∵ 在Rt△CEB中，G是BC的中点， ∴ EG＝BC，同理DG＝BC． ∴ EG＝DG． 又∵ F是ED的中点， ∴ FG⊥DE．18.3.2菱形例1、证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)，∴DF=BE．练习：1、50°；解：在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，∴在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO(SAS)，∴∠CBO=∠CDO=50°．2、C；例2、解：四边形DECF是菱形，理由如下： ∵ DE∥AC，DF∥BC ∴ 四边形DECF是平行四边形． ∵ CD平分∠ACB，∴ ∠1＝∠2 ∵ DF∥BC， ∴ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3．∴ CF＝DF，∴ 四边形DECF是菱形．例3： 解：四边形AEDF是菱形，理由如下： ∵ EF垂直平分AD， ∴ △AOF与△DOF关于直线EF成轴对称． ∴ ∠ODF＝∠OAF， 又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE， ∴ ∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF， 同理可得：DE∥AF． ∴ 四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF 又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分． ∴AEDF是菱形．例4、解析：(1)证明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF(AAS)；(2)解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6(s)．故答案为：6s．练习1.(1)①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形，②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8−x)cm，在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+(8−x)2=x2，解得x=5，∴AF=5cm.(2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A. C. P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形。因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，∴PC=5t，QA=CD+AD−4t=12−4t，即QA=12−4t，∴5t=12−4t，解得t=，∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=秒。②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上。分三种情况：i)如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12−b，得a+b=12；ii)如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12−b=a，得a+b=12；iii)如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12−a=b，得a+b=12.综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).2.解：(1)∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形 ∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a ∴四边形AQMP的周长为2a(2)M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM, ∴四边形AQMP为菱形课后巩固1、解析： 证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC， ∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°． ∵ ∠1＝∠2， ∴ ∠3＝∠4． ∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD． ∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．∴ AE＝AG又 EF∥AG． ∴ 四边形AEFG是平行四边形． 又∵ AE＝AG， ∴ 四边形AEFG是菱形． 方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC， ∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°． ∴ ∠3＝∠4． ∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD． ∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5． ∴ AE＝AG． 在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG， ∴ △AEG≌△FEG． ∴ AG＝FG． ∴ AE＝EF＝FG＝AG． ∴ 四边形AEFG是菱形．2.证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD ∵ E、F分别为AB、CD的中点 ∴ DF＝DC，BE＝AB ∴ DF∥BE．DF＝BE ∴ 四边形DEBF为平行四边形 ∴ DE∥BF (2)证明：∵ AG∥BD ∴ ∠G＝∠DBC＝90° ∴ △DBC为直角三角形 又∵ F为边CD的中点． ∴ BF＝DC＝DF 又∵ 四边形DEBF为平行四边形 ∴ 四边形DEBF是菱形3.解析： 解：连接AC． ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF． 又∵ ∠B＝60°， ∴ △ABC是等边三角形． ∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC． ∴ ∠ACF＝∠B＝60°． 又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60° ∴ ∠BAE＝∠CAF． ∴ △ABE≌△ACF． ∴ AE＝AF． ∴ △AEF为等边三角形． ∴ ∠AEF＝60°． 又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°， ∴ ∠CEF＝18°．4.C．解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF′=DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．5、解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16． 6、解答：(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC=BE，∴四边形BCFE是菱形。(2)∵四边形BCFE是菱形,∠BCF=120∘，∴∠ACB=60∘，∵BC=BE，∴△BEC是等边三角形，∴∠BEC=60∘，∵E是AC的中点，CE=4，∴AE=EC=BE=4,∴∠A=30∘，∴∠ABC=180∘−∠ACB−∠A=90∘.在Rt△ABC中,AB2=AC2−BC2,AB=18.3.3正方形例1、C．解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°(平行四边形对角相等)．故选C．练习：1、证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°∵E为BC延长线上的点，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE．在△BCF和△DCE中，，∴△BCF≌△DCE(SAS)，∴BF＝DE．2.B；提示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣150°)=15°，∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；例2-练习：(1)证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90∘，∴四边形ADCE为矩形。(2)当△ABC满足∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45∘，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45∘，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形。∴当∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。例3、证明：(1)∵AD=CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC．即得DE是线段AC的垂直平分线．∴AF=CF．∴∠FAC=∠ACB．在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．∴∠B=∠BAF．∴AF=BF．(2)∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．在△AEG和△CEF中，，∴△AEG≌△CEF(AAS)．∴AG=CF．又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．即得点F是边BC的中点．又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．∴四边形AFCG是正方形．例4、证明：(1)延长DC，使CH＝AE，连接BH，∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE，∴ Rt△BAE≌Rt△BCH，∴ ∠1＝∠2，BE＝BH．又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，在△EBF和△HBF中∴ △EBF≌△HBF，∴ EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF． (2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF－AE．证明：在CF上截取CH＝AE，连接BH．∵ 四边形ABCD是正方形，∴ 在Rt△EAB和Rt△HCB中，∴ Rt△EAB≌Rt△HCB，∴ BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．∵ ∠HBC ＋∠ABH＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH＝90°．又∵ ∠EBF＝45°，∴ ∠HBF＝45°，即∠EBF＝∠HBF．在△EBF和△HBF中∴ △EBF≌△HBF，∴ EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE． 练习： 证法一：(间接折半法)如图①所示． ∵ ∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6． 而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°． ∴ ∠3＝∠5，BE＝BF． 取AE的中点G，连接OG， ∵ AO＝OC，∴ OG EC． 由∠7＝∠5，∠8＝∠3， ∴ ∠7＝∠8，∴ FO＝GO． ∴ EC＝2OG＝2FO． 证法二：(直接折半法)如图②所示． 由证法一得BE＝BF． 取EC的中点H，连接OH． ∵ AO＝OC，∴ OH∥AE． ∴ ∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO． ∴ BO＝BH，∴ FO＝EH． ∴ EC＝2EH＝2FO． 证法三：(直接加倍法)如图③所示． 由证法一得BE＝BF．在OD上截取OM＝OF，连接MC．易证Rt△AOF≌Rt△COM．∴ ∠OAF＝∠OCM，∴ AE∥MC． 由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM， ∴ FM＝EC．∴ EC＝FM＝2FO．例5、(1)等腰(2)如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形。∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A.∴四边形ABFE为正方形。∴BF=AB=2，∴F(2,0).(3)矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，理由如下：i、当F在边OC上时，如图②所示。，即当F与C重合时，面积最大为4.ii、当F在边CD上时，如图③所示，过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K.∵∴即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4.下面求面积最大时，点E的坐标。i、当F与点C重合时，如图④所示。由折叠可知CE=CB=4，在Rt△CDE中,∴∴E(,2).ii、当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示。此时E(0,2).综上所述,折痕△BEF的最大面积为4时,点E的坐标为E(0,2)或E(,2)..例6、解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．(2)EG＝CG，且EG⊥CG． 证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③， ∵ ∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°， ∴ 四边形BEMC是矩形． ∴ BE＝CM，∠EMC＝90°， 又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM． ∵ ∠EMC＝90°，FG＝DG， ∴ MG＝FD＝FG． ∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD． ∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴∠F＝45°． 又FG＝DG，∠CMG＝∠EMD＝45°， ∴ ∠F＝∠GMC，∴ △GFE≌△GMC，∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，∵ MG⊥DF，∴ ∠FGE＋∠EGM＝90°，∴ ∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，∴ EG⊥CG．课后巩固1-5：DADBB 6.7 7.13 8.128 9.(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB(已知)，∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC(已知)，∴OD⊥AC，AD＝DC(等腰三角形的“三线合一”的性质)，∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由(1)知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．10.(1)BE的长为 (2)证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，∵由(1)知，△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∴△DEF为等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，∵∠DHE=∠BHF，∴∠EDH=∠BFH(三角形的内角和定理)，在△DEH和△DFI中，DE＝DF，∠DEH＝∠DFI，EH＝FI∴△DEH≌△DFI(SAS)，∴DH=DI，又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，∴∠HDE=∠BFE=∠ADE，∵∠HDE+∠ADE=45°，∴∠HDE=15°，∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，即△DHI为等边三角形，∴DH=HI，∴HF=FI+HI=HE+HD，即HF=HE+HD．11.(1)证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG=EH，∵AH=2，DG=2，∴DG=AH，在Rt△DHG和△AEH中，，∴Rt△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形；(2)解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四边形EFGH为菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠QGF，在△AEH和△QGF中，∴△AEH≌△QGF，∴AH=QF=2，∵DG=6，CD=8，∴CG=2，∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．平行四边形单元测试1.C　2.D　3.B　4.C　5.D　6.C　7.A　8.B　9.A　10.D　11.B　12.A　13.60°,120°　14.3215.5　16.8　17.218.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,所以∠ADB=∠CBD,因为AF平分∠BAD,所以∠DAF=∠BAD,因为CE平分∠BCD,所以∠BCE=∠BCD,所以∠DAF=∠BCE,在△DAF和△BCE中,所以△ADF≌△CBE(ASA),所以AF=CE,∠AFD=∠CEB,所以AF∥CE,所以四边形AFCE是平行四边形.19.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以OB=OD(矩形的对角线互相平分),AE∥CF(矩形的对边平行),所以∠BEO=∠DFO,∠OBE=∠ODF,在△BOE与△DOF中,所以△BOE≌△DOF(AAS).(2)解:当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形,证明:连接AF,EC,因为四边形ABCD是矩形,所以OA=OC(矩形的对角线互相平分),又因为△BOE≌△DOF,所以OE=OF,所以四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),因为EF⊥AC,所以四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).20.(1)证明:因为菱形ABCD,所以AB=CD,AB∥CD,又因为BE=AB,所以BE=CD,BE∥CD,所以四边形BECD是平行四边形,所以BD=EC.(2)解:因为平行四边形BECD,所以BD∥CE,所以∠ABO=∠E=50°,又因为菱形ABCD,所以AC⊥BD,即∠AOB=90°,在Rt△AOB中,所以∠BAO=90°-∠ABO=40°,所以∠BAO的大小为40°.21.(1)证明:∵点D,E分别是边BC,AB的中点,∴DE∥AC,AC=2DE,∵EF=2DE,∴EF∥AC,EF=AC,∴四边形ACEF是平行四边形,∴AF=CE.(2)解:当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形;理由如下:∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°,AC=AB=AE,∴△AEC是等边三角形,∴AC=CE,又∵四边形ACEF是平行四边形,∴四边形ACEF是菱形.22.(1)证明:因为四边形ABCD为矩形,沿MN翻折后,A,C重合,所以AO=CO,AD∥BC,所以∠1=∠2,在△AON和△COM中,所以△AON≌△COM(ASA).(2)解:连接AM,因为四边形ABCD是矩形,AB=6,BC=8,所以∠B=90°,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC===10,由对折知,MN垂直平分AC,所以∠COM=90°,CO=AO=AC=×10=5,CM=AM,设BM=x,则AM=CM=BC-BM=8-x,在Rt△ABM中,由勾股定理,得AM2-BM2=AB2,即(8-x)2-x2=62,解得x=,所以BM=,CM=8-=,在Rt△COM中,由勾股定理,得OM=所以线段OM的长度为.23.(1)证明∵PC平分∠ACB,PD⊥CA,PE⊥CB,∴PD=PE.∴Rt△PCD≌Rt△PCE,∴CD=CE.在△DMC和△EMC中,∴△DCM≌△ECM,∴DM=EM.(2)解:当点M运动到线段CP的中点时,四边形PDME为菱形.理由如下:∵M为PC的中点,PD⊥CA,∴DM=PC,在直角三角形PDC中.∵∠ACB=60°,∴∠PCD=30°,∴PD=PC,∴DM=PD.由(1)得DM=EM,PD=PE,∴PD=PE=EM=DM,∴四边形PDME为菱形.24.(1)证明:因为E,F分别是AD,BD的中点,G,H分别是BC,AC的中点,所以EF∥AB,EF=AB,GH∥AB,GH=AB,所以EF∥GH,EF=GH,所以四边形EFGH是平行四边形.(2)解:当AB=CD时,四边形EFGH是菱形,理由:因为E,F分别是AD,BD的中点,H,G分别是AC,BC的中点,G,F分别是BC,BD的中点,E,H分别是AD,AC的中点,所以EF=AB,HG=AB,FG=CD,EH=CD,又因为AB=CD,所以EF=FG=GH=EH,所以四边形EFGH是菱形.25.(1)证明:因为E是AD的中点,所以AE=ED,因为AF∥BC,所以∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE,在△AFE和△DBE中,所以△AFE≌△DBE(AAS),所以AF=BD,因为AD是BC边中线,所以CD=BD,所以AF=CD.(2)解:四边形ADCF的形状是菱形.证明:因为AF=DC,AF∥BC,所以四边形ADCF是平行四边形,因为AB⊥AC,所以∠CAB=90°,因为AD为中线,所以AD=DC=BD=BC,所以平行四边形ADCF是菱形.(3)解:AB=AC.26.解:(1)作图如图(a)所示,因为△ABD和△ACE都是等边三角形,所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠BAE=∠BAC+∠CAE,所以∠DAC=∠BAE.在△DAC和△BAE中,所以△DAC≌△BAE(SAS),所以BE=CD.(2)BE=CD.理由:因为四边形ABFD和ACGE是正方形,所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=90°,因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠BAE=∠BAC+∠CAE,所以∠DAC=∠BAE,在△DAC和△BAE中,所以△DAC≌△BAE(SAS),所以BE=CD.(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,以边AB为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABD,如图(b)所示.则∠BAD=90°,AD=AB,∠ABD=45°.在Rt△ABD中,AD=AB=100米,由勾股定理得,BD==100米.因为∠ABC=45°,所以∠DBC=∠DBA+∠ABC=45°+45°=90°,则△DBC为直角三角形.在Rt△DBC中,BC=100米,由勾股定理得,DC==100米.由(1)可知,BE=DC=100米.所以BE的长为100米.第十九章 一次函数19.1函数与变量例2、答案：(1)和(3)不是函数关系，(2)是函数关系。练习：答案：(1)(2)(4)是，(3)(5)(6)不是。答案：D 练习：C 例4：D； 练习：(1)x取任意实数(2)x取任意实数(3)(4)(5)(6)例7、答案：(1)；(2)；例8、B练习：1、B 2、A 3、C 4、D例9-练习：1、C 2、A例10、令x=0，则y=1；令y=0,则−2x+1=0,解得：x=.故函数y=−2x+1的图象过点(0,1),(,0).找出点(0,1),(,0)，过该两点作直线即可，如图所示。巩固练习一、选择题1-5、CCCBB 6-10、BAAAC 11-12、BD13、(1) 100 (2) 甲 (3) 814、(1) (2)BC边上的高；底边BC的长和△ABC的面积 (3) 36；915、(1) (2)x=-4,y=2；x=-2,y=-2 (3)y=0,x=-3，-1，4；y=4，x=1.5 (4)时，y的值最大为4；时，y的值最小为-2(5)当时，y随x的增大而增大；当或时，y随x的增大而减小.16、17、(1) ，如图 (2)再过2天,即n=6+2=8时，h=12+0.5×8=16(m)，再过2天水位高度将达到16米.19.2正比例函数例1.A 练习：1.A 2.C 例2.y=-6x 练习1.-1 2.m=2 3.k=1 4.B 例3. 练习：1. 2.0 3.例4.-3 二、四练习：1. 4 一 三 2.D 3.C 4.k>2 5.C 6.D 7.A例5.B 练习：a ；< 17.二、四；减小． 18.二、四；﹣7；减小． 19.解：设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)．∵它图象经过点P(﹣1，2)，∴2=﹣k，即k=﹣2．∴正比例函数的解析式为y=﹣2x．又∵它图象经过点Q(﹣m，m+3)，∴m+3=2m．∴m=3．20.(1)y=3x﹣5 (2)当y=1时，3x﹣5=1．解得x=221.y与x之间的函数表达式是．把x=2代入得：． 22.(1) (2)a每千瓦时0.5元 b每千瓦时0.9元 23.P1(，4)P2(，-4)19.3一次函数例1.B 练习：1.B 2. 例2.①③④⑤ 练习：1.C 2.B 例3.C 练习：1.≠-2；=1 2.B 例4.四 练习：1.A 2.B 例5.C 练习：1.＞ 2.一 3.C 4.A 5.A 6.A 7. 8.一 三 四 9. 10.三 例6.D 练习：1.C 2.D 3.B 4.A 例7.D 练习：B 例8.减小 练习：1.> 2. 3. 4.D 5.> 6.A 例9.D 练习：1.D 2.(1)k=9 (2)k=10 (3)k<9 (4)k=4 (5)k>3 例10. 练习：1. 2. 3. 4. 例11-练习：1.(1) (2)2.25 2.9 3.(2,0)(0，-4) 4课后巩固一、填空题1.(3，0)(0,6) 9 2、1 3.(1)4 2 (2)-2 4 (3)-6 -13 4. 2 5. 6. 7. 8.< 9.> > < < < > 10.二 11.(10,0)(0，-5) 12.(1)m<-2 (2)m≠-2 n <4 (3)m≠-2 n =4 二、选择题1-13：D A A B B C DCCBAAB三、解答题1.A在两个函数图像上，B在y=-3x+4图像上(图略)2.y=2x-2 3.3 4.(1) (2) 5.(1)(2)150km 3. 419.4一次函数与一次方程(组)例1、2 练习：1.(2,-1) 2.D 3.(1,0)4.x=1,y=7 ，K=3 5.(-2,0) 6.(1,3)例2.C 练习：1.4 2.x=3 3. 4.C 5.A 例3-练习：1.A 2.D 3.B 4. 5.K<0 例4.A 练习：1.B 2.B 3.k=9,15 例5-练习1.： 2.(1)C(2,2) (2) (3) 19.5一次函数与一次不等式D 练习：1.C 2.B 3.A 4.x>2 例2、C 练习：1.D 2.D 3.x>-1 4.D 5.D 6 .B 例3、33 6.x>1 7.B 8.x<4 9.A 10.x<-2 11.B 12.x>3 13.B 14.19.6一次函数的应用例1、(1)函数关系式为 (2)能印该读物12800册练习：(1) (2)至少100套例2、(1)(2)需售门票920张或1020张，相应地需支付成本费用分别为56000元或61000元。练习：(1)解析式分别为 ， (2)当甲到达山顶时，乙距山顶的距离为 4km ．(3)当乙达到山顶时，甲距山脚 6km ．例3、(1) (2)这个有效时间为6小时。练习：(1)(2)∵50<60，∴只打了50次电话，则该月应付话费20元；∵100>60，∴打了100次电话，则该月小王应付话费20+0.13×40=25.2元；(3)该月通话的次数是120次。例4、(1)2h 10m (2)① ② (3)的值为4练习：(1)直线AB的解析式为.当x=0时，y=280.甲乙两地之间的距离为280千米。(2)3.5小时 (3)例5、(1)所求a的值为40 (2)售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有220人(3)需同时开放6个售票窗口。练习：(1)120；2.(2)点P的坐标为(1,30).该点坐标的意义为：两船出发1h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30km。(3)当⩽x⩽时或当⩽x⩽3时，甲、乙两船可以相互望见。例6、(1)一次函数的解析式为.(2)当x=84时,W取得最大值,最大值是：−(84−90)2+900=864(元).即销售价定为每件84元时，可获得最大利润，最大利润是864元。练习：(1)(2)当x=44时，ymax=3820，即生产N型号的时装44套时，该厂所获利润最大，最大利润是3820元．例7、(1)工厂可有三种生产方案，分别为方案一：生产A产品30件，生产B产品20件；方案二：生产A产品31件，生产B产品19件；方案三：生产A产品32件，生产B产品18件；选择方案三可获利最多，最大利润为19100元。练习：(1)设购进甲种商品x件,乙种商品(20−x)件，根据题意得190⩽12x+8(20−x)⩽200，解得7.5⩽x⩽10，∵x为非负整数，∴x取8，9，10，有三种进货方案：①购甲种商品8件，乙种商品12件；②购甲种商品9件，乙种商品11件；③购甲种商品10件，乙种商品10件。(2)设利润为w元，则w=(14.5−12)x+(20−x)×(10−8)=0.5x+40 (x=8，9，10)，∴购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润是45万元。(3)①全进甲,能购买3件,利润为(14.5−12)×3=7.5万元；②全进乙,能购买5件,利润为(10−8)×5=10万元；③甲进1件，同时乙进4件,利润为(14.5−12)×1+(10−8)×4=10.5万；④甲进2件，同时乙进2件，利润为2.5×2+2×2=9万元；⑤甲进3件，同时乙进1件，利润为2.5×3+2×1=9.5万元；所以购甲种商品1件，乙种商品4件时，可获得最大利润为10.5万元。例8、(1)A种型号服装每件90元，B种型号服装每件100元．(2)有三种进货方案：B型服装购进10件，A型服装购进24件；B型服装购进11件，A型服装购进26件；B型服装购进12件，A型服装购进28件．练习：(1)由题意得：，故所求函数关系为；(2)根据题意可列不等式组解得28⩽x⩽30所以，方案有以下几种①A 28  B 22②A 29  B 21③A 30  B 20；(3)由第一问不难看出x值越大，y值越小因此方案③运费最少y=−0.3×30+40=31，所以，在这些方案中，③方案的总运费最少，最少运费是31万元。例9、(1)30⩽x⩽32.(2)，当x=32时，y有最大值，且最大值是1320千元。练习：(1).(2)根据题意列出不等式得,且，解得200⩽x⩽250250×3+250×2⩽w⩽200×3+200×2+100×3，即1250⩽w⩽1300.例10、(1)因为工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，由题意得：选择方案一时,月利润为y1=x−0.55x−0.05x−20=0.4x−20(x>0)，选择方案二时,月利润为y2=x−0.55x−0.1x=0.35x(x⩾0)；(2)若y1>y2，即0.4x−20>0.35x，解得x>400，则当月生产量大于400件时，选择方案一所获得利润较大；则当月生产量等于400件时，两种方案所获得利润一样大；则当月生产量小于400件时，选择方案二所获得利润较大。练习：(1)，(2)分为三种情况：若，则，解得：。当时，选择优惠方法①、②均可。若，即。当且为整数时，选择优惠方法②。若，即，当，且为整数时，选择优惠方法①。(3)最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔。课后巩固1.(1)每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元。(2)求函数关系式为：y= (3)小明家5月份水费70元。2.(1)2cm (2) (3)10个3.(1) (2)(3)个体车主4.(1)由图象可知，A. B两地的距离是300千米，甲车出发1.5小时到达C地；(2)(3)即乙车出发小时或3小时，两车相距150千米。5.(1)3，31 (2)加油前油箱剩油量y与行驶时间t的函数关系式是.(3)由图可知汽车每小时用油(50−14)÷3=12(升)，所以汽车要准备油210÷70×12=36(升)，因为45升>36升，所以油箱中的油够用.6.(1)符合题意的生产方案有两种：①生产A种产品25件，B种产品15件；②生产A种产品26件，B种产品14件。(2)一件A种产品的材料价钱是：7×50+4×40=510(元)，一件B种产品的材料价钱是：3×50+10×40=550(元)，方案①的总价钱是：25×510+15×550=21000(元)，方案②的总价钱是：26×510+14×550=20960(元)，由此可知：方案②的总价钱比方案①的总价钱少，所以方案②较优。即生产A种产品26件，B种产品14件较优。7.(1)加工方案有三种：①加工一般糕点24盒、精制糕点26盒；②加工一般糕点25盒、精制糕点25盒；③加工一般糕点26盒、精制糕点24盒。(2)按方案③加工利润最大，最大利润为24×1.5+26×2=88(元).8.(1)x取整数有：甲3 乙3，甲4 乙3，甲5 乙1，共有三种方案。(2)租车方案及其运费计算如下表。答：共有三种租车方案，其中第一种方案最佳，运费是5100元。9.(1)三种生产方案：方案一：生产A种产品30件，生产B种产品20件；方案二：生产A种产品31件，生产B种产品19件；方案三：生产A种产品32件，生产B种产品18件；(2)设生产A种产品x件,则生产B种产品(50−x)件，由题意，得由一次函数的性质知，y随x的增大而减小。因此，当x=30时，y取最大值，且ymax=45000.10.(1)该单位这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有33户．11.(1).(2)根据题意，得：y⩾2x，∴150−x⩾2x，解得：x⩽50，又∵x⩾0，150−x⩾0，∴0⩽x⩽50，∴p=600x+1000(150−x)，=−400x+150000.又∵p随x的增大而减小，并且0⩽x⩽50，∴−400×50+150000⩽p⩽−400×0+150000，即130000⩽p⩽150000.12.(1)根据题意得；(2)设实际医疗费为x元，根据题意得2600=x−y=x−(0.7x−350)=0.3x+350，解得x=7500.答：若自付医疗费2600元，则实际医疗费为7500元；(3)设实际医疗费为y元，根据题意得4100⩽y−(10000−500)×70%−(y−10000)×80%.解得y⩾13750.答：若自付医疗费4100元，则实际医疗费至少为13750元。第二十章 数据的分析20.1数据的集中趋势小关：78.65分 小兵：78.9分 例2. =597.5小时练习1、 =86.9 =87.5 乙被录取 2、答案 ：165.5例3、(1)中位数210件、众数210件 (2)不合理。因为15人中有13人的销售额达不到320件(320虽是原始数据的平均数，却不能反映营销人员的一般水平)，销售额定为210件合适，因为它既是中位数又是众数，是大部分人能达到的额定。例4、(1)1.2匹 (2)通过观察可知1.2匹的销售最大，所以要多进1.2匹，由于资金有限就要少进规格为2匹空调。练习：1. 众数90 中位数 85 平均数 84.62.(1)15，15，15；平均数、中位数或众数(2).16；5；4、5、6，众数、中位数例5、解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，∴ 候选人丙将被录用．(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8， ∴ 候选人甲将被录用．练习：解：小王平时测试的平均成绩(分)．所以(分)．答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．例6-练习：解：(1) ＝50－15－20－5＝10．(2)众数是15．平均数为×(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．课后巩固1. 2. 3. 53人 4. 约3.33万元 5. 约35.5岁 6. 65.4分贝 7、9，8； 8. 22； 9.B； 10.C； 11.(1)15. (2)约97天 12.(1)约2091 、1500、1500(2)3288、1500、1500(3)中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平。13.(1)3.2 (2)2.1 (3)中位数20.2数据的波动程度例1、6 例2、1.(1)甲、乙两种农作物的苗平均高度相同，均为10cm ；(2) ，，甲整齐.练习：1、段巍的成绩比金志强的成绩要稳定。答案： 2. ＞、乙；3. =1.5、=1.65、＝1. 5、＝0.65，乙机床性能好4. ＝10.9、S＝0.02； ＝10.9、S＝0.01选择小兵参加比赛。例2、解：(1)由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30，则＝30－7－7－5－7＝4， 30÷5＝6，故答案为：4，6；(2)如图所示：；(3)①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，故答案为：乙；由于＜，所以上述判断正确．②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．练习：解：(分)， (分)． 甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分． (2)由(1)知分，所以，．①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；③从方差来看，因为，，所以甲的成绩较稳定；④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩．例3-练习：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是3×2-2=4；∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为13，∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的方差是13×32=3，∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的方差是3。例4、A组极差：10 B组极差：10 ， 练习：1.D 2.5 3.-5 4.-2或4课后巩固选择1．【答案】A【解析】10名学生的体育成绩中50分出现的次数最多，众数为50；第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：49+492 =49；平均数=46+2×47+48+2×49+4×5010=48.6，方差= 110 [(46-48.6)2+2×(47-48.6)2+(48-48.6)2+2×(49-48.6)2+4×(50-48.6)2]≠50；∴选项A正确，B、C、D错误；故选：A。2．【答案】D【解析】由图可知丁射击10次的成绩为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，则丁的成绩的平均数为：110×(8+8+9+7+8+8+9+7+8+8)=8，丁的成绩的方差为：(-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2]=0.4，∵丁的成绩的方差最小，∴丁的成绩最稳定，∴参赛选手应选丁，故选：D。3．【答案】B【解析】∵乙的10次射击成绩不都一样，∴a≠0，∵乙是成绩最稳定的选手，∴乙的方差最小，∴a的值可能是0.020，故选：B。4．【答案】B【解析】甲同学四次数学测试成绩的平均数是14(87+95+85+93)=90，A错误；甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分，B正确；乙同学四次数学测试成绩的众数是80分和90分，C错误；∵∴甲同学四次数学测试成绩较稳定，D错误，故选：B。二、解答题5．(1)x甲= 110(7+8+6+8+6+5+9+10+4+7)=7；=[(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(4-7)2+(7-7)2]=3；x乙=110(9+5+7+8+6+8+7+6+7+7)=7；= 110 [(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=1.2；∴因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差小于甲同学的方差，∴乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛。6．(1)甲的平均数= 110(585+596+…+601)=601.6，乙的平均数= 110(613+618+…+624)=599.3；(2)甲的极差为：613-585=28；乙的极差为：624-574=50；= 110 [(585-600)2+(596-600)2+…+(601-600)2]=65.84，= 110 [(613-600)2+(618-600)2+…+(624-600)2]=284.21。(3)甲的成绩较稳定，乙的最好成绩好。(4)若只想夺冠，选甲参加比赛；若要打破记录，应选乙参加比赛。7．(1)甲种电子钟走时误差的平均数是15(1-3-4+4+2)=0，乙种电子钟走时误差的平均数是：15(4-3-1+2-2)=0．(2)=15 [(1-0)2+(-3-0)2+…+(2-0)2]= 15×46=9.2，= 15 [(4-0)2+(-3-0)2+…+(-2-0)2]= 15×34=6.8，∴甲乙两种电子钟走时误差的方差分别是9.2s2和6.8s2；(3)因为乙的方差小于甲的方差，所以乙更稳定，故买乙种电子钟8．(1)x学生奶=3，x酸牛奶=80，x原味奶=40，金键酸牛奶销量高；(2)金键学生奶的方差=12.57；金键酸牛奶的方差=91.71；金键原味奶的方差=96.86，金键学生奶销量最稳定；(3)酸奶进80瓶，原味奶进40瓶，学生奶平时不进或少进，周末进一些．9．(1)将小勇成绩从小到大依次排列为580，590，596，597，597，630，631，中位数为597cm，将小明成绩从小到大依次排列为589，596，602，603，604，608，612中位数为603cm，小明成绩的平均数为：(589+596+602+603+604+608+612)÷7=602cm，小勇成绩的平均数为：(603+589+602+596+604+612+608)÷7=603cm，方差为：= 1 7 [(597-603)2+(580-603)2+…+(596-603)2]≈333cm2，= 1 7 [(603-602)2+(589-602)2+…+(608-60)2]≈49cm2，(2)从成绩的中位数来看，小明较高成绩的次数比小勇的多；从成绩的平均数来看，小勇成绩的“平均水平”比小明的高，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定；(3)在跳远专项测试以及之后的6次跳远选拔赛中，小明有5次成绩超过6米，而小勇只有两次超过6米，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定，选小明更有把握夺冠。(4)小勇有两次成绩分别为6.30米和6.31米，超过6.15米，而小明没有一次达到6.15米，故选小勇。学生作业测验期中考试期末考试小关80757188小兵76806890寿命450550600650700只数2010301525应聘者笔试面试实习甲858390乙8085921匹1.2匹1.5匹2匹3月12台20台8台4台4月16台30台14台8台得分5060708090100110120人数2361415541测试项目测试成绩甲乙丙教学能力857373科研能力707165组织能力647284零花钱数额（元）5101520学生个数（个）15205部门ABCDEFG人数1124225每人创得利润2052.521.51.51.2年龄频数43879112温度(℃)-8-1715212430天数3557622职员董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500部门ABCDEFG人数1124223每人所创的年利润2052.52.11.51.51.2方案甲种车乙种车运费(元)一331000×3+700×3=5100二421000×4+700×2=5400三511000×5+700×1=5700