2022-2023学年山西省晋中市灵石县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省晋中市灵石县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，共30分）.

1.  下列图形是物理器件的平面示意图，从左至右分别代表小车、放大镜、钩码和砝码，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  如果，那么下列不等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，小刚荡秋千，秋千旋转了，小刚的位置从点运动到了点，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  根据图象，可得关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图所示的是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点线段，的端点均在格点上，线段，交于点，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，等腰中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作周髀算经中汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”现在勾股定理的证明已经有多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”在验证过程中它体现的数学思想是(    )

A. 函数思想 B. 数形结合思想 C. 分类思想 D. 方程思想

9.  小聪用元钱去购买笔记本和钢笔共件已知每本笔记本元，每支钢笔元，设小聪最多能买支钢笔可列出不等式(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在中，，，用尺规作图，作的平分线交于点，则下列说法中：
若连接，，则≌；
；
点在的中垂线上；
：：．
其中正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  不等式的解集是______ ．

12.  已知：点与点关于原点成中心对称，则        ．

13.  如图，将周长为的沿方向向右平移个单位得到，则四边形的周长为          ．
 

14.  如图所示的人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形，若梯子长等于，梯子完全撑开后顶端离地面的高度等于，则此时梯子侧面宽度等于______

15.  如图，是等边三角形，且，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则的周长最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
小明解不等式的过程如下，请认真阅读并完成相应任务：
解：去分母得第一步
去括号得第二步
移项得第三步
合并同类项得第四步
系数化得第五步
任务一：以上求解过程中，去分母的依据是______ ；
第______ 步开始出现错误；
在中找出的错误的原因是______ ．
任务二：直接写出该不等式的正确解集．
任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议．

17.  本小题分
解不等式组：．

18.  本小题分
如图，在边长为的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点、的坐标分别是、．
将向下平移个单位后得到，请画出；
请画出将绕点逆时针旋转后得到的；
与关于原点中心对称，请画出．

19.  本小题分
如图，在中，，且，于点交的延长线于点．
求证：．
连接，求证：垂直平分．

20.  本小题分
为了配合初三同学体育训练，学校计划购买个实心球和若干跳绳，现有甲、乙两家体育用品商店经销这两种体育用品，且品牌和标价均相同，实心球标价为元个，跳绳标价为元条，经过协商，甲、乙两店都可以给予优惠甲店优惠方法是如果学校本次全部体育用品都在该店购买，则可以全部给予八折优惠，乙店的优惠方法是如果学校本次全部体育用品都在该店购买，实心球可以给予八五折优惠，跳绳可给予七折优惠请你帮助学校分析在哪家商店购买更合算．

21.  本小题分
阅读下面的材料并完成相应任务：
解一元二次不等式：．
解：把变形，得．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”得或．
解不等式组，得解不等式组，得．
所以的解集为或．
请你根据上面的解法，完成下列任务．
任务一：解不等式；
任务二：解不等式．

22.  本小题分
综合与实践
【问题情境
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到≌，依据是______ ；
A.
由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是______ ．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
初步运用
如图，是的中线，交于，交于，且若，，求线段的长．
灵活运用
如图，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接，试猜想线段、、三者之间的等量关系，直接写出你的结论．
 

23.  本小题分
综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
求直线的函数表达式；
判断的形状并说明理由；
在直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、在不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，即，不符合题意；
B、在不等式的两边同时加上，不等号的方向不变，即，不符合题意；
C、在不等式的两边同时乘，不等号法方向不改变，即，符合题意；
D、在不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，即，不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质进行分析判断．
本题主要考查了不等式的性质．不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：秋千旋转了，小刚的位置也从点运动到了点，
，，
．
故选：．
根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
 

4.【答案】 

【解析】解：从图象可知：两函数的图象的交点坐标是，
所以关于的不等式的解集是，
故选：．
根据函数图象得出两函数的交点坐标，再得出不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图象得出两函数的交点坐标是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：不等式的解集在数轴上表示为，

故选：．
用数轴表示不等式的解集即可．
本题考查不等式的解集，掌握用数轴表示不等式解集的方法是正确解答的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：取格点，连接，，则，

，
由勾股定理，得，，，
，，
是等腰直角三角形，
．
故选：．
取格点，连接，，可证，根据勾股定理和逆定理可判断为等腰直角三角形，即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
周长，
腰长，
，
周长．
故选：．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出周长，再根据等腰三角形两腰相等可得，代入数据计算即可得解．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两腰相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：．
根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
 

9.【答案】 

【解析】解：设小张买了支钢笔，则应满足的不等式是．
故选：．
根据题意分别表示出笔记本和钢笔总钱数进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确表示出总钱数是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由作法得，，
而为公共边，
≌；所以正确；
，
，所以正确；
，
，
，
点在的中垂线上；所以正确；
在中，，
而，
，
：：所以正确．
故选：．
根据作法得到，，则可根据”“对进行判断；利用≌得到，利用互余可计算出的度数，则可对进行判断；
证明得到，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对进行判断；根据含度的直角三角形三边的关系得到，则，然后根据三角形面积公式可对进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
即，，
．
故答案为：．
先根据关于原点对称点的特点求得、的值，然后代入计算即可．
本题主要考查了关于原点对称点的特点，掌握横、纵坐标均互为相反数是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，将周长为的沿边向右平移个单位得到，
则，，，
又，
四边形的周长．
故答案为：．
根据平移的基本性质解答即可．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行或共线且相等，对应线段平行或共线且相等，对应角相等．得到，是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形，梯子长等于，顶端离地面的高度等于，
，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故答案为：．
由题意得，，，再由等腰三角形的性质得，然后由勾股定理求出的长，即可得出结论．
本题考查了勾股定理的应用以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
又，
≌，
，
的周长，
将线段绕点顺时针旋转，
，，
是等边三角形，
，
当时，最小，即的周长有最小值，
，，
，
，
的周长最小值是，
故答案为：．
证明≌，由全等三角形的性质得出，由旋转的性质得出，，证明是等边三角形，则得出，当时，最小，即的周长有最小值，由直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，垂线段的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

16.【答案】不等式的基本性质  一  去分母时，漏乘 

【解析】解：任务一：以上求解过程中，去分母的依据是不等式的基本性质；
第一步开始出现错误；
在中找出的错误的原因是去分母时，漏乘；
故答案为：不等式的基本性质；
一；
去分母时，漏乘；
任务二：，
，
，
，
，
；
任务三：根据平时的学习经验，解不等式还需要注意的事项有：移项时注意变号答案不唯一．
根据不等式的基本性质，进行计算即可解答；
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
按照解一元一次不等式的步骤，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：． 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
如图，即为所求． 

【解析】根据平移的性质作图即可．
根据旋转的性质作图即可．
根据中心对称的性质作图即可．
本题考查作图平移变换、旋转变换、中心对称，熟练掌握平移、旋转、中心对称的性质是解答本题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
，
，
，
是的角平分线，
，，
；
由知，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
点、点在线段的垂直平分线上，
垂直平分． 

【解析】根据题意，平行线的性质和角平分线的性质即可证明结论成立；
先证明≌，根据全等三角形的性质得到，，根据线段的垂直平分线的判定即可得到垂直平分．
本题主要考查等腰三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质证得．
 

20.【答案】解：设购买条跳绳，则在甲店购买所需费用为元，在乙店购买所需费用为元．
当时，，
当时，在甲商店购买更合算；
当时，，
当时，在两家商店购买费用相同；
当时，，
当时，在乙商店购买更合算．
答：当购买跳绳的数量少于条时，在甲商店购买更合算；当购买跳绳的数量等于条时，在两家商店购买费用相同；当购买跳绳的数量多于条时，在乙商店购买更合算． 

【解析】设购买条跳绳，则在甲店购买所需费用为元，在乙店购买所需费用为元，分，及三种情况，求出的取值范围或的值，进而可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式或一元一次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：任务一：，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”得或，
解不等式组，得；解不等式组，得．
所以的解集为或；
任务二：，
由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”得或，
解不等式组，得无解集；解不等式组，得．
所以的解集为． 

【解析】任务一：根据例题的解题思路，进行计算即可解答；
任务二：根据例题的解题思路，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，理解例题的解题思路是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：是边上的中线，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：；

，即，
，
，
，
故答案为：；

延长到，使，连接，如图所示：
，
，
是中线，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
即，
故线段的长为；

线段、、之间的等量关系为：，理由如下：
延长到点，使，连接、，如图所示：
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，即，
中，，
．
由全等三角形的判定定理解答即可；
根据三角形的三边关系计算；
【初步运用】延长到，使，连接，由证得≌，根据全等三角形的性质即可得出答案；
【灵活运用】延长到点，使，连接、，易证，由证得≌，得到，推出，再由勾股定理即可得出结果．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：设直线函数表达式为，把，代入得：
，
解得，
直线函数表达式为；
是等边三角形，理由如下：
联立，
解得，
，
，，
，，，
，
是等边三角形；
在直线上存在点，使为直角三角形，理由如下：
当为直角顶点时，过作轴于，如图：

由知，，，
，
，，
，
，
，
；
当为直角时，如图：

在中，令得，
；
综上所述，的坐标为或 

【解析】用待定系数法可得直线函数表达式为；
求出，即可得，，，故AB，是等边三角形；
分两种情况：当为直角顶点时，过作轴于，由，，可得，，用面积法可得，故，；当为直角时，在中，令得
本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，等边三角形的判定，直角三角形的性质及应用等知识，解题的关键是分类思想的应用．