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2022-2023学年山西省晋中市平遥县七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山西省晋中市平遥县七年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省晋中市平遥县七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算正确的是( )
A. −a2⋅a3=a5 B. a2⋅a3=a6 C. a2+a3=a5 D. (a2)3=a6
2. 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A. B.
C. D.
3. 在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度下滑的时间，支撑物高度(h)与下滑的时间(t)的关系如下表：
支撑物高h(cm)
10
20
30
40
50
…
下滑时间t(s)
3.25
3.01
2.81
2.66
2.56
…
以下结论错误的是( )
A. 当h=40时，t约2.66秒
B. 随支撑物高度增加，下滑时间越来越短
C. 支撑物高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒
D. 估计当h=80cm时，t一定小于2.56秒
4. 课间小丽和小王利用直尺和三角板进行探究活动，如图，将直角三角板ABC与直尺贴在一起，使三角板ABC的直角顶点C(∠ACB=90° )在直尺的一边上，若量得∠1=62°，则∠2的大小为( )
A. 18° B. 28° C. 31° D. 38°
5. 如图，l是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A，小球从B到C从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是( )
A. 从大变小
B. 从小变大
C. 从小变大再变小
D. 从大变小再变大
6. 研究表明，当前变异新冠病毒毒性逐渐减弱，正确佩戴口罩仍很必要.某新型冠状病毒体大小约为0.125微米，而95口罩能过滤0.3微米的颗粒，并不能将病毒过滤，口罩的作用是阻挡病毒传播的“载体”，而非直接挡住病毒.1微米就是0.000001米.那么0.3微米用科学记数法表示为( )
A. 3×10−7米 B. 0.3×10−8米 C. 3×10−5米 D. 3×10−8米
7. 在进行整式乘法运算训练时，李明出了一道题：要求计算(2x+3y−4)(2x+ay+b)得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，请你分析并求出a−b的值为( )
A. 1 B. 7 C. −7 D. −1
8. 如图，直线AB//CD，点E，F分别在直线．AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，∠AEP和∠CFP的角平分线交于点H，已知∠P=88°，则∠H的度数为( )
A. 92°
B. 156°
C. 136°
D. 141°
9. 如图1，在某个底面积为20cm2盛水容器内，有一个实心圆柱体铁块，现在匀速持续地向容器内注水，容器内水的高度y(cm)和注水时间x(s)之间的关系满足如图中的图象，则水流速度是cm3/s．( )
A. 115 B. 403 C. 203 D. 30011
10. 如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b=7，ab=9，则阴影部分的面积为( )
A. 10
B. 1 1
C. 12
D. 13
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 如果一个角的余角是70°，那么这个角的补角的度数是______ ．
12. 如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量∠2=105°，要使木条a与b平行，则∠1的度数必须是______度．
13. 新冠疫情复工复产后，商场开展促销活动.已知某种商品的售价为60元/件，规定凡购买该商品超过5件，则超出的部分按照售价的6折付款.若一位顾客购买了x(x>5)件，需付款y元，则y与x间的关系式是______ ．
14. 定义一种新运算(a,b)，若ac=b，则(a,b)=c，例(2,8)=3，(3,81)=4.已知(3,5)+(3,7)=(3,x)，则x的值为______．
15. 将一副三角板按如图放置，则下列结论：
①∠1=∠3；②如果∠2=30°，则有AC//DE；③∠2+∠CAD=180°；④如果∠4=∠C，必有AB⊥ED.其中正确的有______(填写序号)
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：
(1)(−12)−2−(−1)2023+(π−2023)0．
(2)(a+2b+3c)(a+2b−3c)．
17. (本小题5.0分)
王老师给学生出了一道题：
求(2x+y)(2x−y)+2(2x−y)2+(2xy2−16x2y)÷(−2x)的值，其中x=12，y=−1．
同学们看了题目后发表不同的看法．
小明说：“条件y=−1是多余的.”
小亮说：“不给y=−1这个条件，就不能求出结果，所以不多余.”
你认为他俩谁说的有道理？为什么？
18. (本小题5.0分)
如图为一位旅行者在早晨8时从城市出发到郊外所走的路程S(单位：千米)与时间t(单位：时)的变量关系的图象．根据图象回答问题：
(1)在这个变化过程中，自变量是______ ，因变量是______ ．
(2)9时，10时，12时所走的路程分别是多少？
(3)他休息了多长时间？
(4)他从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度是多少？
19. (本小题8.0分)
(1)用边长分别为a，b的两个正方形和长宽分别为a，b的两个长方形按如图摆放可拼成一个大正方形，用两种不同的方法可以表示图中阴影部分的面积和．
请你用一个等式表示(a+b)2，a2+b2，ab之间的数量关系______ ．
(2)根据(1)中的数量关系，解决如下问题：
①已知m+n=6，m2+n2=26，求m−n的值；
②已知(x−2021)2+(x−2023)2=74，求(x−2022)2的值．
20. (本小题9.0分)
如图所示，AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，HN是∠DHG的平分线．
(1)如果GM是∠BGE的平分线，(如图①)试判断并证明GM和HN的位置关系；
证明：∵AB//CD，
∴∠BGE= ______ (两直线平行，同位角相等)．
∵GM是∠BGE的平分线，
∴ ______ = ______ =12∠BGE．
∵HN是∠DHG的平分线．
∴ ______ = ______ =12∠DHG．
∴∠MGE=∠NHG(等量代换)
∴GM和HN的位置关系是______ ，(______ ).
(2)如果GM是∠AGH的平分线，(如图②)(1)中的结论还成立吗？(不必证明)
(3)如果GM是∠BGH的平分线，(如图③)(1)中的结论还成立吗？如果不成立，GM与HN又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明．
21. (本小题9.0分)
阅读探究题：
【阅读材料】
比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数(或指数)相同的情况下，比较指数(或底数)的大小，
如：25>23，55>45．
在底数(或指数)不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325，
解：2710=(33)10=330，
∵30>25，
∴330>325．
∴2710>325．
(1)上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质(______ )
A.同底数幂的乘法
B.同底数幂的除法
C.幂的乘方
D.积的乘方
(2)[类比解答]：比较254，1253的大小．
(3)[拓展提高]：比较3555，4444，5333的大小．
22. (本小题11.0分)
问题情境：
如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°.求∠APC的度数.小明的思路是：过P作PE//AB，通过平行线性质，可得∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°．
问题解决：
(1)如图2，AB//CD，直线l分别与AB、CD交于点M、N，点P在直线I上运动，当点P在线段MN上运动时(不与点M、N重合)，∠PAB=α，∠PCD=β，判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由；
(2)在(1)的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时.请直接写出∠APC、α、B之间的数量关系；
(3)如图3，AB//CD，点P是AB、CD之间的一点(点P在点A、C右侧)，连接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q.若∠APC=116°，请结合(2)中的规律，求∠AQC的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.−a2⋅a3=−a5，故A不符合题意；
B.a2⋅a3=a5，故B不符合题意；
C.a2与a3不能合并，故C不符合题意；
D.(a2)3=a6，故D符合题意；
故选：D．
根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
本题考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
根据对顶角的概念判断即可．
【解答】
解：A、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
C、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；
D、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
故选：C．
3.【答案】C
【解析】解：A.由表格中下滑时间随支撑物高度的对应值可得，当h=40时，下滑的时间t为2.66秒，因此选项A不符合题意；
B.由表格中下滑时间随支撑物高度的变化情况可知，随支撑物高度增加，下滑时间越来越短，因此选项B不符合题意；
C.由表格中下滑时间随支撑物高度的对应值可知，支撑物高度每增加了10cm，时间不都减少0.24秒，因此选项C符合题意；
D.由表格中下滑时间随支撑物高度的变化趋势可知，当h=80cm时，t一定小于2.56秒，因此选项D不符合题意；
故选：C．
根据表格中下滑时间随支撑物高度的变化规律逐项进行判断即可．
本题考查函数的表示方法，理解表格中下滑时间随支撑物高度的变化关系是正确判断的关键．
4.【答案】B
【解析】解：如图，∵DE//FG，
∴∠1=∠3，
∵∠ACB=90°，即∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=62°，
∴∠2=90°−62°=28°，
故选：B．
根据平行线的性质以及图形中角的和差关系进行解答即可．
本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是正确解答的前提．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，
如图：过点A作AE⊥l与点E，交弧BC于点G，
∴AD=AF>AE，AB=AG=AC，
∴AB−AD=AC−AF
故选：C．
根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，据此即可解答．
本题考查了垂线段最短，圆的相关概念，理解垂线段最短的性质是解决本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：0.3微米=0.3×0.000001米=0.0000003米=3×10−7米．
故选：A．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
7.【答案】D
【解析】解：(2x+3y−4)(2x+ay+b)
=4x2+2axy+2bx+6xy+3ay2+3by−8x−4ay−4b
=4x2+(2a+6)xy+3ay2+(3b−4a)y+(2b−8)x−4b
因为这个多项式不含一次项，
所以3b−4a=0，2b−8=0，
解得a=3，b=4．
所以a−b=3−4=−1
故选：D．
多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．结果中不含一次项和二次项，则说明这两项的系数为0，建立关于a，b等式，求解得到a、b的值即可解决问题．
本题考查了整式的混合运算，多项式乘以多项式，根据不含某一项就是这一项的系数等于0列式求解a、b的值是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：过P点作PM//AB//CD，
∴∠BEP=∠EPM，∠PFD=∠MPF，
∵∠EPF=88°，
∴∠BEP+∠PFD=88°，
∴∠AEP+∠CFP=360°−88°=272°，
∵∠AEP和∠CFP的角平分线交于点H，
∴∠AEP=2∠AEH，∠CFP=2∠CFH，
∴∠AEH+∠CFH=136°，
∴∠EHF=136°，
故选：C．
过P点作PM//AB//CD，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可．
本题考查了平行线的性质，平角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为15cm，实心圆柱体铁块的高度为11cm，
水满过实心圆柱体铁块需5 s注满，“几何体”上面的空圆柱形容器需11−5=6(s)，
设匀速注水的水流速度为xcm3/s，则：
6x=20×4，
解得x=403，
即匀速注水的水流速度为403cm3/s．
故选：B．
根据图象，分两个部分：满过实心圆柱体铁块需5s，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需11−5=6(s)，再设匀速注水的水流速度为xcm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程．
本题考查了函数的图象，把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．
10.【答案】B
【解析】解：根据题意可得，
S阴=a²−12a2−12(a−b)b
=12(a²−ab+b²)
=12[(a+b)²−3ab]，
把a+b=7，ab=9代入上式，
则S阴=12×(72−3×9)=11．
故选：B．
根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为a的等腰直角三角形面积，再减去边长为a−b和b的直角三角形面积，即可得12(a²−ab+b²)，根据完全平方公式的变式应用可得12[(a+b)²−3ab]，代入计算即可得出答案．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．
11.【答案】160°
【解析】解：∵一个角的余角是70°，则这个角为90°−70°=20°，
∴这个角的补角的度数是180°−20°=160°．
故答案为：160°．
先根据题意求出这个角的度数，再根据补角的定义求解即可．
本题考查了余角和补角的定义，属于基础题，解题时牢记定义是关键，难度一般．
12.【答案】75
【解析】解：如图，
∵∠2=105°，
∴∠3=∠2=105°，
∴要使b与a平行，则∠1+∠3=180°，
∴∠1=180°−105°=75°．
故答案为：75．
先求出∠2的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答．
本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，
13.【答案】y=36x+120
【解析】解：依题意，y=5×60+(x−5)×60×0.6=300+36x−180=36x+120，
∴y=36x+120(x>5)；
故答案为：y=36x+120．
根据题意，付款金额等于5件的全额费用加上超出部分的六折的费用，即可求解．
本题考查了列函数关系式，理解题意是解题的关键．
14.【答案】35
【解析】解：设3m=5，3n=7，
依题意(3,5)=m，(3,7)=n，
∴(3,5)+(3,7)=m+n．
∴(3,x)=m+n，
∴x=3m+n
=3m×3n
=5×7
=35．
故答案为：35．
设3m=5，3n=7，根据新运算定义用m、n表示(3,5)+(3,7)，得方程，求出x的值．
本题考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，理解并运用新运算的定义是解决本题的关键．
15.【答案】①②③④
【解析】解：∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，故①正确；
∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
又∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC//DE，故②正确；
∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠CAD+∠2=∠CAB+∠3+∠2=90°+90°=180°.故③正确；
∵∠4=∠C，
∴AC//DE，
∵∠CAB=90°，
∴AB⊥AC，
∴AB⊥DE，故④正确；
故答案为：①②③④．
先根据余角的概念和同角的余角相等判断①；再根据平行线的判定定理判断②；然后根据角的和差判断③；最后根据平行线的判定与性质判断④．
本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=4+1+1
=6；
(2)原式=[(a+2b)+3c][(a+2b)−3c]
=(a+2b)2−(3c)2
=a2+4ab+4b2−9c2．
【解析】(1)首先计算负整数指数幂，有理数的乘方和零指数幂，然后计算加法即可；
(2)利用平方差公式及完全平方公式进行运算较简便．
本题主要考查负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂和整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.【答案】解：小明说的有道理，
理由：(2x+y)(2x−y)+2(2x−y)2+(2xy2−16x2y)÷(−2x)
=4x2−y2+2(4x2−4xy+y2)+(−y2+8xy)
=4x2−y2+8x2−8xy+2y2−y2+8xy
=12x2，
∵化简后的结果不含y，
∴小明说的有道理．
【解析】利用平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式的法则，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】时间；路程
【解析】解：(1)由图象可得，时间是自变量，路程是因变量；
故答案为：时间；路程；
(2)由图可知：9时，10时，12时所走的路程分别是9km，9km，15km；
(3)根据图象可得，该旅行者休息的时间为：10−9=1小时；
(4)根据图象得：(15−9)÷(12−10)=3km/h．
(1)根据自变量是横轴表示的量，因变量是纵轴表示的量，解答即可．
(2)由图象看相对应的y值即可．
(3)由图象可知，休息时，时间在增多，路程没有变化，表现在函数图象上是与x轴平行的线段．
(4)根据这段时间的平均速度=这段时间的总路程÷这段时间，算出即可．
本题主要考查了分段函数的图象，正确理解函数的图象所表示的意义，能够通过图象得到函数自变量和因变量的变化关系；注意休息时表现在函数图象上是与x轴平行的线段．
19.【答案】a2+b2=(a+b)2−2ab
【解析】解：(1)方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即a2+b2；
方法二：阴影部分也可以看作边长为(a+b)的面积，减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即(a+b)2−2ab，
由两种方法看出a2+b2=(a+b)2−2ab，
故答案为：a2+b2=(a+b)2−2ab；
(2)①∵m+n=6，
∴(m+n)2=36=m2+2mn+n2，
∵m2+n2=26，
∴2mn=10，
即mn=5；
∴(m−n)2=m2−2mn+n2=26−10=16，
∴m−n=±4；
②设a=x−2021，b=x−2023，
则a−b=2，a2+b2=(x−2021)2+(x−2023)2=74，
∴ab=a2+b2−(a−b)22=74−222=35，
即(x−2021)(x−2023)=35，
∴[(x−2022)+1][(x−2022)−1]=(x−2022)2−1=35，
∴(x−2022)2=36．
(1)阴影部分是两个正方形的面积和，阴影部分也可以看出大正方形的面积减去两个长方形的面积即可得出答案；
(2)①先根据完全平方公式求出mn=5，再根据(m−n)2=m2−2mn+n2作答即可；
②设a=x−2021，b=x−2023，先根据题意求出ab的值，再用完全平方公式计算即可．
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．
20.【答案】∠DHE ∠EGM ∠BGM ∠EHN ∠NHD 平行 同位角相等，两直线平行
【解析】解：(1)∵AB//CD，
∴∠BGE=∠DHE(两直线平行，同位角相等)．
∵GM是∠BGE的平分线，
∴∠EGM=∠BGM=12∠BGE．
∵HN是∠DHG的平分线．
∴∠EHN=∠NHD=12∠DHG．
∴∠MGE=∠NHG(等量代换)
∴GM和HN的位置关系是平行，(同位角相等，两直线平行)．
故答案为：∠DHE，∠EGM，∠BGM，∠EHN，∠NHD，同位角相等，两直线平行；
(2)成立；
证明∵AB//CD，
∴∠AGF=∠DHE，
∵GM是∠AGF的平分线，
∴∠AGM=∠FGM=12∠AGF．
∵HN是∠DHG的平分线．
∴∠EHN=∠NHD=12∠DHG．
∴∠MGE=∠NHG，
∴GM和HN的位置关系是平行，
(3)不成立；垂直；
证明：
设GM，HN相交于点O，
∵AB//CD，
∴∠BGH+∠DHE=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵GM是∠BGH的平分线，
∴∠BGM=∠FGM=12∠BGH．
∵HN是∠DHG的平分线．
∴∠EHN=∠NHD=12∠DHG．
∴∠MGH+∠NHG=90°，
∴∠GOH=90°，
∴GM和HN的位置关系是垂直．
(1)根据角平分线的性质及平行线的性质求解；
(2)根据角平分线的性质及平行线的性质求解；
(3)根据角平分线的性质、平行线的性质及垂直的意义求解；
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质及角平分线分性质是解题的关键．
21.【答案】C
【解析】解：(1)上述求解过程中，运用了幂的乘方的运算性质，
故答案为：C；
(2)∵254=(52)4=58，1253=(53)3=59，
58<59，
∴254<1253；
(3)∵3555=(35)111=243111，4444=(44)111=256111，5333=(53)111=125111，
125111<243111<256111，
∴5333<3555<4444．
(1)根据幂的乘方运算法则判断即可；
(2)根据幂的乘方运算法则解答即可；
(3)根据幂的乘方运算法则解答即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．
22.【答案】解：(1)如图2，过点P作PE//AB，
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠APE=α，∠CPE=β，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β．
(2)如图，在(1)的条件下，如果点P在线段MN的延长线上运动时，
∵AB//CD，∠PAB=α，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD，∠PCD=β，
∴α=∠APC+β，
∴∠APC=α−β；
如图，在(1)的条件下，如果点P在线段NM的延长线上运动时，
∵AB//CD，∠PCD=β，
∴∠2=∠PCD=β，
∵∠2=∠PAB+∠APC，∠PAB=α，
∴β=α+∠APC，
∴∠APC=β−α；
(3)如图3，过点P，Q分别作PE//AB，QF//AB，
∵AB//CD，
∴AB//QF//PE//CD，
∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠EPC，
∵∠APC=116°，
∴∠BAP+∠PCD=116°，
∵AQ平分∠BAP，CQ平分∠PCD，
∴∠BAQ=12∠BAP，∠DCQ=12∠PCD，
∴∠BAQ+∠DCQ=12(∠BAP+∠PCD)=58°，
∵AB//QF//CD，
∴∠BAQ=∠AQF，∠DCQ=∠CQF，
∴∠AQF+∠CQF=∠BAQ+∠DCQ=58°，
∴∠AQC=58°．
【解析】(1)过点P作PE//AB，根据平行线的判定与性质即可求解；
(2)分点P在线段MN或NM的延长线上运动两种情况，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解；
(3)过点P，Q分别作PE//AB，QF//AB，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解．
此题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线将两条平行线相关的角联系到一起是解题的关键．
2022-2023学年山西省晋中市平遥县七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算正确的是( )
A. −a2⋅a3=a5 B. a2⋅a3=a6 C. a2+a3=a5 D. (a2)3=a6
2. 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A. B.
C. D.
3. 在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度下滑的时间，支撑物高度(h)与下滑的时间(t)的关系如下表：
支撑物高h(cm)
10
20
30
40
50
…
下滑时间t(s)
3.25
3.01
2.81
2.66
2.56
…
以下结论错误的是( )
A. 当h=40时，t约2.66秒
B. 随支撑物高度增加，下滑时间越来越短
C. 支撑物高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒
D. 估计当h=80cm时，t一定小于2.56秒
4. 课间小丽和小王利用直尺和三角板进行探究活动，如图，将直角三角板ABC与直尺贴在一起，使三角板ABC的直角顶点C(∠ACB=90° )在直尺的一边上，若量得∠1=62°，则∠2的大小为( )
A. 18° B. 28° C. 31° D. 38°
5. 如图，l是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A，小球从B到C从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是( )
A. 从大变小
B. 从小变大
C. 从小变大再变小
D. 从大变小再变大
6. 研究表明，当前变异新冠病毒毒性逐渐减弱，正确佩戴口罩仍很必要.某新型冠状病毒体大小约为0.125微米，而95口罩能过滤0.3微米的颗粒，并不能将病毒过滤，口罩的作用是阻挡病毒传播的“载体”，而非直接挡住病毒.1微米就是0.000001米.那么0.3微米用科学记数法表示为( )
A. 3×10−7米 B. 0.3×10−8米 C. 3×10−5米 D. 3×10−8米
7. 在进行整式乘法运算训练时，李明出了一道题：要求计算(2x+3y−4)(2x+ay+b)得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，请你分析并求出a−b的值为( )
A. 1 B. 7 C. −7 D. −1
8. 如图，直线AB//CD，点E，F分别在直线．AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，∠AEP和∠CFP的角平分线交于点H，已知∠P=88°，则∠H的度数为( )
A. 92°
B. 156°
C. 136°
D. 141°
9. 如图1，在某个底面积为20cm2盛水容器内，有一个实心圆柱体铁块，现在匀速持续地向容器内注水，容器内水的高度y(cm)和注水时间x(s)之间的关系满足如图中的图象，则水流速度是cm3/s．( )
A. 115 B. 403 C. 203 D. 30011
10. 如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b=7，ab=9，则阴影部分的面积为( )
A. 10
B. 1 1
C. 12
D. 13
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 如果一个角的余角是70°，那么这个角的补角的度数是______ ．
12. 如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量∠2=105°，要使木条a与b平行，则∠1的度数必须是______度．
13. 新冠疫情复工复产后，商场开展促销活动.已知某种商品的售价为60元/件，规定凡购买该商品超过5件，则超出的部分按照售价的6折付款.若一位顾客购买了x(x>5)件，需付款y元，则y与x间的关系式是______ ．
14. 定义一种新运算(a,b)，若ac=b，则(a,b)=c，例(2,8)=3，(3,81)=4.已知(3,5)+(3,7)=(3,x)，则x的值为______．
15. 将一副三角板按如图放置，则下列结论：
①∠1=∠3；②如果∠2=30°，则有AC//DE；③∠2+∠CAD=180°；④如果∠4=∠C，必有AB⊥ED.其中正确的有______(填写序号)
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：
(1)(−12)−2−(−1)2023+(π−2023)0．
(2)(a+2b+3c)(a+2b−3c)．
17. (本小题5.0分)
王老师给学生出了一道题：
求(2x+y)(2x−y)+2(2x−y)2+(2xy2−16x2y)÷(−2x)的值，其中x=12，y=−1．
同学们看了题目后发表不同的看法．
小明说：“条件y=−1是多余的.”
小亮说：“不给y=−1这个条件，就不能求出结果，所以不多余.”
你认为他俩谁说的有道理？为什么？
18. (本小题5.0分)
如图为一位旅行者在早晨8时从城市出发到郊外所走的路程S(单位：千米)与时间t(单位：时)的变量关系的图象．根据图象回答问题：
(1)在这个变化过程中，自变量是______ ，因变量是______ ．
(2)9时，10时，12时所走的路程分别是多少？
(3)他休息了多长时间？
(4)他从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度是多少？
19. (本小题8.0分)
(1)用边长分别为a，b的两个正方形和长宽分别为a，b的两个长方形按如图摆放可拼成一个大正方形，用两种不同的方法可以表示图中阴影部分的面积和．
请你用一个等式表示(a+b)2，a2+b2，ab之间的数量关系______ ．
(2)根据(1)中的数量关系，解决如下问题：
①已知m+n=6，m2+n2=26，求m−n的值；
②已知(x−2021)2+(x−2023)2=74，求(x−2022)2的值．
20. (本小题9.0分)
如图所示，AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，HN是∠DHG的平分线．
(1)如果GM是∠BGE的平分线，(如图①)试判断并证明GM和HN的位置关系；
证明：∵AB//CD，
∴∠BGE= ______ (两直线平行，同位角相等)．
∵GM是∠BGE的平分线，
∴ ______ = ______ =12∠BGE．
∵HN是∠DHG的平分线．
∴ ______ = ______ =12∠DHG．
∴∠MGE=∠NHG(等量代换)
∴GM和HN的位置关系是______ ，(______ ).
(2)如果GM是∠AGH的平分线，(如图②)(1)中的结论还成立吗？(不必证明)
(3)如果GM是∠BGH的平分线，(如图③)(1)中的结论还成立吗？如果不成立，GM与HN又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明．
21. (本小题9.0分)
阅读探究题：
【阅读材料】
比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数(或指数)相同的情况下，比较指数(或底数)的大小，
如：25>23，55>45．
在底数(或指数)不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325，
解：2710=(33)10=330，
∵30>25，
∴330>325．
∴2710>325．
(1)上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质(______ )
A.同底数幂的乘法
B.同底数幂的除法
C.幂的乘方
D.积的乘方
(2)[类比解答]：比较254，1253的大小．
(3)[拓展提高]：比较3555，4444，5333的大小．
22. (本小题11.0分)
问题情境：
如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°.求∠APC的度数.小明的思路是：过P作PE//AB，通过平行线性质，可得∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°．
问题解决：
(1)如图2，AB//CD，直线l分别与AB、CD交于点M、N，点P在直线I上运动，当点P在线段MN上运动时(不与点M、N重合)，∠PAB=α，∠PCD=β，判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由；
(2)在(1)的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时.请直接写出∠APC、α、B之间的数量关系；
(3)如图3，AB//CD，点P是AB、CD之间的一点(点P在点A、C右侧)，连接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q.若∠APC=116°，请结合(2)中的规律，求∠AQC的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.−a2⋅a3=−a5，故A不符合题意；
B.a2⋅a3=a5，故B不符合题意；
C.a2与a3不能合并，故C不符合题意；
D.(a2)3=a6，故D符合题意；
故选：D．
根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
本题考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
根据对顶角的概念判断即可．
【解答】
解：A、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
C、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；
D、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
故选：C．
3.【答案】C
【解析】解：A.由表格中下滑时间随支撑物高度的对应值可得，当h=40时，下滑的时间t为2.66秒，因此选项A不符合题意；
B.由表格中下滑时间随支撑物高度的变化情况可知，随支撑物高度增加，下滑时间越来越短，因此选项B不符合题意；
C.由表格中下滑时间随支撑物高度的对应值可知，支撑物高度每增加了10cm，时间不都减少0.24秒，因此选项C符合题意；
D.由表格中下滑时间随支撑物高度的变化趋势可知，当h=80cm时，t一定小于2.56秒，因此选项D不符合题意；
故选：C．
根据表格中下滑时间随支撑物高度的变化规律逐项进行判断即可．
本题考查函数的表示方法，理解表格中下滑时间随支撑物高度的变化关系是正确判断的关键．
4.【答案】B
【解析】解：如图，∵DE//FG，
∴∠1=∠3，
∵∠ACB=90°，即∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=62°，
∴∠2=90°−62°=28°，
故选：B．
根据平行线的性质以及图形中角的和差关系进行解答即可．
本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是正确解答的前提．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，
如图：过点A作AE⊥l与点E，交弧BC于点G，
∴AD=AF>AE，AB=AG=AC，
∴AB−AD=AC−AF
故选：C．
根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，据此即可解答．
本题考查了垂线段最短，圆的相关概念，理解垂线段最短的性质是解决本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：0.3微米=0.3×0.000001米=0.0000003米=3×10−7米．
故选：A．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
7.【答案】D
【解析】解：(2x+3y−4)(2x+ay+b)
=4x2+2axy+2bx+6xy+3ay2+3by−8x−4ay−4b
=4x2+(2a+6)xy+3ay2+(3b−4a)y+(2b−8)x−4b
因为这个多项式不含一次项，
所以3b−4a=0，2b−8=0，
解得a=3，b=4．
所以a−b=3−4=−1
故选：D．
多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．结果中不含一次项和二次项，则说明这两项的系数为0，建立关于a，b等式，求解得到a、b的值即可解决问题．
本题考查了整式的混合运算，多项式乘以多项式，根据不含某一项就是这一项的系数等于0列式求解a、b的值是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：过P点作PM//AB//CD，
∴∠BEP=∠EPM，∠PFD=∠MPF，
∵∠EPF=88°，
∴∠BEP+∠PFD=88°，
∴∠AEP+∠CFP=360°−88°=272°，
∵∠AEP和∠CFP的角平分线交于点H，
∴∠AEP=2∠AEH，∠CFP=2∠CFH，
∴∠AEH+∠CFH=136°，
∴∠EHF=136°，
故选：C．
过P点作PM//AB//CD，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可．
本题考查了平行线的性质，平角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为15cm，实心圆柱体铁块的高度为11cm，
水满过实心圆柱体铁块需5 s注满，“几何体”上面的空圆柱形容器需11−5=6(s)，
设匀速注水的水流速度为xcm3/s，则：
6x=20×4，
解得x=403，
即匀速注水的水流速度为403cm3/s．
故选：B．
根据图象，分两个部分：满过实心圆柱体铁块需5s，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需11−5=6(s)，再设匀速注水的水流速度为xcm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程．
本题考查了函数的图象，把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．
10.【答案】B
【解析】解：根据题意可得，
S阴=a²−12a2−12(a−b)b
=12(a²−ab+b²)
=12[(a+b)²−3ab]，
把a+b=7，ab=9代入上式，
则S阴=12×(72−3×9)=11．
故选：B．
根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为a的等腰直角三角形面积，再减去边长为a−b和b的直角三角形面积，即可得12(a²−ab+b²)，根据完全平方公式的变式应用可得12[(a+b)²−3ab]，代入计算即可得出答案．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．
11.【答案】160°
【解析】解：∵一个角的余角是70°，则这个角为90°−70°=20°，
∴这个角的补角的度数是180°−20°=160°．
故答案为：160°．
先根据题意求出这个角的度数，再根据补角的定义求解即可．
本题考查了余角和补角的定义，属于基础题，解题时牢记定义是关键，难度一般．
12.【答案】75
【解析】解：如图，
∵∠2=105°，
∴∠3=∠2=105°，
∴要使b与a平行，则∠1+∠3=180°，
∴∠1=180°−105°=75°．
故答案为：75．
先求出∠2的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答．
本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，
13.【答案】y=36x+120
【解析】解：依题意，y=5×60+(x−5)×60×0.6=300+36x−180=36x+120，
∴y=36x+120(x>5)；
故答案为：y=36x+120．
根据题意，付款金额等于5件的全额费用加上超出部分的六折的费用，即可求解．
本题考查了列函数关系式，理解题意是解题的关键．
14.【答案】35
【解析】解：设3m=5，3n=7，
依题意(3,5)=m，(3,7)=n，
∴(3,5)+(3,7)=m+n．
∴(3,x)=m+n，
∴x=3m+n
=3m×3n
=5×7
=35．
故答案为：35．
设3m=5，3n=7，根据新运算定义用m、n表示(3,5)+(3,7)，得方程，求出x的值．
本题考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，理解并运用新运算的定义是解决本题的关键．
15.【答案】①②③④
【解析】解：∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，故①正确；
∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
又∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC//DE，故②正确；
∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠CAD+∠2=∠CAB+∠3+∠2=90°+90°=180°.故③正确；
∵∠4=∠C，
∴AC//DE，
∵∠CAB=90°，
∴AB⊥AC，
∴AB⊥DE，故④正确；
故答案为：①②③④．
先根据余角的概念和同角的余角相等判断①；再根据平行线的判定定理判断②；然后根据角的和差判断③；最后根据平行线的判定与性质判断④．
本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=4+1+1
=6；
(2)原式=[(a+2b)+3c][(a+2b)−3c]
=(a+2b)2−(3c)2
=a2+4ab+4b2−9c2．
【解析】(1)首先计算负整数指数幂，有理数的乘方和零指数幂，然后计算加法即可；
(2)利用平方差公式及完全平方公式进行运算较简便．
本题主要考查负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂和整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.【答案】解：小明说的有道理，
理由：(2x+y)(2x−y)+2(2x−y)2+(2xy2−16x2y)÷(−2x)
=4x2−y2+2(4x2−4xy+y2)+(−y2+8xy)
=4x2−y2+8x2−8xy+2y2−y2+8xy
=12x2，
∵化简后的结果不含y，
∴小明说的有道理．
【解析】利用平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式的法则，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】时间；路程
【解析】解：(1)由图象可得，时间是自变量，路程是因变量；
故答案为：时间；路程；
(2)由图可知：9时，10时，12时所走的路程分别是9km，9km，15km；
(3)根据图象可得，该旅行者休息的时间为：10−9=1小时；
(4)根据图象得：(15−9)÷(12−10)=3km/h．
(1)根据自变量是横轴表示的量，因变量是纵轴表示的量，解答即可．
(2)由图象看相对应的y值即可．
(3)由图象可知，休息时，时间在增多，路程没有变化，表现在函数图象上是与x轴平行的线段．
(4)根据这段时间的平均速度=这段时间的总路程÷这段时间，算出即可．
本题主要考查了分段函数的图象，正确理解函数的图象所表示的意义，能够通过图象得到函数自变量和因变量的变化关系；注意休息时表现在函数图象上是与x轴平行的线段．
19.【答案】a2+b2=(a+b)2−2ab
【解析】解：(1)方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即a2+b2；
方法二：阴影部分也可以看作边长为(a+b)的面积，减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即(a+b)2−2ab，
由两种方法看出a2+b2=(a+b)2−2ab，
故答案为：a2+b2=(a+b)2−2ab；
(2)①∵m+n=6，
∴(m+n)2=36=m2+2mn+n2，
∵m2+n2=26，
∴2mn=10，
即mn=5；
∴(m−n)2=m2−2mn+n2=26−10=16，
∴m−n=±4；
②设a=x−2021，b=x−2023，
则a−b=2，a2+b2=(x−2021)2+(x−2023)2=74，
∴ab=a2+b2−(a−b)22=74−222=35，
即(x−2021)(x−2023)=35，
∴[(x−2022)+1][(x−2022)−1]=(x−2022)2−1=35，
∴(x−2022)2=36．
(1)阴影部分是两个正方形的面积和，阴影部分也可以看出大正方形的面积减去两个长方形的面积即可得出答案；
(2)①先根据完全平方公式求出mn=5，再根据(m−n)2=m2−2mn+n2作答即可；
②设a=x−2021，b=x−2023，先根据题意求出ab的值，再用完全平方公式计算即可．
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．
20.【答案】∠DHE ∠EGM ∠BGM ∠EHN ∠NHD 平行 同位角相等，两直线平行
【解析】解：(1)∵AB//CD，
∴∠BGE=∠DHE(两直线平行，同位角相等)．
∵GM是∠BGE的平分线，
∴∠EGM=∠BGM=12∠BGE．
∵HN是∠DHG的平分线．
∴∠EHN=∠NHD=12∠DHG．
∴∠MGE=∠NHG(等量代换)
∴GM和HN的位置关系是平行，(同位角相等，两直线平行)．
故答案为：∠DHE，∠EGM，∠BGM，∠EHN，∠NHD，同位角相等，两直线平行；
(2)成立；
证明∵AB//CD，
∴∠AGF=∠DHE，
∵GM是∠AGF的平分线，
∴∠AGM=∠FGM=12∠AGF．
∵HN是∠DHG的平分线．
∴∠EHN=∠NHD=12∠DHG．
∴∠MGE=∠NHG，
∴GM和HN的位置关系是平行，
(3)不成立；垂直；
证明：
设GM，HN相交于点O，
∵AB//CD，
∴∠BGH+∠DHE=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵GM是∠BGH的平分线，
∴∠BGM=∠FGM=12∠BGH．
∵HN是∠DHG的平分线．
∴∠EHN=∠NHD=12∠DHG．
∴∠MGH+∠NHG=90°，
∴∠GOH=90°，
∴GM和HN的位置关系是垂直．
(1)根据角平分线的性质及平行线的性质求解；
(2)根据角平分线的性质及平行线的性质求解；
(3)根据角平分线的性质、平行线的性质及垂直的意义求解；
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质及角平分线分性质是解题的关键．
21.【答案】C
【解析】解：(1)上述求解过程中，运用了幂的乘方的运算性质，
故答案为：C；
(2)∵254=(52)4=58，1253=(53)3=59，
58<59，
∴254<1253；
(3)∵3555=(35)111=243111，4444=(44)111=256111，5333=(53)111=125111，
125111<243111<256111，
∴5333<3555<4444．
(1)根据幂的乘方运算法则判断即可；
(2)根据幂的乘方运算法则解答即可；
(3)根据幂的乘方运算法则解答即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．
22.【答案】解：(1)如图2，过点P作PE//AB，
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠APE=α，∠CPE=β，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β．
(2)如图，在(1)的条件下，如果点P在线段MN的延长线上运动时，
∵AB//CD，∠PAB=α，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD，∠PCD=β，
∴α=∠APC+β，
∴∠APC=α−β；
如图，在(1)的条件下，如果点P在线段NM的延长线上运动时，
∵AB//CD，∠PCD=β，
∴∠2=∠PCD=β，
∵∠2=∠PAB+∠APC，∠PAB=α，
∴β=α+∠APC，
∴∠APC=β−α；
(3)如图3，过点P，Q分别作PE//AB，QF//AB，
∵AB//CD，
∴AB//QF//PE//CD，
∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠EPC，
∵∠APC=116°，
∴∠BAP+∠PCD=116°，
∵AQ平分∠BAP，CQ平分∠PCD，
∴∠BAQ=12∠BAP，∠DCQ=12∠PCD，
∴∠BAQ+∠DCQ=12(∠BAP+∠PCD)=58°，
∵AB//QF//CD，
∴∠BAQ=∠AQF，∠DCQ=∠CQF，
∴∠AQF+∠CQF=∠BAQ+∠DCQ=58°，
∴∠AQC=58°．
【解析】(1)过点P作PE//AB，根据平行线的判定与性质即可求解；
(2)分点P在线段MN或NM的延长线上运动两种情况，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解；
(3)过点P，Q分别作PE//AB，QF//AB，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解．
此题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线将两条平行线相关的角联系到一起是解题的关键．
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