2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（五四学制）（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则第三边长的平方是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各组线段中，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  在▱中，：：：的值可以是(    )

A. ：：： B. ：：： C. ：：： D. ：：：

4.  若▱的周长是，的周长是，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.  若▱对角线，相交于点，点是中点，若，则长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列命题中，其逆命题成立的有个．(    )
同旁内角互补，两直线平行；
如果两个角是直角，那么它们相等；
如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
平行四边形的对角线互相平分．

A.  B.  C.  D.

8.  以直角三角形、、为边，向外作半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足图形个数有(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）

11.  如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，线段和的关系______ ．

12.  在直角坐标系中，点到原点的距离是______．

13.  在▱中，，则______．

14.  如图，正方形的一个顶点为，有两个顶点对应于数轴上表示和的两点，以原点为圆心，以为半径顺时针画弧，交数轴于点，则点对应的数是______ ．

15.  如图，盒内长、宽、高分别是、、，盒内可放木棒最长的长度是______．

16.  在中，已知，，边上的高，则的长为______ ．

17.  如图，在中，，，，是的垂直平分线，则长等于______ ．

18.  如图，在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距 ______

19.  如图，中，，，，是外一点，使，连接，且，延长、交于点，过作于点，则______．

三、解答题（本大题共7小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
图，图分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为，每个小格的顶点叫格点，请在图、图中各画一个图形，分别满足下列要求：
在图中画平行四边形非矩形，使平行四边形的周长为，所画的平行四边形的顶点必须在小正方形的格点上；
在图中画出一个三角形，三边分别为、、，所画的三角形的顶点必须在小正方形的格点上，并且直接写出三角形的面积，______．
 

21.  本小题分
如图，在中，，，，求的长．

22.  本小题分
如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．

23.  本小题分
如图，在中，是边的中点，分别过点、作射线的垂线，垂足分别为、，连接、．
求证：四边形是平行四边形；
若，在不添加辅助线的条件下，直接写出与面积相等的所有三角形．

24.  本小题分
如图，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大米．
这个云梯的底端离墙多远？
如图，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
 

25.  本小题分
如图，海中有一个小岛，它的周围海里内有暗礁，在小岛正西方有一点，测得的北偏东度方向上有一灯塔，灯塔在小岛北偏东度方向上海里处，渔船跟踪鱼群沿方向航行，每小时航行海里．
如果渔船不改变航向继续航行，有没有触礁危险？请说明理由．
如果渔船有触礁危险，求渔船经历危险的时间有多长？

26.  本小题分
规定：对角线互相垂直的四边形叫做垂四边形
探究：如图，四边形是垂四边形．

若，，则四边形的面积为______ ．
求证：
如图，在外侧，分别以，为直角边构造等腰和等腰，连接，点为中点，连接，，若，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：第三边长的平方是．
故选：．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，，能作为直角三角形的三边长．
A、、选项的三个数都不满足这种关系，不能作为直角三角形的三边长．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
即和的数相等，和的数相等，且，
故选D．
根据平行四边形的性质得到，，，，根据以上结论即可选出答案．
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
▱的周长是，
即，
，
的周长是，
即，
．
故选C．
由▱的周长是，根据平行四边形的对边相等，易求得，又由的周长是，即可求得的长．
此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握平行四边形的对边相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．
 

5.【答案】 

【解析】分析
根据“平行四边形的个判断定理即可作出判断．
此题主要考查了平行四边形的判定定理，解题关键是准确无误的掌握平行四边形的判定定理，难度一般．
详解
解：，，四边形可能是平行四边形，也有可能是等腰梯形．故选项A不可以判断四边形是平行四边形；
B.根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项B可以判断四边形是平行四边形；
C.根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故选项C可以判断四边形是平行四边形；
D.根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项D可以判断四边形是平行四边形；
故选A．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
点是中点，
是的中位线，
，
故选：．
利用平行四边形的性质得到，推出是的中位线，即可得到答案．
此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质定理，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：同旁内角互补，两直线平行逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
如果两个角是直角，那么它们相等逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题；
如果两个实数相等，那么它们的平方相等逆命题是如果两个实数的平方相等，那么它们相等，是假命题；
平行四边形的对角线互相平分逆命题是对角线平分的四边形是平行四边形，是真命题．
故选：．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
本题考查了命题与定理的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据直角三角形、、为边，应用勾股定理，可得．
图：，，，
，
，
；
图：，，，
，
，
．

图：，，，
，
．
综上，可得面积关系满足图形有个．
故选：．
根据直角三角形、、为边，应用勾股定理，可得．
第一个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出个半圆的面积；然后根据，可得；
第二个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出个等腰直角三角形的面积；然后根据，可得；
第三个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出个正方形的面积；然后根据，可得．
本题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．还考查了等腰直角三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握．
 

9.【答案】 

【解析】解：将此长方形折叠，使点与点重合，．
．
，
根据勾股定理可知．
解得．
的面积为故选C．
根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
大正方形的面积为，
，
，
小正方形的面积为．
故选：．
观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积减去个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为，可以得出个直角三角形的面积，进而求出答案．
此题主要考查勾股定理的应用、正方形的性质以及完全平方式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

11.【答案】平行且相等 

【解析】解：线段和的关系为平行且相等，理由如下：
由条件可知，，
四边形为平行四边形，
．
故答案为：平行且相等．
由条件可知，，可证明四边形为平行四边形，可得到．
本题主要考查平行四边形的判定和性质；证明四边形为平行四边形是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：过作轴，连接，
，
，，
在中，根据勾股定理得：，
，
则点在原点的距离为．
故答案为：．
在平面直角坐标系中找出点，过作垂直于轴，连接，由的坐标得出及的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，即为到原点的距离．
此题考查了勾股定理以及坐标与图形的性质，勾股定理为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，灵活运用勾股定理是解本题的关键；同时也可直接应用两点间的距离公式进行求解．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故答案为：．
由四边形是平行四边形，可得平行四边形的对角相等，邻角互补，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角线相等，邻角互补是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，
再由作图方法可知，
点对应的数是，
故答案为：．
先利用勾股定理求出的长，再根据数轴上两点距离公式进行求解即可．
本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长为．
这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形．
盒内可放木棒最长的长度是．
故答案为：．
两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决．
考查了勾股定理的应用，本题需注意的知识点为：最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线长组成了直角三角形．
 

16.【答案】或 

【解析】解：如图，锐角中，，，边上高，
在中，，，由勾股定理得：
，
，
在中，，由勾股定理得
，
，
的长为；

钝角中，，，边上高，
在中，，由勾股定理得：
，
，
在中，，由勾股定理得：
，
，
的长为．
故答案为：或．
分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．
本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．
 

17.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
是的垂直平分线，
，
设，则，
，，
，
解得，
长等于．
故答案为：．
根据勾股定理，求出，再根据垂直平分线的性质，可知，设，在中，利用勾股定理定理即可求解．
本题考查勾股定理，垂直平分线的性质，灵活运用垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，利用得出是解题关键．利用，再结合勾股定理求出即可．
【解答】
解：设，则，根据题意可得：
，
，
故，
解得．
故答案为．  

19.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，

，，
，
，，且

在中，

，，

，
，
是等边三角形
，

，且，
≌

故答案为：
由直角三角形的性质和勾股定理可求，可证是等边三角形，可得，，由“”可证≌，可得．
本题考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线是本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：平行四边形如图所示．其中，．
如图所示．其中，，，

故答案为．
利用数形结合的思想解决问题即可．
利用数形结合的思想解决问题即可．
本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：过作于，
，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
答：的长是．
 

【解析】过作于，求出，推出，根据含度角的直角三角形求出，根据勾股定理求出，相加即可求出答案．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
 

22.【答案】解：，，，
，
在中，，
是直角三角形，且，




． 

【解析】先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键，难度适中．
 

23.【答案】证明：在与中
是中点，


，
，
在与中
，
≌
，

四边形是平行四边形；
与面积相等的三角形有、、、、． 

【解析】根据全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定证明即可；
利用三角形的面积解答即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质得出．
 

24.【答案】解：根据题意可得，，
由勾股定理，可得：
解得：，
答：这个云梯的底端离墙米远；
由可得：，
根据题意可得：，，
由勾股定理，可得：，
，
答：梯子的底部在水平方向滑动了米． 

【解析】由题意得米，米，根据勾股定理，可求出梯子底端离墙有多远；
由题意得此时米，米，由勾股定理可得出此时的，继而能和的进行比较．
此题主要考查了勾股定理得应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

25.【答案】解：渔船不改变航向继续航行，没有触礁危险．
作于，
由题意得，，，
则，，
，
，
渔船不改变航向继续航行，有触礁危险；

在上点的两侧分别取点、，使得，
在中，，
，
渔船经历危险的时间为：小时，

答：渔船经历危险的时间为小时． 

【解析】作于，根据余弦的概念求出，比较即可判断；
根据勾股定理求出的长，根据渔船的速度计算即可．
本题主要考查了勾股定理的应用、方向角以及解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：四边形是垂美四边形，
，




；
故答案为：．
证明：四边形是垂美四边形，
，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，，
；
连接，交于点，交于点，如图，

，均为等腰直角三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，即，
，
四边形是垂美四边形；
在等腰和中，，．
由勾股定理得，，
延长到点，使，连接，
为的中点，
，
又，
≌

过点作于点，
设，则，
由勾股定理得，，
，
解得，，即，
，
，

四边形是垂美四边形；
，
，
负值舍去，
过点作，则有：，
即：，
解得，，
，
过点作交于，
同理可得，；
，
，
．
负值舍去．
由四边形是垂美四边形可知，从而依据，代入相关数据进行计算即可；
由勾股定理列出等式可求解；
连接，证出，由证明≌，得出，，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出，得出，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合的结论计算即可．
本题主要考查四边形的综合应用，掌握垂美四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．