2022-2023学年黑龙江省哈尔滨六十九中八年级（下）月考数学试卷（3月份）（五四学制）（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨六十九中八年级（下）月考数学试卷（3月份）（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2.  在▱中，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在中，，，分别是，，的中点，连接，，，图中平行四边形有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

4.  在▱中，，且的是▱周的，则的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.  如图，在平面直角坐标系中▱的顶点，，的坐标分别是，，，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，分别以直角三角形的三边为边画三个正方形，较大两个正方形的面积分别为和，则最小正方形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  下列命题的逆命题成立的是(    )

A. 两条直线平行，同位相等
B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
C. 全等三形的对应相等
D. 如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数

9.  如图，长方体的长，宽，高分别为，，，蚂蚁在长方体表面爬行，从点爬到点的最短路程是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图是一张直角三角形纸，，，，将折叠使点和点重合，折痕为，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  若分式有意义，则字满足的条件是______ ．

12.  把多项式分解因式的结果为______．

13.  等边三角形的边长为，则该三角形的高为______ ．

14.  如图，中，于点，，，的长是______ ．

15.  如图，每个正方形的边长都是，连接格点，，则的度数是______ ．

16.  如图所示，▱中，对角线，相交于点，过点的直线分别交、于点，若的面积为，的面积为，则▱的面积为        ．

17.  如图，▱的对角线相交于点，且，过点作，交于点如果的周长为，那么▱的周长是          ．

18.  如图，中，平分交于点，，，长为______ ．

19.  在▱中，，，，则的长为______ ．

20.  如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接若，，则的长为          ．

 

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．

22.  本小题分
如图，在的正形格中，每个正形的边均为，各个正形的顶点称为格点，请在如图的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．

在图中画一个三边长为，，的直角三角形；
在图中画一个积等于的等腰三角形，且这个等腰三角形的三边长均为整数．

23.  本小题分
某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？

24.  本小题分
如图，平行四边形中，点、在直线上，且，连接，，，．
求证：四边形是平行四边形；
如图，连接，若，请直接写出图中与相等的三条线段不包括．

25.  本小题分
如图，游艇在湖面上从点向正东方向航行，在处看到灯塔在游艇北偏东方向上，航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏西方向上，与的距离是千米．
求灯塔到航线的最短距离结果保留根号；
求游艇的速度．

26.  本小题分
已知：如图，四边形中，．

求证：四边形是平四边形；
如图，点、分别在、上，连接，交于点，，，，求证：；
如图，在的条件下，点是下一点，连接，，，，为中点，连接，若，，求的长．

27.  本小题分
如图，在平面直坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连接，，的面积为．

求的长；
如图，点是第一象限内一点，连接，，，，求度数；
如图，在的条件下，点是第四象限内一点，连接，且，点在的延长线上，，，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，，
，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
C.，，
，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，，
，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

2.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的对角相等求解即可．
本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角相等是解答的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：已知点，，分别是，，的中点，
且，，
且，
四边形、四边形和四边形为平行四边形，
故选：．
由已知，，分别是，，的中点，根据三角形中位线定理，可以推出且，，且，所以得到个平行四边形．
此题考查的是平行四边形的判定及三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得出四边形的对边平行且相等而判定为平行四边形．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
▱的周长为，
，且的是▱周的，
，
．
故选：．
利用平行四边形的性质得出，，从而求出▱的周长为，然后结合条件可得，解方程即可．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的两组对边分别相等是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、，，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、，，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、，，不能得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，即轴，
，，的坐标分别是，，，
，点与点的纵坐标相等，都为，
点的横坐标为，
点的坐标为，
故选：．
根据坐标与图形性质以及平行四边形的性质求解即可．
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形的性质是解答的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据图形，直角三角形的边长的平方刚好为对应正方形的面积，
直角三角形的斜边平方为，一条直角边的平方为，
另一条直角边的平方为，
最小正形的积是，
故选：．
根据勾股定理和正方形的面积求解即可．
此题考查了勾股定理，关键是借助勾股定理将正方形的面积联系起来．
 

8.【答案】 

【解析】解：、两条直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，成立，符合题意；
B、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，也可能是相反数，不成立，不符合题意；
C、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，不一定全等，不成立，不符合题意；
D、如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数的逆命题是如果两个实数的积是正数，那么它们都是正数，还有可能都是负数，不成立，不符合题意；
故选：．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否成立，需要分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，熟知相关知识是解答的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，分三种情况：
展开前面和右面，如图，则；

展开前面和上面，如图，则；

展开左面和上面，如图，则；

，
从点爬到点的最短路程是，
故选：．
将长方体的侧面展开，分三种情况，利用勾股定理求解再比较大小即可得出最短路程．
本题考查勾股定理的应用最短路径问题，解答的关键是利用分类讨论思想，能把长方形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理求出对角线的长度．
 

10.【答案】 

【解析】解：由折叠性质得，
，
，
在中，，，
由勾股定理得，
，
解得，
故选：．
根据折叠性质可得，然后在利用勾股定理列方程求解即可．
本题考查了折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质和勾股定理是解答的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
根据分式有意义的条件为分式的分母不等于，求解即可．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为．
先提公因式，然后把利用平方差公式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用：若各项有公因式，则先提公因式，然后利用公式法分解．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，为等边三角形，过作，交于点，
则，，
在中，由勾股定理可得：，
故答案为：．
作出一边上的高，利用勾股定理和等边三角形的性质可求得高．
本题主要考查等边三角形的性质，掌握等边三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
又，
，
，即，
，
故答案为：．
先根据勾股定理求出的长，然后利用三角形等面积法求解即可．
本题考查了勾股定理，三角形的等面积法，掌握三角形的等面积法是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，与关于对称，与关于对称，连接，
则有，，
由图可得，，
，，

由勾股定理得，，，，
则，
为等腰直角三角形，
，
，
；
故答案为：．
根据勾股定理分别求出、、，根据勾股定理的逆定理得到为等腰直角三角形，从而可以得到，然后即可得到的度数．
本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，对角线、交于点，
四边形是中心对称图形，
≌，
，
又，
；
▱的面积．
故答案为：．
由于四边形是平行四边形，得出≌，现在可以求出，再根据是中点就可以求出即可得出答案．
平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，平行四边形被对角线分成的四部分的面积相等，并且经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．
 

17.【答案】 

【解析】解：是平行四边形，
，
，
．
的周长，
平行四边形的周长是．
故答案为．
根据题意，垂直平分，所以，因此的周长，可得平行四边形的周长．
此题考查了平行四边形的性质及周长的计算，根据线段垂直平分线的性质，证得是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作交于点，

，平分交于点，，
，，
，，
，
在中，
，
在中，
，
设，则，
解得：，
即．
故答案为：．
过点作交于点，先证明，然后求出，接着设，在中利用勾股定理即可求解．
本题考查了角平分线的性质和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】或 

【解析】解：如图，作，交的延长线于，

，，
，，
，
，
当点在上时，此时，

故答案为：或．
作，分点在的延长线或上两种情形，分别利用勾股定理求出和的长，即可解决问题．
本题主要考查了平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，分类讨论是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到和的长，然后可以证明和全等，然后即可得到的长．

解：四边形是平行四边形，

，，，
，，
，，
，
是等边三角形，为的中点，
，，
延长交于点，
，
，
在和中，，
≌，
，，
，，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．  

21.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
 

22.【答案】解：直角三角形如图所示：
；

等腰三角形如图所示：
． 

【解析】根据格点的特征结合勾股定理求解即可；
根据格点的特征结合等腰三角形的定义和三角形面积求解即可．
本题考查了作图应用与设计作图、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及勾股定理，掌握等腰三角形的概念，面积公式，勾股定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：连接，
在中，，
在中，，，
而，
即，
，
，
．
所以需费用元． 

【解析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形由和构成，则容易求解．
本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
 

24.【答案】证明：如图，连接交于，

四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，，即，
四边形是菱形，
，
故与相等的三条线段为、、． 

【解析】连接交于，根据平行四边形的判定与性质即可得到结论；
根据菱形的判定与性质求解即可．
本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，解答的关键是熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质．
 

25.【答案】解：过作于，则的长即为灯塔到航线的最短距离，

根据题意，，千米，
在中，，
则，千米，
故灯塔到航线的最短距离为千米；
由题意，，
，
在中，千米，
千米时，
答：游艇的速度为千米时． 

【解析】过作于，根据垂线段最短得知的长即为灯塔到航线的最短距离，在中利用含度角的直角三角形性质求解即可；
利用含度角的直角三角形性质求得即可．
本题考查含度角的直角三角形性质的应用，理解题意，构造直角三角形求解是解答的关键．
 

26.【答案】证明：连接，

，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平四边形．
证明：过作，交于，

由得，，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
，
，
．
解：延长、交于，

，，
，，
由得：，
，
即：，
是等边三角形，
设，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
如图，过作，取的中点，连接、、、，
，
，，
是的中点，
，，
，
，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
． 

【解析】连接，证明≌即可得证；
过作，证明即可得证；
延长、交于，证出，再过作，取的中点，连接、、、，从而可证出，再证，，即可求出．
本题考查了在平行四边形中三角形综合知识的运用，主要考查了等边三角形的判定及性质，直角三角形的性质，勾股定理，中位线等，掌握相关判定定理及性质，根据题意作出辅助线，构建直角三角形是解题的关键．
 

27.【答案】解：，，
，
，
的面积为，
，则；
，，
，
设，则，
，，
；
过作交于，过作于，

，，
四边形是正方形，则，，
，
，
，
，
≌，
，则
，又，
，
，
，
，
，
，，

取的中点，连接，则，，
设，则，，，
在中，，
，解得或舍去，
，，
过作于，则四边形为矩形，
，
过作于，
由得，
在中，，
点的坐标为． 

【解析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的判定得到，利用直角三角形的面积公式求解即可；
利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可；
过作交于，过作于，证明四边形是正方形，则，，再证明≌得，进而证得，则，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定，结合已知证得，取的中点，连接，则，，设，则，，，在中，利用勾股定理求得，过作于，则四边形为矩形得，过作于，利用等面积法和勾股定理分别求得和即可求解．
本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理和外角性质、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，涉及知识点较多，综合性很强，难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，尤其第问添加合适的辅助线是解答的关键．