第十八章平行四边形微专题——动点问题训练2（人教版数学八年级下册）

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人教版数学八年级下册第十八章平行四边形微专题——动点问题训练2如图，中，点是边上一个动点，过作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点．

请说明：；
当点在边上运动到何处时，四边形是矩形？为什么？ 2.  如图，已知在▱中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．如图，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数如图，在的条件下，连结并延长与的延长线交于点，连结，若，求的面积．如图，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止运动，若，求当运动时间为多少秒时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形．        3.  如图，中，点为边上的一个动点，过点作直线，设交的外角平分线于点，交内角平分线于．


求证：；当点运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论；若边上存在点，使四边形是正方形，猜想的形状并证明你的结论。  4.  如图所示，在四边形中，，，，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动
 几秒后，四边形为平行四边形？并求出此时四边形的周长．几秒后，四边形为平行四边形？并求出此时四边形的周长．       5.  如图，正方形的边长为，为边上的一点，，为的中点，为上一个动点，求的最小值．  6.  已知：如图，在菱形中，，点为边上的一个动点与点、不重合，，与边相交于点，联结交对角线于点设，．
求证：是等边三角形；
求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
点是线段的中点，联结，当时，求的值．
7.  如图，在直角梯形中，，，，，，动点从点出发，沿方向以秒的速度运动，运动时间为秒．
当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？
当为何值时，以、、为顶点的三角形是直角三角形？
  8.  如图，在矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，点以每秒的速度向点移动，点以每秒测得速度向点移动，当点到达点处时，两点均停止移动
，两点出发多长时间，线段的长度为？
是否存在某一时刻，使四边形为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．
9.  如图，在矩形中，对角线与相交于点，点为上的一个动点点不与，重合，过点作，，垂足分别为，若，，求的值．   10.  已知矩形中，是边上的一个动点，点，，分别是，，的中点，
求证：≌；
当是的中点时，四边形是什么样的特殊四边形？请证明你的结论
  11.  如图，在正方形中，是边上的一动点不与点、重合，连接，点关于直线的对称点为点，连接并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接。
求证：；猜想线段与的数量关系，并证明。  12.  如图，在四边形中，，，是的中点，是边上的一个动点点与点，不重合，连接并延长交的延长线于点．
试说明≌；当点在点，之间运动到什么位置时，四边形是平行四边形？并说明理由．  13.  如图，、分别是正方形的边、上的两个动点，且，交于点，若，求线段的最小值．14.  如图，在中，，，点为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形解答下面的问题：
 当点在线段上时与点不重合，如图甲，、之间的关系为_________；当点在线段的延长线上时，如图乙，中的结论是否仍然成立？为什么？ 15.  如图，为正方形的边上一动点与、不重合，连接，过点作交于点，将沿所在的直线对折得到，延长交的延长线于点．
 试探究与的数量关系，并证明你的结论；当，，求的长；当，时，求的长．          16.  在正方形中，如图，点是边上的一个动点点与点、不重合，连接，过点作于点，交于点．
求证：≌．
如图，当点运动到中点时，连接，若，求的长．

参考答案1.解：

平分，
，
，
，
，
，
同理，
；
结论：当点在中点时，四边形是矩形，
理由：
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形； 2.解析四边形是平行四边形，，，，平分，，，，又，，是等边三角形，．如图，过点作于．
  四边形为平行四边形，

，由知为等边三角形，所以，由勾股定理得，，四边形是平行四边形，，，，，，，．四边形是平行四边形，，．要使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则，设运动时间为秒，当时，，，，解得，不合题意，舍去当时，，，，解得当时，，，，解得当时，，，，解得．综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形． 3.证明平分，，，，，，同理，，．当点运动到中点处时，四边形是矩形．如图，，四边形为平行四边形，平分，，同理，，，四边形是矩形．是直角三角形：四边形是正方形，，故，，，，是直角三角形． 4.解：设 后，四边形为平行四边形，
由题意易得，
解得．即后，四边形为平行四边形，
此时四边形的周长是．设后，四边形为平行四边形．
由题意易得，
解得．
即后，四边形为平行四边形，
此时四边形的周长是． 5.解：作关于直线的对称点，连接，则即为所求，

过作于，
在中，
，，
所以． 6.证明：四边形为菱形，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，即，
，
在和中，
，
≌，
，
为等边三角形；
解：过点作于点，

为等边三角形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
解：，是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
舍去，
即． 7.解：当时，
四边形是平行四边形，
，
．
当时，四边形是平行四边形；
过作于，
．
．
当，时，是直角三角形．
，解得．
当，设，，
即，
，
．
，
，
．
当或时，是直角三角形． 8.解：过点作于点，
，
，
即，
解得：，
答：，两点出发或秒，线段的长度为；
四边形是正方形，
，即，
解得：，
，
不成立． 9.解：连接．
四边形是矩形，
，，，．
，．
．
，
即．
． 10.解：点，，分别是，，的中点，
，，，
，
，
≌，
当是的中点时，四边形是菱形．
当是的中点时，，
，，
，同理，，
，，
，同理，，
，
四边形是菱形． 11.证明：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
点关于直线的对称点为，
≌，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
，理由是：
证法一：如图，在线段上截取，使，
，
，
由知：，，
，
，
，
，
即，
，
，是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
中，，，
，
；
证法二：如图，过点作于，
，
由方法一可知：，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
． 12.证明：
是的中点，
，
，
在和中
，
≌．
解：当四边形是平行四边形时，，
，
，
．
当时，四边形是平行四边形． 13.解：取的中点，连接，，如图所示，，，，当，，三点重合时，在一条直线上时，长度最小，线段长度的最小值是． 14.解：垂直，相等；
当点在的延长线上时中的结论仍成立．
理由：四边形是正方形，
，，
，
，
即，
在和中，
≌，
，
，
，
，
即． 15.解：．
理由：四边形是正方形，
，，
．
，，
．
在和中，
，
≌，
；

过点作于，如图．
四边形是正方形，
．
，
，，
，
．
四边形是正方形，
，
．
由折叠可得，
，
．
设，则有，．
在中，
根据勾股定理可得，
解得．
的长为；

过点作于，如图．
四边形是正方形，，，
．
，
，
．
设，则有，．
在中，
根据勾股定理可得，
解得，
．
的长为． 16.证明：，
，
，
又四边形为正方形，
，
，
又，，
在与中，
，
≌；

解：过点作于点，

为中点，
，
，
，
，
在中，由得，
，
，
，
 又，
，
在与中，
，
≌
，
，
，，
在与中，
，
≌，
．