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人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用集体备课ppt课件
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用集体备课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了随堂演练，课时对点练等内容，欢迎下载使用。
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.
2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.
利用正弦、余弦定理解三角形
问题 利用正、余弦定理可以解决哪几类问题？
提示 ①已知两边和夹角的问题：先利用余弦定理求第三边，再用余弦定理的推论求另外两角；②已知三边的问题：利用余弦定理的推论求三个角；③已知两角和任一边的问题：先由三角形内角和求第三个角，再利用正弦定理求另外两边；④已知两边和其中一边对角的问题：可先由余弦定理求第三边，此时需从边的角度进行检验，需满足任意两边之和大于第三边，再由余弦定理的推论求另外两角；也可由正弦定理求另外一边的对角，此时需从角的角度进行检验，大边对大角，小边对小角，内角和180°，再由内角和求第三个角，最后由正弦定理求第三边.
在△ABC中，已知b＝3，c＝3 ，B＝30°，解三角形.
方法一 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，
∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°；
∴A＝90°，C＝60°.
又c>b，∴30°＜C＜180°，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝6；当C＝120°时，A＝30°＝B，a＝b＝3.
若已知三角形的两边及其一边的对角，则可直接应用正弦定理求出另一边的对角；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，求出c；不管利用正弦定理还是余弦定理，都需要检验，利用大边对大角、小边对小角、两边之和大于第三边、两边之差小于第三边以及内角和为180°等进行检验.
已知⊙O的半径为R，在它的内接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝( a－b)sin B成立，求角C的大小.
由正弦定理，得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
因为0°
(1)已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acs B＝bcs A，则△ABC一定是A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形
由正弦定理得，acs B＝bcs A⇒sin Acs B＝sin Bcs A⇒sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形.
(2)在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcs C，∴sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C＝2sin Bcs C，∴sin(B－C)＝0.又－90°＜B－C＜90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形.
判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.
(1)在△ABC中，已知3b＝2 asin B，且cs B＝cs C，角A是锐角，则△ABC的形状是A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形
又角A是锐角，所以A＝60°.又cs B＝cs C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C.故△ABC为等边三角形.
(2)在△ABC中，若acs C＋ccs A＝bsin B，则此三角形为A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形
在△ABC中，由acs C＋ccs A＝bsin B，以及正弦定理可知，sin Acs C＋sin Ccs A＝sin2B，即sin(A＋C)＝sin B＝sin2B，
∴△ABC为直角三角形.
正弦、余弦定理的综合应用
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝ acs B.(1)求B的大小；
在△ABC中，sin A≠0，
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.
∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理，得c＝2a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B，
利用正弦、余弦定理解三角形的注意点正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键.
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－ asin C＝bsin B.(1)求B的大小；
又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
sin A＝sin(30°＋45°)
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
1.知识清单： (1)利用正弦、余弦定理解三角形. (2)利用正弦、余弦定理判断三角形的形状. (3)正弦、余弦定理的综合应用.2.方法归纳：化归转化、数形结合.3.常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形.
1.在△ABC中，若AB＝ ，BC＝3，C＝120°，则AC等于A.1 B.2 C.3 D.4
在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1，故选A.
2.如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.由增加的长度确定的
设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，三边都增加x，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2＞0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形.
4.若acs A＝bcs B，则△ABC是 三角形.
所以2sin A·cs A＝2sin B·cs B，即sin 2A＝sin 2B，因为A，B为三角形的内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bcs A＋acs B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为A.5 B.6 C.7 D.7.5
∵asin A－bsin B＝4csin C，∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.
5.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是A.a2＝b2＋c2－2bccs AB.asin B＝bsin AC.a＝bcs C＋ccs BD.acs B＋bcs C＝c
对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccs A，故A正确；对于B，根据正弦定理边角互化，可得asin B＝bsin A⇔ab＝ab，故B正确；对于C，根据正弦定理，得a＝bcs C＋ccs B⇒sin A＝sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin(B＋C)＝sin A，故C正确；对于D, 根据正弦定理的边角互化可得，sin Acs B＋sin Bcs C＝sin C＝sin(A＋B)＝sin A·cs B＋cs Asin B，即sin Bcs C＝cs Asin B，又sin B≠0，所以cs C＝cs A，当A＝C时，等式成立，故D不正确.
即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形.
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝ ，a2＋b2－c2＝ab，c＝3，则角C＝ ，a＝ .
由a2＋b2－c2＝ab，
8.在△ABC中，若b＝acs C，则△ABC的形状为 .
∵b＝acs C，∴sin B＝sin Acs C，则sin(A＋C)＝sin Acs C.即cs Asin C＝0，∵A，C∈(0，π)，∴sin C≠0，∴cs A＝0，
9.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acs C＋ c＝b.(1)求A的大小；
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C，
(2)若a＝1，b＝ ，求c的值.
综上可得，c＝1或2.
10.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且 .(1)求B的大小；
整理，得a2＋c2－b2＋ac＝0，
(2)若b＝ ，a＋c＝4，求a的值.
代入b2＝a2＋c2－2accs B得，
即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.
11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acs B＋bcs A＝4sin C，则△ABC外接圆的面积为A.16π B.8π C.2π D.4π
因为acs B＋bcs A＝4sin C，所以由正弦定理可得，
在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C，解得R＝2，所以△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝4π.
12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cs C等于
因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且8b＝5c，C＝2B，所以8sin B＝5sin C＝5sin 2B＝10sin Bcs B，
13.在△ABC中，若A＝ ，sin B＝ cs C，则△ABC为A.直角非等腰三角形B.等腰非直角三角形C.非等腰且非直角三角形D.等腰直角三角形
14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcs C＝sin2C，则 ＝ ，角C的最大值为 .
∵2sin Asin Bcs C＝sin2C，
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac·cs B＝5ac，
在△ABC中，设其外接圆半径为R，
所以b2－a2＝ab.①因为cs(A－B)＋cs C＝1－cs 2C，所以cs(A－B)－cs(A＋B)＝2sin2C，所以sin Asin B＝sin2C.
所以ab＝c2.②把②代入①得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2.所以△ABC是直角三角形.
因为ac
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.
2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.
利用正弦、余弦定理解三角形
问题 利用正、余弦定理可以解决哪几类问题？
提示 ①已知两边和夹角的问题：先利用余弦定理求第三边，再用余弦定理的推论求另外两角；②已知三边的问题：利用余弦定理的推论求三个角；③已知两角和任一边的问题：先由三角形内角和求第三个角，再利用正弦定理求另外两边；④已知两边和其中一边对角的问题：可先由余弦定理求第三边，此时需从边的角度进行检验，需满足任意两边之和大于第三边，再由余弦定理的推论求另外两角；也可由正弦定理求另外一边的对角，此时需从角的角度进行检验，大边对大角，小边对小角，内角和180°，再由内角和求第三个角，最后由正弦定理求第三边.
在△ABC中，已知b＝3，c＝3 ，B＝30°，解三角形.
方法一 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，
∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°；
∴A＝90°，C＝60°.
又c>b，∴30°＜C＜180°，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝6；当C＝120°时，A＝30°＝B，a＝b＝3.
若已知三角形的两边及其一边的对角，则可直接应用正弦定理求出另一边的对角；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，求出c；不管利用正弦定理还是余弦定理，都需要检验，利用大边对大角、小边对小角、两边之和大于第三边、两边之差小于第三边以及内角和为180°等进行检验.
已知⊙O的半径为R，在它的内接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝( a－b)sin B成立，求角C的大小.
由正弦定理，得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
因为0°
(1)已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acs B＝bcs A，则△ABC一定是A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形
由正弦定理得，acs B＝bcs A⇒sin Acs B＝sin Bcs A⇒sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形.
(2)在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcs C，∴sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C＝2sin Bcs C，∴sin(B－C)＝0.又－90°＜B－C＜90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形.
判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.
(1)在△ABC中，已知3b＝2 asin B，且cs B＝cs C，角A是锐角，则△ABC的形状是A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形
又角A是锐角，所以A＝60°.又cs B＝cs C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C.故△ABC为等边三角形.
(2)在△ABC中，若acs C＋ccs A＝bsin B，则此三角形为A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形
在△ABC中，由acs C＋ccs A＝bsin B，以及正弦定理可知，sin Acs C＋sin Ccs A＝sin2B，即sin(A＋C)＝sin B＝sin2B，
∴△ABC为直角三角形.
正弦、余弦定理的综合应用
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝ acs B.(1)求B的大小；
在△ABC中，sin A≠0，
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.
∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理，得c＝2a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B，
利用正弦、余弦定理解三角形的注意点正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键.
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－ asin C＝bsin B.(1)求B的大小；
又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
sin A＝sin(30°＋45°)
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
1.知识清单： (1)利用正弦、余弦定理解三角形. (2)利用正弦、余弦定理判断三角形的形状. (3)正弦、余弦定理的综合应用.2.方法归纳：化归转化、数形结合.3.常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形.
1.在△ABC中，若AB＝ ，BC＝3，C＝120°，则AC等于A.1 B.2 C.3 D.4
在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1，故选A.
2.如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.由增加的长度确定的
设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，三边都增加x，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2＞0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形.
4.若acs A＝bcs B，则△ABC是 三角形.
所以2sin A·cs A＝2sin B·cs B，即sin 2A＝sin 2B，因为A，B为三角形的内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bcs A＋acs B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为A.5 B.6 C.7 D.7.5
∵asin A－bsin B＝4csin C，∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.
5.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是A.a2＝b2＋c2－2bccs AB.asin B＝bsin AC.a＝bcs C＋ccs BD.acs B＋bcs C＝c
对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccs A，故A正确；对于B，根据正弦定理边角互化，可得asin B＝bsin A⇔ab＝ab，故B正确；对于C，根据正弦定理，得a＝bcs C＋ccs B⇒sin A＝sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin(B＋C)＝sin A，故C正确；对于D, 根据正弦定理的边角互化可得，sin Acs B＋sin Bcs C＝sin C＝sin(A＋B)＝sin A·cs B＋cs Asin B，即sin Bcs C＝cs Asin B，又sin B≠0，所以cs C＝cs A，当A＝C时，等式成立，故D不正确.
即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形.
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝ ，a2＋b2－c2＝ab，c＝3，则角C＝ ，a＝ .
由a2＋b2－c2＝ab，
8.在△ABC中，若b＝acs C，则△ABC的形状为 .
∵b＝acs C，∴sin B＝sin Acs C，则sin(A＋C)＝sin Acs C.即cs Asin C＝0，∵A，C∈(0，π)，∴sin C≠0，∴cs A＝0，
9.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acs C＋ c＝b.(1)求A的大小；
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C，
(2)若a＝1，b＝ ，求c的值.
综上可得，c＝1或2.
10.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且 .(1)求B的大小；
整理，得a2＋c2－b2＋ac＝0，
(2)若b＝ ，a＋c＝4，求a的值.
代入b2＝a2＋c2－2accs B得，
即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.
11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acs B＋bcs A＝4sin C，则△ABC外接圆的面积为A.16π B.8π C.2π D.4π
因为acs B＋bcs A＝4sin C，所以由正弦定理可得，
在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C，解得R＝2，所以△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝4π.
12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cs C等于
因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且8b＝5c，C＝2B，所以8sin B＝5sin C＝5sin 2B＝10sin Bcs B，
13.在△ABC中，若A＝ ，sin B＝ cs C，则△ABC为A.直角非等腰三角形B.等腰非直角三角形C.非等腰且非直角三角形D.等腰直角三角形
14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcs C＝sin2C，则 ＝ ，角C的最大值为 .
∵2sin Asin Bcs C＝sin2C，
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac·cs B＝5ac，
在△ABC中，设其外接圆半径为R，
所以b2－a2＝ab.①因为cs(A－B)＋cs C＝1－cs 2C，所以cs(A－B)－cs(A＋B)＝2sin2C，所以sin Asin B＝sin2C.
所以ab＝c2.②把②代入①得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2.所以△ABC是直角三角形.
因为ac
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