人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用图片课件ppt

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用图片课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了余弦定理的推导，平方的，积的两倍，反思感悟，已知三边解三角形，注意点，随堂演练，设第三条边长为x，直角三角形，课时对点练等内容，欢迎下载使用。

1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？
问题1　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c?
那么c＝a－b，①我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，联想到数量积的性质c·c＝|c|2，可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算.由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cs C.所以c2＝a2＋b2－2abcs C，同理可得a2＝b2＋c2－2bccs A，b2＝c2＋a2－2cacs B.
问题2　在问题1的探究成果中，若A＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？
提示　a2＝b2＋c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例.
1.余弦定理语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边_______ 减去这两边与它们夹角的余弦的　　　　 .2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有a2＝ ，b2＝ ，c2＝ .
b2＋c2－2bccs A
a2＋c2－2accs B
a2＋b2－2abcs C
已知两边及一角解三角形
　　(1)(教材P43例5改编)在△ABC中，已知b＝3，c＝2 ，A＝30°，求a的值；
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccs A
(2)在△ABC中，已知b＝ ，c＝ ，B＝30°，求a的值.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，
已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，需满足大角对大边，两边之和大于第三边.
　　　 (1)已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cs C＝ ，则c＝ .
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得5＝22＋b2－2×2bcs A，
问题3　在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何解三角形？
余弦定理的推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则cs A＝ ，cs B＝ ，cs C＝ .
余弦定理及推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.
已知三角形的三边解三角形的方法利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角.
　　　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小.
∵a>c>b，∴A为最大角.由余弦定理的推论，得
又∵0°利用余弦定理判断三角形形状
问题4　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？
提示　A为直角⇔a2＝b2＋c2；A为锐角⇔b2＋c2>a2(前提是b，c是两个较小边)；A为钝角⇔b2＋c2　　在△ABC中，若acs B＋acs C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
由acs B＋acs C＝b＋c并结合余弦定理，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2；③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2　　　 在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等边三角形
在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
1.知识清单： (1)余弦定理. (2)余弦定理解决的两类问题. (3)余弦定理的简单应用.2.方法归纳：化归转化、数形结合.3.常见误区：易忽略三角形中的隐含条件.
∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状是 .
因为bcs C＋ccs B＝asin A，
整理，得a＝asin A，所以sin A＝1.
故△ABC为直角三角形.
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝2，c＝5，则A的大小为A.30° B.60° C.45° D.90°
又0°由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cs 60°＝3，
2.已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则角A等于A.30° B.45° C.60° D.90°
所以△ABC为直角三角形，A＝30°.
3.在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C等于A.90° B.120° C.135° D.150°
又0°＜B＜180°，所以B＝60°，所以A＋C＝120°.
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ ac，则角B的大小是A.45° B.60° C.90° D.135°
又0°利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccs A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcs C＝(a＋b)2－2ab－2abcs C，得(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cs C)＝2ab(1＋cs 60°)＝3ab＝4，
7.在△ABC中，AB＝3，BC＝ ，AC＝4，则A＝ ，AC边上的高为 .
由余弦定理的推论，可得
由题意得，a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcs C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
8.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝ .
9.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求A的大小；
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，而a2＝b2＋c2－2bccs A，∴2cs A＝1，
(2)若b＋c＝2a＝2 ，试判断△ABC的形状.
∴△ABC为等边三角形.
10.已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cs2 ＋cs A＝0.(1)求A的大小；
(2)若a＝2 ，b＝2，求c的值.
由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccs A，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).
所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形.
设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l，因为l＝5c，所以a＝b＝2c，
13.(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有A.sin(B＋C)＝sin AB.cs(B＋C)＝cs AC.若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形D.若a2＋b2依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；cs(B＋C)＝cs(π－A)＝－cs A，B不正确；
设三角形的三边分别为a，b，c，依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accs B，
∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形，
16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cs C＋(cs A－ sin A)cs B＝0.(1)求B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accs B.