数学必修 第二册6.4 平面向量的应用课文ppt课件

这是一份数学必修 第二册6.4 平面向量的应用课文ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了距离问题，高度问题，角度问题，随堂演练，课时对点练等内容，欢迎下载使用。

1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.
在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案，把要求的距离、高度、角度等问题转化成解三角形的四类问题，然后利用正弦定理或余弦定理解决实际问题.
　　如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离.
在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，
在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.
在△ABC中，由余弦定理，得
求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形.(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解.
　　　(1)A，B两地之间隔着一个山冈，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为 km.
由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cs C
(2)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是 m.
又AD＋DB＝120，∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，
　　如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是
在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.
　　　如图，照片中的建筑是某校的新宿舍楼，学生李明想要测量宿舍楼的高度MN.为此他进行了如下测量：首先选定观测点A和B，测得A，B两点之间的距离为33米，然后在观测点A处测得仰角∠MAN＝30°，进而测得∠MAB＝105°，∠MBA＝45°.根据李明同学测得的数据，该宿舍楼的高度为 米.
在△ABM中，因为∠MAB＝105°，∠MBA＝45°，
　　甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，
B＝180°－60°＝120°，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.
测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
　　　地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为40 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，到达点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离.
因为AB＝40 m，所以AB＝PB，所以∠APB＝∠PAB＝30°，所以∠PBA＝120°.因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60°方向上，且目标参照物P与他的距离为40 m.
1.知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：方位角是易错点.
1.若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的A.北偏东15°方向上 B.北偏西15°方向上C.北偏东10°方向上 D.北偏西10°方向上
如图所示，∠ACB＝90°.又因为AC＝BC，所以∠CBA＝45°.因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°方向上.
2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为
∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，
由题图，可得B＝45°，∠BAC＝30°，
4.当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝ .
因为0°＜120°－α＜120°，所以要使x最大，只需sin(120°－α)＝1，即120°－α＝90°，所以当α＝30°时，影子最长.
如图所示，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10海里.
由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠ABC.
如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时.故选D.
即此时两船间的距离为2h米.
5.在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为A.20 m B.30 m C.40 m D.60 m
如图，设O为塔顶在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20 m，
在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60(m).∴AB＝OA－OB＝40(m).
7.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC＝50°，∠CBE＝70°，AC＝90，BC＝150，则DE＝ .
由题意知∠ACB＝120°，在△ACB中，
∴AB＝210，DE＝AB＝210.
8.一艘船以每小时15 km的速度向正东方向航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向上，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向上，这时船与灯塔间的距离为 km.
如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，则∠ABC＝45°，AC＝15×4＝60(km)，根据正弦定理，得
9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上.(1)求渔船甲的速度；
依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cs∠BAC＝62＋102－2×6×10×cs 120°＝196，
所以渔船甲的速度为7 n mile/h.
在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α.
10.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，，求索道AB的长.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
所以索道AB的长为1 040 m.
11.(多选)如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，则一定能确定A，B间距离的所有方案为A.测量A，B，b B.测量a，b，CC.测量A，B，a D.测量A，B，C
对于A，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，
对于B，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcs C即可解出c；对于C，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，
对于D，不知道长度，显然不能求c.
12.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于
方法一　设AB＝x m，则BC＝x m.∴BD＝(10＋x)m.
方法二　∵∠ACB＝45°，∠ADC＝30°，∴∠CAD＝45°－30°＝15°.
13.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°方向前进100 m 到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m
如图，设水柱的高度是h m，水柱底端为C，
即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50或h＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m.
14.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的 倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处.经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin A＝ .
依题意，设乙的速度为x m/s，
因为AB＝1 040 m，BC＝500 m，
在△ABC中，由余弦定理的推论得，
15.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D两市相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km，则震中A到B，C，D三市的距离分别为 .
由题意得，在△ABC中，AB－AC＝1.5×8＝12(km).在△ACD中，AD－AC＝1.5×20＝30(km).设AC＝x km，则AB＝(12＋x)(km)，AD＝(30＋x)(km).
∵B，C，D在一条直线上，
设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs∠BAC
又0°<∠ABC<60°，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
又∵0°<∠BCD<60°，∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.