2022-2023学年辽宁省葫芦岛市兴城市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省葫芦岛市兴城市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中，是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  “射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是(    )

A. 确定事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件

5.  将的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  在一个不透明的口袋里放置个红球，个绿球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且绘制了绿球出现的频率图，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  我国古代数学著作增删算法统宗记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边相距步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是(    )
 

A.  B.
C.  D.

8.  如图，内接于，，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形是(    )

A. 正五边形
B. 正六边形
C. 正十边形
D. 正十二边形

9.  如图，中，，，，点在线段上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，交的延长线于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，过点作，垂足为点，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为，以下结论：；当时，的值随值的增大而增大；；抛物线一定经过点；关于的方程有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  抛物线的顶点坐标为______．

12.  已知，是抛物线上两点，则______．

13.  圆锥的底面直径是，母线长，则圆锥的全面积为______．

14.  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______ ．

15.  如图，含角的直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点和点在量角器的半圆上，若点在量角器上对应的读数是，则的度数是______ ．

16.  如图，中，，绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点恰好在线段上，，则的度数为______ ．

17.  如图，中，，，，点在线段上运动，过点作，垂足为点，若与相似，则线段的长为______ ．

18.  如图，在中，，，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程：
；
．

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，，将绕点逆时针旋转得到．
画出，写出点，的坐标；
请直接写出线段与轴交点的坐标．

21.  本小题分
为庆祝党的二十大的胜利召开，某校开展了“永远跟党走，奋进新征程”为主题的教育活动，活动方式有书法展示、手抄报设计、唱响经典红歌、爱国主义主题演讲分别用字母，，，依次表示这四种活动方式，为了解全体学生最喜欢哪种活动方式要求必须选择一种且只能选择一种，抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了以下两幅不完整的统计图．

请根据以上信息回答下列问题：
这次被调查的学生有多少人？
请补全条形统计图；
全校共有人，请估计该校最喜欢“书法展示”的学生有多少人？
某班准备从最喜欢爱国主义主题演讲的甲、乙两名女生和丙、丁两名男生中任选两人参加学校组织的爱国主义演讲比赛，请用列表法或画树状图法求所选两人恰好为名女生和名男生的概率．

22.  本小题分
如图，为的直径，内接于，，交于点．
求的度数；
若点为中点，，求的长．

23.  本小题分
年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量个与销售单价元满足如图所示的一次函数关系．
求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为元？
当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？

24.  本小题分
如图，中，，点在线段上，连接，，过点作交的延长线于点，以为圆心，为半径作．
求证：为的切线；
若，求图中阴影部分的面积．

25.  本小题分
如图，中，，，点为中点，点在射线上运动，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
当点与点重合时，请直接写出与的数量关系；
当点在线段上时，请写出线段，，的数量关系，并说明理由；
若，，请直接写出的面积．
 

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，点在直线上运动．
求抛物线的解析式；
当点在线段上，点关于直线的对称点恰好落在轴上时，求点坐标；
点在抛物线上，点在坐标平面内，在点移动的过程中，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，是一元一次方程，故不符合题意；
B、，含有两个未知数，故不符合题意；
C、，是一元二次方程，故符合题意；
D、，不是整式方程，故不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程；由此问题可求解．
本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图可知，黑色方砖块，共有块方砖，
黑色方砖在整个地板中所占的比值，
该小球停留在黑色区域的概率是．
故选：．
先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比．
 

4.【答案】 

【解析】解：射击运动员射击一次，命中靶心，这个事件是随机事件，
故选：．
必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能够确定一个事件是何种事件是解题的关键；
 

5.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，
所得图象的函数解析式是：．
故选：．
由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，根据平移的性质，即可求得所得图象的函数解析式．注意二次函数平移的规律为：左加右减，上加下减．
本题主要考查了函数图象的平移．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

6.【答案】 

【解析】解：由统计图可知，黄球出现的频率为，
，
解得，
经检验，是原方程的解．
故选：．
根据统计图可知，黄球出现的频率为，再利用频率估计概率即可得出答案．
本题主要考查了利用频率估计概率，得出黄球出现的频率为是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．
直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案．
【解答】
解：设正方形的边长是步，则列出的方程是：．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，
，
，
，
是正五边形的一条边，
故选：．
构造弧所对的圆周角后即可求得答案．
本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角，难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】解：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，
，
，
，
，
，
∽，
：：，
，
：：，
．
故选：．
由，得到，于是可以证明∽，得到：：，由勾股定理求出的长，代入有关数据即可求解．
本题考查圆心角、弧、弦的关系，公共定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数开口方向向下，
；
对称轴在轴左侧，
、同号，
抛物线与轴交点在轴正半轴，
，
，
故正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而增大，
故错误；
图象与轴交于点，对称轴为直线，
图象与轴的另一个交点为，
，
时，，
，
，即，
故正确；
图象与轴的交点为在和，
的两根为和，
，
，
，
抛物线一定经过点，
故正确；
抛物线与直线有两个交点，
关于的方程有两个不相等的实数根，
故正确．
综上所述，正确的有共个，
故选：．
由题意得到抛物线的开口向上，对称轴，判断，与的关系，根据抛物线与轴交点的位置确定与的关系，从而得到，即可判断；
根据函数性质即可判断；
根据抛物线经过点以及时，，得到，即，即可判断；
根据图象与轴的交点为在和，即可判断；
根据抛物线与直线有两个交点即可判断．
此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与轴的交点．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
 

11.【答案】 

【解析】解：的顶点坐标为．
故答案为：．
根据二次函数顶点式的性质，即可得出答案．
本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的顶点式的性质是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：将，代入解析式，
得：，
解得，
故答案为．
根据待定系数法即可求得．
本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面直径是，
底面圆的半径为，
圆锥的底面积为，圆锥的侧面积．
圆锥的全面积为．
故答案为：．
利用圆锥的侧面积圆锥母线圆锥底面圆的半径直接求出侧面积，然后求得底面积，二者的和即为全面积．
本题考查了圆锥的计算以及侧面积公式，利用了圆锥侧面积公式求解是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为关于的一元二次方程有实根，
所以，
解之得．
故答案为．
在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
二次项系数不为零；
在有实数根下必须满足．
本题考查了一元二次方程为常数根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

根据题意得，，
点在量角器上对应的读数是，
，
，
，
，
故答案为：．
根据圆周角定理得出，根据角的和差求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：中，，绕点顺时针旋转一定的角度得到，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
首先根据旋转的在可以得到，然后利用平行线的性质可以得到旋转角的度数，最后利用等腰三角形的性质即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了平行线的性质及等腰三角形的性质，有一定的综合性．
 

17.【答案】或 

【解析】解：，
．
．
．
∽．
与相似，
一当时，，
点是的中点．
是的中位线．
．
二当时，
．
由∽得．
．
，．
，
．
．
故答案为：或．
先说明与与相似，再讨论、时的情况，分别求出．
本题考查了相似三角形，掌握相似三角形的性质与判定、三角形的中位线定理是解决本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，把线段绕着顺时针旋转得到线段，连接，
为等边三角形，
，
在中，，
，
以点为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，
≌，
，
，
线段的最小值为．
故答案为：．
首先把线段绕着顺时针旋转得到线段，连接，可以得到，然后利用旋转的性质和等边三角形的性质即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了全等三角形的性质、等边三角形的性质及三角形的三边关系，有一定的综合性．
 

19.【答案】解：，
，
，，，
，
，．

，
，
，
，，，
，
，
，． 

【解析】先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再根据公式法求解即可；
先化成一般式找到、、，计算判定根的情况，最后运用求根公式即可求解．
本题考查了用公式法解一元二次方程，找出，，，求出的值，是解此题的关键．
 

20.【答案】解：如图，即为所求．
点，．
设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
令，得，
线段与轴交点的坐标为． 

【解析】根据旋转的性质作图，即可得出答案．
利用待定系数法求出直线的解析式，再令，求出，即可得所求的坐标．
本题考查作图旋转变换、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握旋转的性质以及待定系数法求一次函数解析式是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：人，
答：这次被调查的学生有人；
喜欢的人数为：人，
补全条形统计图如下：

人，
答：估计该校最喜欢“书法展示”的学生约有人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中所选两人恰好为名女生和名男生的结果有种，
所选两人恰好为名女生和名男生的概率为． 

【解析】由喜欢的人数除以所占百分比即可；
求出喜欢的人数，补全条形统计图即可；
由全校共有学生人数乘以该校最喜欢“书法展示”的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中所选两人恰好为名女生和名男生的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：连接，

，
，
，
，
的度数为；
设，
点为中点，
，
，
在中，，
，
，
解得：或舍去，
，
，
的长为． 

【解析】连接，利用圆周角定理可求出，然后利用等腰直角三角形的性质，即可解答；
设，根据线段中点的定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：设一次函数关系式为，
由图象可得，当时，；时，，
，
解得：，
销售单价不低于成本价且不高于成本价的倍，

与之间的关系式为：；
根据题意得：，
整理得：，
解得或，
，
，
答：每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为元时，该商家每天的销售利润为元；
设该商家每天获得的利润为元，
则，
，，
当时，最大，最大值为，
答：当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润是元． 

【解析】设一次函数关系式为，把时，；时，，代入解析式可得、的值解方程组即可得到结论；
根据每个毛绒玩具“拉伊卜”利润销售利润列出方程，解方程取在的值即可；
设该公司日获利为元，根据每天的总利润每个毛绒玩具“拉伊卜”利润销售利润列出函数解析式，根据二次函数的性质和自变量的取值范围求函数最值．
本题考查了二次函数的应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围．
 

24.【答案】证明：如图，过点作于点，

，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是以为圆心，为半径，
为半径，
又，
为的切线；
解：由得，，，
，
，
，
，
≌，
四边形的面积，
，
阴影部分的面积四边形的面积 

【解析】过点作于点，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及角的和差求出，根据平行线的性质得出，，利用证明≌，则，进而得出为半径，根据切线的判定定理即可得解；
解直角三角形得出，，根据阴影部分的面积四边形的面积求解即可．
此题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定与性质、等腰三角形的性质、扇形面积的计算是解题的关键．
 

25.【答案】解：，理由如下：
，，点为中点，
，，
点与点重合时，
，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，，
四边形是正方形，
；
解：，理由如下：
过点作，交的延长线于点，
，，
，
为的中点，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
≌，
，
，
；
解：当在线段上，由可知，≌，
的面积的面积，
，，
，
，
的面积的面积，
当当在射线上，的面积的面积，
综上所述，的面积为或． 

【解析】根据直角三角形的性质和正方形的判定和性质解答即可；
过点作，交的延长线于点，根据直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
根据等腰直角三角形的性质得出边长关系，进而解答即可．
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线与轴交于点，与轴交于点，
，
解得．
抛物线的表达式为：．
如图，连接，，

点和点关于直线对称，
，，
，轴，
，
，，，
，，
设点，
，，
在中，，
解得，
；
若以点，，，为顶点的四边形是正方形，则是等腰直角三角形，根据题意，需要进行分类讨论：
当点为直角顶点，如图，过点作轴于点，

则≌，
，，
设点的横坐标为，则，
，
点，在抛物线上，
，
，；
同理可得，
，
；
当点为直角顶点时，过点作于点，如图，，

≌，
，，
设点的横坐标为，
则，，
，
，
解得，
或；
当点为直角顶点时，
当点与点重合时，或；
当点与点不重合时，如图，过点作轴的垂线，交轴于点，过点作轴交于点，

≌，
，，
设点的横坐标为，则，
，
，
解得，
，
，
；
当点在轴下方时，如图，过点作轴的垂线，交轴于点，过点作轴交于点，
≌，

，，
设点的横坐标为，则，
，
，
解得，
，
，
；
综上，符合条件的点的坐标为：或或或或或或或． 

【解析】将点，的坐标代入抛物线组成方程组，解之即可；
根据题意作出图形，连接，，由对称可得出点的坐标，在中，根据勾股定理可得结论；
若以点，，，为顶点的四边形是正方形，则是等腰直角三角形，根据题意，需要进行分类讨论，分别当点，，为直角顶点时，分别求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，正方形的性质等相关知识，同时考查分类讨论思想等知识，解题关键是进行正确的分类讨论，做到不重不漏．属于中考压轴题．