2023届华大新高考联盟高三下学期4月教学质量测评数学试题含解析

2023届华大新高考联盟高三下学期4月教学质量测评数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意求解集合，进而可求.

【详解】由题意可得：，

所以.

故选：C.

2．已知，则在复平面内，复数z所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据虚数单位的性质结合复数的除法求复数z，进而判断复数z所对应的点所在象限.

【详解】∵，

∴复数z所对应的点为，位于第四象限.

故选：D.

3．某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包.已知甲、乙、丙三人抢到的红包金额超过1元的概率分别为，则这三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据互斥事件的概率加法公式结合独立事件的概率除法公式分析运算.

【详解】三人抢到的红包都超过1元的概率为，

三人中仅有两人抢到的红包超过1元的概率为，

所以三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为.

故选：A.

4．已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据图象可得出为偶函数，且，，然后逐项求解判断，即可得出答案.

【详解】由图象可得，为偶函数，且，且.

A项，若，则，

所以为偶函数.

而，不满足题意，故A项错误；

B项，若，则，

所以为偶函数.

，

，

因为，所以，所以满足题意，故B项正确；

C项，若，则，

所以不是偶函数，故C项错误；

D项，若，则，

所以为偶函数.

，故D项错误.

故选：B.

5．过点的直线l与函数的图象交于M，N两点，若O为坐标原点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的对称性分析可得为线段的中点，结合向量的坐标运算求解.

【详解】∵，

可知是由向右平移2个单位，再向上平移5个单位得到

故函数的对称中心，则为线段的中点，

可得，

所以.

故选：C.

6．已知正三棱台的上、下底面面积分别为，若，则该正三棱台的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求上、下底面正三角形的边长，根据外接球的性质结合勾股定理求半径，即可得结果.

【详解】若正三角形的边长为，则其面积为

由题意可得：，

取的外接圆的圆心为，正三棱台的外接球的球心，连接，过作底面的投影，

可得，则，

由，可得，

设外接球的半径为，则，

可得，解得，

所以该正三棱台的外接球的表面积.

故选：D.

7．已知双曲线的左、右焦点分别为，倾斜角为的直线l经过点和点B，其中，若，则双曲线C的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由条件分析得：D是BF1的中点，且是底角为的等腰三角形，作出简图，根据正弦定理可得的关系，得出结果.

【详解】

由可得D是BF1的中点，且是以为顶点的等腰三角形，

又因为，所以，

在中，由正弦定理可得，即，

即，

由可得，

代入上式化简可得：，则，则，解得.

故渐近线为：.

故选：D.

8．若函数在上单调递增，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可得在上恒成立，构建，结合定点分析运算.

【详解】因为，则，

由题意可得在上恒成立，

构建，则，

注意到，则，解得，

若，则，

当且仅当，即时，等号成立，

若，因为，则，

可得；

若，因为，则，

可得；

综上所述：当时，在上恒成立，

则在上单调递增，可得，符合题意；

故实数m的取值范围为.

故选：D.

【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题

（1）分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围．

（2）函数思想法

第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解．

二、多选题

9．《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前n项和分别为，可知，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据题意分析可得数列，均为等比数列，结合等比数列分析运算.

【详解】由题意可得：，

即，且，

所以数列是以首项，公比的等比数列，则，

可得，

当时，，且满足上式，

故，

可得，即数列是以首项，公比的等比数列，

可得，

综上可得：，，，.

故A、C正确，B、D错误.

故选：AC.

10．已知函数，过点的直线与曲线相切，则与直线垂直的直线为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】首先求出函数的导函数，设切点坐标为，即可表示出切线方程，再将代入方程，即可得到关于的方程，解得，从而求出切线的斜率，再一一判断即可.

【详解】，则，

设切点坐标为，则，所以切线方程为，

又切线过点，所以，

即，故，解得或，

所以直线的斜率为或，

对于A：直线的斜率为，符合题意，故A正确；

对于B：直线的斜率为，不符合题意，故B错误；

对于C：直线的斜率为，不符合题意，故C错误；

对于D：直线的斜率为，符合题意，故D正确；

故选：AD

11．已知函数，则下列说法错误的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．是函数图象的一个对称中心

C．将函数的图象向右平移个单位后得到一个偶函数

D．函数在上有7个零点

【答案】ABC

【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.

【详解】

，

即，故最小正周期，故A错误；

又，，

即，所以不是函数图象的的一个对称中心，故B错误；

将函数的图象向右平移个单位得到，显然该函数不是偶函数，故C错误；

令，即，即，

所以或，，

所以或，，

因为，所以函数在上有个零点分别为，，，，，，，故D正确；

故选：ABC

12．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，若，则点到原点的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】根据的几何意义得到，即可得到抛物线方程，设，，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入方程，即可得到，是方程的两个解，列出韦达定理，由求出的值，即可得到点坐标，从而求出距离.

【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，

则抛物线，即，所以，

设，，则，，

所以，，

所以点处的切线方程为，将代入方程得，

即，同理可得，

所以，是方程的两个解，所以，①，②

所以直线的斜率，

由得，

又，所以，整理得，

因为，所以③，

由①②③得，解得或，

所以点的坐标为或，

所以或.

故选：CD

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数表示出切线方程，设而不求得到直线的斜率，再利用弦长公式及已知条件求出的值.

三、填空题

13．若圆与圆交于P，Q两点，则直线PQ的方程为______.

【答案】

【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线PQ的方程，运算求解即可.

【详解】∵圆与圆相交，则两圆方程之差即为直线PQ的方程，

将与作差得，

整理得，

即直线PQ的方程为.

故答案为：.

14．已知的展开式中各项的系数之和为，记展开式中的系数为，则______.

【答案】

【分析】令得到展开式中各项的系数之和求出，再写出展开式的通项，令，求得，即可求出，从而得解.

【详解】对于令可得展开式中各项的系数之和为，解得，

所以展开式的通项为，

令，解得，所以，所以.

故答案为：

15．如图，已知四棱锥的底面ABCD为平行四边形，M是棱上靠近点D的三等分点，N是的中点，平面AMN交于点H，则，_______.

【答案】/

【分析】将四棱锥补为三棱柱，由求解.

【详解】解：如图所示：

补全四棱锥为三棱柱，作，且，

因为ABCD为平行四边形，所以，

则，且，

所以四边形和四边形都是平行四边形，

因为N为中点，则延长AN必过点E，

所以A，N，E，H，M在同一平面内，

因为，所以，

又因为M是棱上靠近点D的三等分点，

所以，则，

故答案为：

16．已知，，现有如下说法：①；②；③.则正确的说法有______.（横线上填写正确命题的序号）

【答案】②③

【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质判断即可.

【详解】因为，，

所以，，所以，故①错误；

，所以，故②正确；

，所以，故③正确.

故答案为：②③

四、解答题

17．记数列的前项和为，，且是等比数列的前三项.

(1)求的值；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，利用作差法求出，再根据等比中项的性质得到方程求出，即可求出的通项公式，再计算可得；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法和分组求和法计算可得.

【详解】（1）依题意，当时，

当时，

所以，则，所以，

又，，是等比数列的前三项，

所以，即，解得或（舍去），

而，，所以，所以.

（2）由（1）可得

，

所以

.

18．某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的补偿方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示.

(1)求a的值以及所有受灾居民的经济损失的平均值；

(2)以频率估计概率，若从所有受灾居民中随机抽取4人，记受灾居民的经济损失在的人数为X，求X的分布列以及数学期望.

【答案】(1)；所有受灾居民的经济损失的平均值为元；

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1可得a的值；由频率分布直方图的平均值的求法可得所有受灾居民的经济损失的平均值；

（2）求出受灾居民的经济损失在的概率，根据可得X的分布列以及数学期望.

【详解】（1）由得；

，

所有受灾居民的经济损失的平均值为元；

（2）受灾居民的经济损失在的概率为，

由题意，

，

，

，

，

，

所以的分布列为

数学期望.

19．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求的值；

(2)若.且.求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换整理得，根据正弦定理角化边即可得结果；

（2）根据题意结合余弦定理可得，进而可得，结合基本不等式和面积公式可求得，即可得结果.

【详解】（1）因为，则，

整理得，

由正弦定理可得，故.

（2）因为，

由存在，则，

两边同乘以可得：，

又因为，则，可得，

由余弦定理可得，整理得，

可得，

且，则，

由（1）可知：，可得，

由正弦定理可得，即，

由余弦定理可得，

当且仅当时，等号成立，

可得，可得，即，

故，

由题意可得：，

故实数的取值范围为.

20．已知四棱锥如图所示，其中，，，，平面平面，点在线段上，，点在线段上.

(1)求证：；

(2)若平面与平面所成角的余弦值为，求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再利用平面几何的知识证明，即可得到平面，从而得证；

（2）建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法得到方程，求出的值，即可得解.

【详解】（1）连接，因为，平面平面，

平面平面，平面，所以平面，

因为平面，所以，

因为，，，

在底面中过点作交与点，则，

所以，，

显然为矩形，所以，

又，

所以，故，所以，

又，所以，所以，

又，平面，所以平面，

又平面，所以.

（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，

所以，，，

设，，

则，

设平面的法向量为，所以，

即，令，则，

所以，

平面的一个法向量为，

因为平面与平面所成角的余弦值为，

所以，解得或（舍去），

所以.

21．已知椭圆的右焦点为，点，在椭圆上运动，且的最小值为；当点不在轴上时点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知直线与椭圆在第一象限交于点，若的内角平分线的斜率不存在.探究：直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.

【答案】(1)

(2)直线的斜率为定值，理由见解析

【分析】（1）设，椭圆的左、右顶点坐标分别为，，即可得到，再根据及求出、，即可得解；

（2）首先求出点坐标，设直线的斜率为，则直线的斜率为，，，表示出的方程，联立求出，把换为得，即可求出、，从而求出直线的斜率，即可得解.

【详解】（1）设，椭圆的左、右顶点坐标分别为，，

故，

即，则，

又，即，解得，所以，

即椭圆的方程为.

（2）联立，解得或，又在第一象限，所以，

由题意知的内角平分线的斜率不存在，即该角平分线与轴垂直，

设直线的斜率为，则直线的斜率为，

设，，直线的方程为，即，

由消去得，

因为、为直线与椭圆的交点，所以，即，

把换为得，

所以，

所以，

所以直线的斜率，即直线的斜率为定值.

22．已知函数

(1)若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围.

(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）原题可转化为在上有两个不相等的根，然后取出的导函数，根据函数的单调性以及最值，结合端点处的函数值，即可推得，求解即可得出实数m的取值范围；

（2）移项构造函数可得，然后求出导函数，根据二次求导可得.根据已知条件，推得.进而可得出的单调性，验证可得，满足条件，即可得出答案.

【详解】（1）由已知可得，定义域为.

令，则，

显然，所以.

令，，则.

解，可得.

所以当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减.

所以，函数在处取得极大值，也是最大值.

又，，

所以，要使函数在上有两个零点，则在上有两个不相等的根，则应有，

所以，.

（2）由已知可得，.

设，，

则.

令，则.

由已知，所以.

因为，所以，，所以.

又，所以，所以，

所以，

所以，，即在上单调递减.

又，

所以，在上单调递减，

所以，，

所以，实数m的取值范围为.

【点睛】思路点睛：移项构造函数，通过求解函数的导函数（或二次求导），得出函数的单调性.进而结合已知，得出函数的最值，即可得出恒成立.