2023届河南省华大新高考联盟高三下学期4月教学质量测评数学（文）试题含解析

2023届河南省华大新高考联盟高三下学期4月教学质量测评数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求解一元二次不等式化简集合，根据指数的性质化简集合，再求解即可.

【详解】依题意，，

故，故ABD错误，C正确.

故选：C.

2．已知，则在复平面内，复数z所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据虚数单位的性质结合复数的除法求复数z，进而判断复数z所对应的点所在象限.

【详解】∵，

∴复数z所对应的点为，位于第四象限.

故选：D.

3．经调查，某公司职员的入职年份（年）和年收入（万元）之间具有线性相关关系，并得到关于的回归直线方程，则下列说法中错误的个数是（    ）

①可以预测，员工第3年的年收入约为6.85万元

②若某员工的年收入约为7.9万元，可以预测该员工入职6年

③员工入职年份每增加一年，收入平均增加0.35万元

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】根据回归方程，将每一选项相关数据代入计算即可判断真伪.

【详解】当时，，故①正确；

令，可得，故②正确；

因为回归直线的斜率为0.35，故③正确；

故选：A.

4．已知将函数的图像向左平移1个单位后关于轴对称，若，且，则（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】由题意得函数关于对称，即，结合，可得函数的周期为2，再根据，求出的值.

【详解】因为将函数的图像向左平移1个单位后关于轴对称，

所以函数关于对称，即，即；

又因为，所以，

即，所以，

因为，所以，即，

所以由，得，

即，所以函数的周期为2，

则，

由，得.

故选：B.

5．《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前项和分别为，，可知，，，，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.

【详解】依题意，，.

因为，，所以.

故数列是以14为首项，7为公比的等比数列.

故，，

而，故.

故，，

选项A：.判断错误；

选项B：.判断错误；

选项C：.判断正确；

选项D：.判断错误.

故选：C.

6．过点的直线l与函数的图象交于M，N两点，若O为坐标原点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的对称性分析可得为线段的中点，结合向量的坐标运算求解.

【详解】∵，

可知是由向右平移2个单位，再向上平移5个单位得到

故函数的对称中心，则为线段的中点，

可得，

所以.

故选：C.

7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点满足，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先确定P点在双曲线的右支上，再根据点到直线距离公式和条件求出a与b的关系.

【详解】依题意，，故点在双曲线的右支上；

设，则，即；渐近线方程为 ，即 ，

，则，

则 ，，故双曲线的渐近线方程为；

故选：D.

8．已知正实数满足，则的最小值为（    ）

A．20 B．40 C． D．

【答案】C

【分析】由两次应用基本不等式即可求解.

【详解】，

当且仅当，即时等号成立，

故的最小值为.

故选：C.

9．已知正三棱台的上、下底面面积分别为，若，则该正三棱台的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求上、下底面正三角形的边长，根据外接球的性质结合勾股定理求半径，即可得结果.

【详解】若正三角形的边长为，则其面积为

由题意可得：，

取的外接圆的圆心为，正三棱台的外接球的球心，连接，过作底面的投影，

可得，则，

由，可得，

设外接球的半径为，则，

可得，解得，

所以该正三棱台的外接球的表面积.

故选：D.

10．已知，，现有如下说法：①；②；③.则正确说法的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据对数函数的单调性逐项分析.

【详解】依题意，，故，故①错误；

，故，即，故②正确；

，故，即，故③正确；

故选：C.

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．是函数图象的一个对称中心

C．将函数的图象向右平移个单位后得到一个偶函数

D．函数在上有7个零点

【答案】D

【分析】利用三角函数的降幂公式及辅助角公式，结合三角函数的性质、三角函数的平移变换及函数的零点的定义即可求解.

【详解】依题意，

故，故A错误；

因为，故不是函数图象的一个对称中心，故B错误；

将函数的图象向右平移个单位后，得到，显然该函数不是偶函数，故C错误；

令，即，解得，或,即或，又因为，

，，，，，，，所以函数在上有7个零点，故D正确.

故选：D.

12．若函数在上单调递增，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可得在上恒成立，构建，结合定点分析运算.

【详解】因为，则，

由题意可得在上恒成立，

构建，则，

注意到，则，解得，

若，则，

当且仅当，即时，等号成立，

若，因为，则，

可得；

若，因为，则，

可得；

综上所述：当时，在上恒成立，

则在上单调递增，可得，符合题意；

故实数m的取值范围为.

故选：D.

【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题

（1）分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围．

（2）函数思想法

第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解．

二、填空题

13．若圆与圆交于P，Q两点，则直线PQ的方程为______.

【答案】

【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线PQ的方程，运算求解即可.

【详解】∵圆与圆相交，则两圆方程之差即为直线PQ的方程，

将与作差得，

整理得，

即直线PQ的方程为.

故答案为：.

14．记等差数列的前项和为，若，，且，，成等比数列，则__________.

【答案】

【分析】由，求出，从而得到.再由，，成等比数列，解得，所以.

【详解】依题意，有，解得，

故.

因为，，成等比数列，所以，

即，解得，

故.

故答案为：

15．如图，已知四棱锥的底面ABCD为平行四边形，M是棱上靠近点D的三等分点，N是的中点，平面AMN交于点H，则，_______.

【答案】/

【分析】将四棱锥补为三棱柱，由求解.

【详解】解：如图所示：

补全四棱锥为三棱柱，作，且，

因为ABCD为平行四边形，所以，

则，且，

所以四边形和四边形都是平行四边形，

因为N为中点，则延长AN必过点E，

所以A，N，E，H，M在同一平面内，

因为，所以，

又因为M是棱上靠近点D的三等分点，

所以，则，

故答案为：

16．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为__________.

【答案】或

【分析】由题可得抛物线方程，利用切线几何意义可得切线斜率，即可表示出切线方程求出交点坐标，再将抛物线与直线联立，结合韦达定理可得轨迹方程.

【详解】由焦点到准线的距离为2，可得抛物线.

由可得，故，

故在处的切线方程为，即，

同理在点处的切线方程为，

联立，即.

联立直线与抛物线方程：，消去得，

由题或.

由韦达定理，，

得，其中或，故点的轨迹方程为：或.

故答案为：或

三、解答题

17．已知在中，角所对的边分别为，且，.

(1)求外接圆的面积；

(2)若的面积为，求的周长.

【答案】(1)

(2)12

【分析】（1）由正弦定理可得，由，可得，即可得外接圆的半径，进而可得外接圆的面积；

（2）由三角形的面积公式可得，由余弦定理可得，即可得，，即得答案.

【详解】（1）解：依题意，，

由正弦定理，，

因为，故，解得.

而，

又，故，

解得，

故的外接圆的半径，

则外接圆的面积.

（2）解：依题意，，解得，

由余弦定理，，即，即，

由，得，故，

所以的周长为12.

18．某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的补偿方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示.

(1)求的值；

(2)求所有受灾居民的经济损失的平均值；

(3)现按照分层抽样的方法从经济损失在的居民中随机抽取8人，再从这8人中任取2人了解情况，求至多有1人经济损失在的概率.

【答案】(1)

(2)3360

(3)

【分析】（1）根据频率直方图各小长方形面积之和为1即可列式求解；

（2）根据频率分布直方图估计平均值，只需用每一个小长方形横坐标的中间值乘以相应段的频率即可；

（3）把基本事件总个数列举出来，然后把满足条件的列出来，即可根据古典概型公式求解.

【详解】（1）依题意，，

解得.

（2）所有受灾居民经济损失的平均值为

.

（3）由分层抽样知识可知，经济损失在的有6人，记为，

经济损失在的有2人，记为.

随机抽取2人，所有的情况为，，，共28件，

其中满足条件的为，，共13件，

故所求概率.

19．已知四棱柱如图所示，其中底面为梯形，，，，.

(1)求证：；

(2)若点是线段上靠近点的三等分点，平面，求的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【分析】（1）欲证明两异面直线垂直，可以先证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面ABCD；

（2）由，运用等体积法即可求解.

【详解】（1）因为，故 ，

在中，由余弦定理，，

同理可得，，

故，

故，即 ，

又，平面，平面，

故平面，又平面，故，

而， ，故，

又 ，平面ABCD，平面ABCD，故平面，

而平面，故；

（2）如图，在线段上取点，使，则，

又由（1）得平面平面，

又平面，故，

作交AC于，而 ，平面PNO， 平面PNO，故平面，

又平面，故， ，在等腰直角三角形 中， ， ，

在直角三角形中， ，在中， ，

设点到平面的距离为，则由，得，

点到平面的距离，

故的最小值为1；

综上，DQ得最小值为1.

20．已知函数.

(1)讨论函数在上的单调性；

(2)求证：.

【答案】(1)当时，单调递增；当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到其单调区间；

（2）根据题意，求导得，令，由，可得在上单调递增，进一步证明不等式成立.

【详解】（1）依题意，，

当时，，函数在上单调递增；

当时，令，则，

当，即时，，函数在上单调递减；

当，即时，，函数在上单调递增；

当，即时，若，则；

若时，则，故函数在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，单调递增；

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）令，

则，令，则，

故当时，，故函数在上单调递增，

则，故函数在上单调递增，

故.

21．已知椭圆的右焦点为，点，在椭圆上运动，且的最小值为；当点不在轴上时点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知直线与椭圆在第一象限交于点，若的内角平分线的斜率不存在.探究：直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.

【答案】(1)

(2)直线的斜率为定值，理由见解析

【分析】（1）设，椭圆的左、右顶点坐标分别为，，即可得到，再根据及求出、，即可得解；

（2）首先求出点坐标，设直线的斜率为，则直线的斜率为，，，表示出的方程，联立求出，把换为得，即可求出、，从而求出直线的斜率，即可得解.

【详解】（1）设，椭圆的左、右顶点坐标分别为，，

故，

即，则，

又，即，解得，所以，

即椭圆的方程为.

（2）联立，解得或，又在第一象限，所以，

由题意知的内角平分线的斜率不存在，即该角平分线与轴垂直，

设直线的斜率为，则直线的斜率为，

设，，直线的方程为，即，

由消去得，

因为、为直线与椭圆的交点，所以，即，

把换为得，

所以，

所以，

所以直线的斜率，即直线的斜率为定值.

22．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线且.

(1)求曲线的极坐标方程以及曲线的参数方程；

(2)若曲线与曲线交于两点，与曲线分别交于两点，则当取到最大值时，求曲线上的点到曲线距离的最大值.

【答案】(1)，（为参数）

(2)

【分析】（1）对于曲线通过消去参数，得出曲线的普通方程，再利用，即可得出曲线的极坐标方程和曲线普通方程，再利用圆的参数方程即可得出曲线的参数方程；

（2）根据条件，设出曲线的参数方程，通过联立方程，求出两点的参数，再利用参数方程的几何意义即可求出结果.

【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），消去参数，得到，化简得，

又因为，所以，

故曲线的极坐标方程为，

而曲线，即，即，

故曲线的参数方程为（为参数）.

（2）设曲线的参数方程为为参数，且，

代入曲线的直角坐标方程，可得，故，

将曲线的参数方程代入曲线的普通方程，可得，故，

所以，

因为且，故当时，有最大值，

此时曲线，圆心到直线的距离为，故曲线上的点到曲线距离的最大值为.

23．已知函数，关于的不等式的解集为.

(1)求不等式的解集；

(2)若，使得能成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）依题意可得，求出，则，再利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解；

（2）依题意可得能成立，令，求出的最小值，即可得解.

【详解】（1）依题意得，解得，

所以，

故等价于，

若，则，解得，故；

若，则，解得，故无解；

若，则，解得，故.

故不等式的解集为或.

（2）因为能成立，故能成立，

令，

可知，故，

即实数的取值范围为.