2023届辽宁省实验中学协作体高三下学期4月模拟数学试题含答案

  2023届辽宁省实验中学协作体高三下学期4月模拟

数学

第I卷

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集，集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.若复数（为虚数单位），则的虚部为（    ）

A.3    B.    C.-3    D.

3.，则（    ）

A.    B.

C.    D.

4.随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然.更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用表示黄金分割点.若照片长､宽比例为，设，则（    ）

A.    B.    C.    D.

5.现有6个同学站成一排照相，如果甲､乙两人必须相邻，而丙､丁两人不能相邻，那么不同的站法共有（    ）种.

A.144    B.72    C.36    D.24

6.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，图中正六边形的个数记为，所有正六边形的周长之和､面积之和分别记为，其中图中每个正六边形的边长是图中每个正六边形边长的，则下列说法正确的是（    ）

A.    B.

C.存在正数，使得恒成立    D.

8.双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若随机变量，下列说法中正确的是（    ）

A.    B.期望

C.期望    D.方差

10.已知函数在上恰有三个零点，则（    ）

A.的最大值为

B.在上只有一个极小值点

C.在上恰有两个极大值点

D.在上单调递增

11.已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则（    ）

A.    B.

C.椭圆的离心率为    D.直线的斜率的绝对值为

12.如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，二面角大小为，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（    ）

A.存在某个位置，使得

B.面积的最大值为

C.当为锐角时，存在某个位置，使得

D.三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为

第II卷

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.一组数据的分位数是__________.

14.已知平面向量，若，则__________.

15.在平面直角坐标系中，笛卡尔曾阐述：过圆上一点的切线方程.若，直线与圆相交于两点，分别以点为切点作圆的切线，设直线，的交点为；若时，则直线的方程是__________；若圆O：，且与圆相切，则的最小值为__________.

16.关于的不等式在上恒成立，则的最小值是__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题10分）已知数列的前项的积

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，求.

18.（本小题12分）某高中为大力提高高中生的体能，预计在年初推出六项体育运动项目，要求全校每名学生必须参加一项体育运动，且只参加一项体育运动，在这一整年里学生不允许更换体育运动项目，并在年终进行达标测试.一年后分项整理得到下表：

未达标率是指：某一项体育运动未达到规定标准的学生数与该项运动的学生数的比值.

假设所有体育项目是否达标相互独立.

（1）从全校随机抽取1名同学，求该同学是“第四项体育运动项目中的达标者”的概率；

（2）从参加第四项和第五项体育运动项目的同学中各随机选取1人，求恰有1人获得体育达标的概率；

（3）假设每项体育运动项目学生未达标的概率与表格中该项体育运动项目未达标率相等，用“”表示第项体育运动项目达标，“”表示第项体育运动项目未达标.计算并直接写出方差的大小关系（不用写出计算过程）.

19.（本小题12分）将函数的图像向左平移个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图像.

（1）设，当时，求的值域；

（2）在①②③三个条件中任选两个，补充到以下问题中，并完成解答.

在中，分别是角所对的三条边，，__________，__________.求的面积.

20.（本小题12分）在如图的空间几何体中，是等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值.

21.（本小题12分）已知曲线在轴上方，它上面的每一点到点的距离减去到轴的距离的差都是2.若点分别在该曲线上，且点在轴右侧，点在轴左侧，的重心在轴上，直线交轴于点且满足，直线交轴于点.记的面积分别为

（1）求曲线方程；

（2）求的取值范围.

22.（本小题12分）已知函数.

（1）若在单调递增，求实数的取值范围；

（2）若，且，证明：.

2022-2023学年度下学期模拟考试高三年级数学科试卷

答案

一､单选题

1-8CCBDABDA

二､多选题

9.BCD    10.BD    11.ABD    12.BD

三､填空题

13.21    14.    15.     16.

四､解答题

17.解：（1），

当时，.

当，满足上式，

（3）

18.（1）由题意知，全校总人数是

第四项体育运动中达标的人数是

故所求概率为.

（2）设事件为“从第四项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”，则估计为0.75

设事件为“从第五项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”.则估计为0.8.故所求概率为

（3）

19.解：（1）

设

又因为在上单调递增，则，所以的值域为

（2）

选①②：；

.

选①③：.

选②③：因为所以则或（舍）

20.解：（1）法一：证明：取中点为，连接和，有，

平面，

又平面，

平面平面.

又平面平面

法二：取中点，连接

分别是的中点，，

又，所以，

为平行四边形

又平面平面，

平面

（2）法一：四边形为梯形，为中点，

，即四边形为平行四边形，.

要求与平面所成角，只需求与平面所成角，连接

由题意可知，面，

又平面平面平面，

点到面的距离就是点到的距离.

面

又

点到的距离为

在三棱锥中，，根据，

记点到面的距离为，由

所以与平面所成角的正弦值为

法二：过点作平面的垂线，以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示

设点，

设平面的一个法向量为，

又

，

故与平面所成角的正弦值为

21解（1）曲线上每一点到点的距离减去到轴的距离的差都是2，即曲线上每一

点到点的距离与到直线的距离相等，

所以曲线为抛物线，

（2）设点

为的重心

由相似三角形可知且

可得

令

因为，所以，故，

，

22.（1）函数的定义域为，

求导得：恒成立，

即在恒成立，令，则

当，则单调递增，，则单调递减，而

（2）因为，则，

当时，恒成立，则在上单调递增，不合题意

当时，的解集为的解集为，

即的单调增区间为，单调减区间为，

依题意：，解得，

设，则，要证，即证，即证，

即证，设，

则，即在上单调递减，有，

即，则成立，因此成立.

要证，即证，即证，即证，

即证，

而，即证，

令，则，

设，求导得，

即在上单调递增，则有，

即在上单调递减，而，

当时，，

则当时，成立，故有成立，

所以.