2023届华大新高考联盟高三下学期3月教学质量测评数学（理）试题含解析

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2023届华大新高考联盟高三下学期3月教学质量测评数学（理）试题

一、单选题
1．若集合，集合，满足的实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解不等式可求得集合，根据交集结果可确定集合，由此可构造不等式求得结果.
【详解】由得：，解得：，即；
由得：，
，，，解得：.
故选：D.
2．已知复数满足，其中表示的共轭复数，则复数的虚部是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，根据共轭复数定义、复数乘法运算和复数相等可构造方程组求得，根据虚部定义得到结果.
【详解】设，则，
，又，
，则，解得：，，的虚部为.
故选：A.
3．党的二十大于2022年10月16日在北京召开，二十大报告中提出：积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．某村计划安装总装机容量为200千瓦的光伏发电机，经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电800度，若该村有村民300户，从中随机抽取50户，得到其年用电量情况如直方图所示，根据直方图可得下列说法正确的是（    ）

A．全村年用电量的众数一定是500度
B．抽取50户用电量的中位数小于其平均数
C．根据50户用电量的平均值可以估计计划安装的光伏发电机组够全村用电
D．全村用电量为度的概率约为0.0015
【答案】C
【分析】由频率分布直方图求样本数据的众数，中位数，平均数，样本数据在区间内的频率，由此判断各选项.
【详解】因为抽取50户的年用电众数为500，所以全村年用电众数的估计值为500，
所以全村年用电众数不一定等于500，所以A错误．
由图可知从左至右各组用电频率分别为0.14，0.16，0.30，0.26，0.14，
则中位数为，
而平均数，
因为，
所以抽取50户用电量的中位数大于其平均数，所以B错误．
全村估计年用电量为度，
年发电量约为度度，所以C正确．
由频率分布直方图可得，抽取的50户中，用电量为度的户数的频率为，
所以全村用电量为度的户数的概率约为，D错误．
故选：C.
4．如图，在已知直四棱柱中，四边形为平行四边形，分别是的中点，以下说法错误的是（    ）

A．若，，则
B．
C．平面
D．若，则平面平面
【答案】B
【分析】利用正切值相等可说明，由此可得，结合平行关系可知A正确；由，可知B错误；通过证明四边形为平行四边形可得，由线面平行判定可知C正确；根据，，由线面垂直和面面垂直的判定可知D正确.
【详解】对于A，连接，

，，
，又，，即；
，，四边形为平行四边形，，
，A正确；
对于B，连接，

分别为中点，，又，，
，与不平行，B错误；
对于C，连接，

分别为中点，，；
，，四边形为平行四边形，，，
为中点，，，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面，C正确；
对于D，连接，

，四边形为平行四边形，四边形为菱形，；
平面，平面，，
又，平面，平面，
平面，平面平面，D正确.
故选：B.
5．将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，并沿轴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图象．若对于任意的，的最大值可能是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数伸缩和平移变换可得，根据正弦型函数单调性判断方法可确定在上单调递增，由此可得，结合的范围可确定的范围，由此可得结果.
【详解】由三角函数伸缩和平移变换得：，
当时，，又，
，，在上单调递增，
，
又，，则的最大值可能为.
故选：B.
6．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数列特征可知数列为等比数列，进而得到，利用累乘法可求得，代入即可.
【详解】记数列为，设，
则，，，，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
，.
故选：C.
7．已知定义域为的函数满足，，，若，则的极值情况是（    ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极小值，也无极大值
【答案】C
【分析】结合导数运算公式由条件求，由此可得，再根据极值与导数的关系，利用导数求函数的极值即可.
【详解】∵，∴．
取可得，，
由，令，得，
因为，可得，
∴，则，
∴．
令，则；
令，，
易知时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增，
所以当时，取最小值，
又，当时， ，时，，
∴存在，，使得．
不妨设，则当时，，当时，，当时，．
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
∴既有极大值，又有极小值．
故选：C.
8．过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第三象限交于点P，过点P的切线与y轴交于点M，则下列说法正确的是（    ）
A．直线MP的斜率为 B．△为等边三角形
C．点P的横坐标为定值 D．点M与点F关于x轴对称
【答案】B
【分析】联立抛物线和直线l求P的坐标，利用导数几何意义求切线方程，进而逐项判断正误即可.
【详解】如图，抛物线的焦点，过焦点倾斜角的直线l为，

联立，化简得且，可得.
∵，则，故，
∴，故A、C错误．
∴切线方程为，则，
点不与焦点F关于x轴对称，故D错误．
而，直线l倾斜角为，故，△为等边三角形，故B正确．
故选：B
9．在三棱锥中，是以AC为底边的等腰直角三角形，是等边三角形，，又BD与平面ADC所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线面角算出点B到平面ADC的距离，从而找到球心的位置，利用几何关系算出球的半径即可.
【详解】取AC的中点E，连接BE，DE，则，，可得平面DEB．
又平面ADC，故平面平面DEB，且平面平面．
在平面DEB中，过点B作于点H，则平面ADC，
∴是直线BD与平面ADC所成角的平面角．
设，则，易求，，则．
由勾股定理可得，即，解得，于是，

点H恰好是正的中心（外心），故球心O必在BH上，
的外心为E，连接OE,则平面ABC，,设三棱锥外接球的半径，
在中，由射影定理可得，即，解得，
∴三棱锥外接球的表面积．
故选：B.
10．已知函数，关于的方程有个不等实数根，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】采用数形结合的方式可将问题转化为在上有两个不同的实数根，根据一元二次方程根的分布可构造不等式组求得结果.
【详解】作出函数的图象如图所示，

函数的图象与函数的图象最多三个交点，且有个实数根时，，
有个不等实数根等价于一元二次方程在上有两个不同的实数根，
，解得：或，
即实数的取值范围为.
故选：D.
11．在正三棱柱中，若点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动次后还在底面的概率为，有如下说法：①；②；③为等比数列；④，其中说法正确的个数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据古典概型概率公式可确定①错误；记为第次移动后在底面上的概率，可确定与满足的递推关系式，得到②正确；根据递推关系式和等比数列定义可证得③正确；结合等比数列通项公式推导可得④正确.
【详解】
对于①，第一次移动后，可移动到点，其中位于底面上的点有，
当时，，①错误；
对于②，当时，记为第次移动后在底面上的概率，则表示第次移动后在平面上的概率，
在底面上移动的概率为，由平面移动到底面的概率为，
，，②正确；
对于③，由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，③正确；
对于④，由③知：，，④正确.
故选：C.
12．已知是双曲线上关于原点对称的两点，过点作轴于点，交双曲线于点．设直线的斜率为．则下列说法错误的是（    ）
A．的取值范围是且
B．直线的斜率为
C．直线的斜率为
D．直线与直线的斜率之和的最小值为
【答案】D
【分析】根据直线与双曲线两支各有一个交点可确定的范围，知A正确；利用两点连线斜率公式可知B正确；根据可推导知C正确；根据基本不等式取等条件不成立可知D错误.
【详解】
对于A，是双曲线上关于原点对称的两点，直线与双曲线两支各有一个交点，
直线的斜率在两条渐近线斜率之间，即，
由题意知：不重合，，的取值范围为且，A正确；
对于B，设，则，，
，，B正确；
对于C，设，则，又，
，
由B知：，，C正确；
对于D，，
，即不成立，，D错误.
故选：D.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用问题，解题的基本思路是灵活应用斜率公式及双曲线第三定义来构造两直线斜率之间的等量关系，从而利用变量表示出直线的斜率.

二、填空题
13．若满足约束条件，则的最大值为______．
【答案】
【分析】由约束条件作出可行域，将问题转化为直线在轴截距最大问题的求解，采用数形结合的方式可求得结果.
【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，

当取得最大值时，直线在轴截距最大，
平移直线可知：当过点时，在轴截距最大，
由得：，即，.
故答案为：.
14．已知实数，满足，，则__________．
【答案】1
【分析】由可变形为，故考虑构造函数，判断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求.
【详解】因为，化简得．
所以，又，
构造函数，
因为函数，在上都为增函数，
所以函数在上为单调递增函数，
由，∴，
解得，，
∴．
故答案为：.
15．在中，内角的对边分别为．若，，，是边上的高线，点为垂足．点为线段上一点，点关于直线的对称点为点．从四边形中任取一点，该点来自的概率记为，则的最小值为______．
【答案】##
【分析】利用余弦定理和勾股定理可知，作，可知当最大时，最小；设，结合三角形相似和三角恒等变换可表示出，由此可得，进而求得最小值.
【详解】由余弦定理知：，即，解得：，
，为直角三角形，，
设，作于点，

，，，
要使得最小，则面积最大，即点到的距离最大．
设，则，
，，，，
，
∽，，
，
则当，即时，取得最大值，
，此时，.
故答案为：.
16．已知是圆上的两点，，记，，向量，若实数满足，则的最大值为______．
【答案】
【分析】利用余弦定理可求得，设，根据向量线性运算和数量积运算的定义可求得，结合余弦定理可得，由此可得结果.
【详解】
，，
由圆的方程知：圆的半径，．
设，则，为线段的中垂线，，
，即，
；
，，解得：，
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的最值问题的求解，解题关键是能够根据几何关系，利用向量线性运算和数量积运算的定义，结合图形关系和已知不等关系将问题转化为求解线段长度最值的问题.

三、解答题
17．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角C；
(2)若点D在AB边上，且满足，当的面积最大时，求CD的长．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式可得，即可求出角C；
（2）由余弦定理结合均值不等式可得，可求出当的面积最大值时，再由余弦定理即可求出CD的长.
【详解】（1）依题意，，
由正弦定理可得，
∴，
所以，
则，因为，
化简得．
∵，∴．
（2）由余弦定理得，
∴，∴，当且仅当时，等号成立．
此时．
若的面积取到最大，则，为等边三角形，
∴，由余弦定理得，
∴．
18．某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．

若年份x（2015年记为，2016年记为，以此类推）与发展总指数y存在线性关系．
(1)求年份x与发展总指数y的回归方程；
(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X表示赋分之和，求X的分布列和数学期望．
参考公式：回归方程，其中，，，．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，

【分析】（1）利用已知数据求，，利用公式和参考数据求，，由此可得回归方程；
（2）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由均值公式求均值.
【详解】（1）由已知，
所以
又
所以，
因为，
所以，
∴．
（2）由题可知，和谐发展年有5个，其中计分为1分的年份有3个，计分为2分的年份有2个．
∴，，．
所以X的分布列为
X
3
4
5
P




数学期望为．
19．已知平行六面体中，，，，侧面是菱形，．

(1)求与底面所成角的正切值；
(2)点分别在和上，，过点的平面与交于G点，确定G点位置，使得平面平面．
【答案】(1)
(2)点G在线段靠近的三等分点处

【分析】（1）证明平面ABCD，从而找到与底面所成角，解三角形，即可求得答案；
（2）证明当分别为线段和的中点时，平面平面，说明与平面BEF的交点G在线段BN上，结合三角形相似即可确定G点位置.
【详解】（1）取的中点M，连接，，．

∵侧面为菱形，，
∴为等边三角形，，,
∵，，，由余弦定理知，
∴，∴．
在中，，，有，∴．
又∵平面，∴平面．
又∵平面，∴．
∵，平面ABCD，∴平面ABCD，
∴为直线与底面所成的角，
由，则，
∴．
（2）当分别为线段和的中点时，平面平面．
证明如下：
连接，，EF，．侧面是菱形，则．
又∵，平面，
∴平面，平面，故，
平面BEF，
∴平面BEF，平面，∴平面平面BEF．
连接交于点N，连接BN，，BD．∴平面平面，
∴与平面BEF的交点G在线段BN上．
∵，∽，∴，
即点G在线段靠近的三等分点处．
20．已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，．
(1)求椭圆的方程．
(2)已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线AD与直线BE的交点在定直线上

【分析】（1）由题意表示出，，可得，再由椭圆的定义求出，即可求出椭圆的方程；
（2）设，，的直线方程为，与椭圆联立，由韦达定理得，，化积为和得，表示出直线AD和直线BE的方程的方程，计算可得，即可证明直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上
【详解】（1）设椭圆的右焦点为，左焦点为，，
，解得，
∴，
∴，，，
∴椭圆的方程为．
（2）由题设，直线DE斜率一定存在，设的直线方程为．
联立椭圆方程，消去得．

设，，则，．
∴，
又，，
∴直线AD的方程为，直线BE的方程为．
联立得，
∴．
又∵，∴．
∴直线AD与直线BE的交点在定直线上．
21．已知函数．
(1)当时，研究函数的单调性；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)在定义域内单调递增
(2)

【分析】（1）求函数的导函数可得，根据导数结构考虑构造函数，利用导数证明，取对数证明，由此证明，由此可得函数的单调性；
（2）设，，由已知可得恒成立，构造函数，讨论，利用导数求其最小值，可得a的取值范围．
【详解】（1）因为，所以，
所以函数的定义域为，且，
构造函数，则，
令，得，
∴当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
∴，∴，
∴当时，，
所以当时，，当且仅当时等号成立，
所以当时，，当且仅当时等号成立，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，当且仅当时等号成立，
∴在上单调递增．
（2）∵，，等价于
，
令，，构造函数，
∴，，．
令，，，
注意到．
当时，，
∴，当时，，即当时，，
所以在上单调递减，所以，不符合题意．
当时，令，，
，
∴单调递增，则，
当时，则，
，单调递增，．
∴，单调递增，，符合题意．
综上所述．
【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
22．已知曲线的参数方程为（为正数，为参数），直线的极坐标方程为，若直线与曲线交于两点，．
(1)求的值；
(2)若点的坐标为，是曲线上的一点，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用垂径定理可构造方程求得的值；
（2）根据圆的几何性质可求得点到直线的距离的最大值，利用三角形面积公式可求得结果.
【详解】（1）由曲线的参数方程得：，则曲线是以为圆心，为半径的圆；
由得：，
直线的直角坐标方程为；
圆心到直线的距离，，解得：，
，又，.
（2）设点到直线的距离为，则，
又直线方程为：，曲线的圆心为，半径为，
，面积的最大值为.
23．已知函数.
(1)求的单调递增区间及的最小值；
(2)若均为非负数，且，求的最小值及取得最小值时的取值．
【答案】(1)单调递增区间为，
(2)，此时，，

【分析】（1）分别在、和的情况下，去掉绝对值符号可得函数解析式，进而确定单调性；根据单调性可确定最小值；
（2）根据，利用柯西不等式可求得结果.
【详解】（1）当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
的单调递增区间为；由单调性可知：.
（2）由（1）知：，，
由柯西不等式得：（当且仅当，，时等号成立），
，此时，，.