2023届高考数学二轮复习第6讲幂指对函数作业含答案

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  第6讲幂指对函数 典型例题【例1】已知函数且在区间上单调递增,则的取值范围为(   )A.                B. C.                D. 【答案】C【解析】当时,由复合函数的单调性知函数在上单调递减且恒成立,所以解得;当时,由复合函数的单调性知函数在上单调递增且恒成立,所以解得.综上,的取值范围为或.故选C.【例2】(多选题)已知函数,则下列结论中正确的为（）A.的图象关于原点对称 B.的图象关于轴对称 C.的值域为 D.对于,恒成立 【答案】ACD【解析】对于,则,则为奇函数,其图象关于原点对称,故正确.对于,故的图象不关于轴对称,故B错误.对于,令,则有,易知,即的值域为,故正确.对于,在上为增函数,为上的减函数,由复合函数的单调性可得在上单调递减,故对,且恒成立,故D正确.故选ACD.【例3】(多选题)定义运算设函数,则下列命题中正确的为(    )A.的值域为 B.的值域为 C.使不等式成立的的取值范围是 D.使不等式成立的的取值范围是【答案】AC【解析】由函数,有即作出函数的图象,如图.根据函数图象知的值域为正确.若不等式成立,则,即成立,或即成立.所以正确.故选AC.  【例4】若函数 的图象如图所示, 则下列说法 中正确的是（ ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】由渐近线是,得0的两根为1,5.由题意知,,则的图象开口向上,得,又当时,,可知.故选D.【例5】已知 , 且 , 则下列结论中一定正确的是（ ）A. B.  C.  D. 【答案】B【解析】,且,得.设,则恒成立,在上单调递增.因为,所以,即,故正确.令,则.不成立,故A错误.不成立,故C错误.不成立,故D错误.故选B.【例6】渔民出海打鱼, 为了保证运回的鱼的新鲜度 (以鱼肉内的三甲胺的多少来确 定鱼的新鲜度, 三甲胺是由细菌分解产生的, 三甲胺积聚就表明鱼的新鲜度下降, 鱼开始变质, 进而腐败), 鱼被打上船后, 要在最短的时间内将其分拣, 冷藏. 已知某种鱼失去的新 鲜度 与其出海后的时间 (单位: ) 满足的函数关系式为 , 出海后 这 种鱼失去的新鲜度为 , 出海后 这种鱼失去的新鲜度为 , 若不及时处理, 打 上船的这种鱼大约经过多长时间刚好失去 的新鲜度? (参考数据: )（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】【解析】由题意可得解得.故.令,即,两边同时取对数,得.故选B.   【例7】设函数 若关于 的方程 恰有 6 个不同的实数根, 则实数 的取值范围为（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】的图象如图所示.关于的方程恰有6个不同的实数根,令,可得,则该方程的两个根在上,此时有三个根,如图.可得解得,故选B.【例8】已知函数 , 若 在 上为减函数, 则 的取值范围为（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】函数的内层函数为,外层函数为,由于函数在上为减函数,且外层函数为增函数,则内层函数在上为减函数,从而,得.,解得.综上,实数的取值范围是.故选B.【例9】 (多选题) 设函数 若实数 满足 , 且 , 则下列结论中恒成立的是（ ）A.  B.  C. D. 【答案】ABC【解析】由题意,实数满足,且,结合图象,可得,即,且,可得和都恒成立,即正确.所以C正确.时,的符号不能确定,所以D不正确.故选ABC.【例10】 已知函数 是定义在 上的奇函数.(1) 求 的值;(2) 若对任意的 , 都有 恒成立, 求 的取值范围.【答案】(1).【解析】(1)由题意知,是定义在上的奇函数,则,得.由得,即对任意的恒成立,从而.故.(2)由(1)知因此,在上是增函数.对任意的恒成立,可转化为恒成立,根据在上是奇函数可知恒成立,所以恒成立,即恒成立.由,解得.因此,实数的取值范围是.【例11】 (多选题)下列不等式中成立的是（ ） A.  B.  C.  D. 【答案】BC【解析】函数在上单调递增,,故A错误.函数在上单调递减,,函数在上单调递增,,所以,故B正确.函数和均单调递减,,故C正确.,故D错误.故选BC.【例12】 (多选题) 设 都是正数, 且 , 则下列结论中正确的为（ ） A.  B.  C.  D. 【答案】【解析】都是正数,故设,则,.因为,所以,即,D正确.去分母整理得,故A正确.故选AD.【例13】已知 , 设 , 则（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】1由题意可知,,所以.由,得,又,则,可得;由,得,又,则,可得,所以.综上所述,.故选A.【解析】易知,由,知.因为,所以,即.又,所以,即.综上所述,.故选A.【例14】 有三个实数根, 则实数 的取值范围是.【答案】【解析】由题意,有三个非零实数根,即有三个非零实数根.令,则,得在上单调递减,在,上单调递增,则的一个根在上,另一个根在上,或者一个根等于,另一个根在上(舍去).令，由得.【例15】 若存在实常数 和 , 使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数 , 都满足 和 , 则称直线 为 和 的 “分隔直 线”. 已知函数 , 若 和 之间存在 “分隔直 线”, 则实数 的取值范围为.【答案】【解析】由图可知,.由对任意的恒成立,得,即;同时,对任意的恒成立,.(1)若,则当时,,不合题意.(2)若,则对任意的恒成立,即,可得;又,则,从而.(3)若,则,所以,即,解得.综上所述,实数的取值范围是.故【答案】为.