2023届高考数学二轮复习第3讲函数的单调性作业含答案

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  第3讲函数的单调性典型例题 【例1】求函数的值域.【答案】.【解析】,是奇函数.设,则,即. ,当且仅当,即时,上式取等号.因为,所以的值大于或等于0,其值域为.由奇函数的性质可得原函数的值域为.【例2】求函数的值域.【答案】.【解析】令,则,当且仅当时等号成立,所以函数的值域为.【例3】已知函数在上为增函数，则实数的取值范围为。【答案】【解析】函数在上为增函数,则有解得.故答案为.【例4】已知函数.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数在上的最小值为7，求实数的值.【答案】(1)或【解析】(1)(i)当且时,,此时在上单调递增,可取.(ii)当时,,且当时,.二次函数的图象开口向上,对称轴为直线,如图在上单调递增,可取.(iii)当时,如图2,若在上单调递增,则或,得或.综上所述,实数的取值范围是.图1                                      图2(2)(i)当时,在上单调递增,,即,解得(舍去)或.(ii)同(2)(i),当时,在上单调递增,可解得(均舍去)；当时,可解得(均舍去);当时,可解得;当时,可解得(均舍去).综上,或.【例5】已知函数，求函数的值域.【答案】.【解析】解法1：.令,则,构造函数,则是上的增函数,从而,因此.解法.令为第四象限角,则,可看作图中单位圆上一点与点连线斜率的一半的变化范围,如图,将2和代人可得所求函数的值域为. 【例6】设函数，若存在实数，使在上的值域为，则正实数的取值范围是_______.【答案】【解析】因为,所以.由函数的性质知在上是增函数,所以即所以即方程在上有两个不等的实数根.设,则.当时,单调递增;当时,单调递减.又,由于,所以,从而,故.【例7】（多选题）已知函数若，且，设，则（）A.没有最小值 B.的最小值为C.没有最大值  D.的最大值为【答案】【解析】如图,作出函数的图象.因为且,则,所以,即.由解得,又,故当时,,当时,.故选BD.【例8】对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”.设是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若是定义在上的“倒戈函数”,则存在满足,即,得.构造函数,令,则在上单调递增,在上单调递减,当时取得最大值0,当或时取得最小值.又,所以实数的取值范围是.故选A.【例10】已知，则的最大值_______.【答案】.【解析】解法,的几何意义为单位圆上的点与定点连线的斜率,如图.设过点的切线为,则,解得.结合图象,得或,则,所以的最大值为.解法2：令,则,同上,转化为圆上的点与点连线的斜率,易得,则的最大值为.解法3：圆上的点到直线的距离为,又点在直线的下方,则同理,圆上的点到直线的距离为,则如图,设,则.结合图形可知,当直线与圆相切时,取最小值,,则,从而,所以的最大值为.解法4：设,整理得,由题意,圆与直线有交点,则圆心到直线的距离小于等于半径,即,解得,所以的最大值为.: 【例11】已知实数，函数在区间上的最大值是2，则_______.【答案】或3【解析】解法1;因为函数在区间上的最大值是2,取,可得,又,得,解得,即有,故的最大值在顶点或端点处取得.由,即,解得或(舍去)；由,即,解得或;由,即,解得或(舍去).当时,,因为,故不符合题意,舍去;当时,,因为,故不符合题意,舍去;当时,,显然当时,取得最大值2,符合题意;当时,,,符合题意.所以或.解法在上的最大值为2,等价于在上恒成立,且等号可取到,即在上恒成立,且至少一处等号可取到,即在上恒成立,且至少一处等号可取到.在同一个坐标系里画出函数的图象,如图.绝对值函数的图象过图象上的点,或者与的图象相切,得或.对于后者,由得,所以或. 【例12】对于定义域为的函数，如果存在区间, 同时满足：①在上是单调函数，②上的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.已知函数有“优美区间”，当变化时，求的最大值_______. 【答案】.【解析】设是已知函数定义域的子集.由于,则或.而函数在上单调递增,若是已知函数的“优美区间”,则所以是方程即的两个同号且不等的实数根.因为,所以同号,只要,解得或.,当时,取得最大值.【例13】已知在中，内角所对的边长分别为，若边上的高为，则当取得最大值时，_______.【答案】【解析】设边上的高为,即,由面积公式得,即.,由余弦定理得,则,其中.当时,上式取到最大值,此时,故. 【例14】在平面直角坐标系中，设定点是函数图象上的一个动点，若之间的最短距离为，则满足条件的实数的值为______.【答案】或【解析】1设,则.令,则.记,其图象的对称轴为,最小值为,所以或解得或.【解析】2由题意可知,若,则满足题意.若,则圆与曲线相切,联立方程组,消去得,即.由,得,此时方程的解为,满足题意.综上,或.【例15】已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】设,则.当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减.所以当时,函数取得极大值,.方程可化为,解得或.画出函数的大致图象,如图.要使得关于的方程有5个不同的实数根,应满足,解得,即实数的取值范围是.故选A.