2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）元调数学模拟试卷

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）元调数学模拟试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．9，3B．9，﹣3C．﹣9，﹣3D．﹣9，3
2．（3分）下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式y＝x2﹣4x+2，则a、b的值是（ ）
A．﹣2，﹣2B．﹣2，2C．2，﹣2D．2，2
4．（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．3个球都是黑球B．3个球都是白球
C．3个球中有黑球D．3个球中有白球
5．（3分）由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为（ ）
A．4πB．9πC．5πD．13π
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，若点C′在AB上，则AA′的长为（ ）
A．B．4C．2D．5
7．（3分）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（ ）
A．16mB．20mC．24mD．28m
8．（3分）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母C，D；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I．从三个口袋中各随机取出1个小球．（本题中，A，I是元音字母；B，C，D，H是辅音字母），3个小球上恰好有1个元音字母的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则a2+b2的值为（ ）
A．36B．50C．28D．25
10．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，D为BC边上一点，CD＝1，AC＞BC，E为边AC上一动点，当∠BED最大时CE的长为（ ）
A．2B．3C．D．2﹣1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2＝p的一个根，则另一根是 ．
12．（3分）某校九年级组织了篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排了45场比赛，设共有x个队参赛，依题意列方程，化成一般式为 ．
13．（3分）一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是 ．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝138°，则它的一个外角∠DCE等于 ．
15．（3分）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝6时，则阴影部分的面积为 ．
16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴的交点在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：①a+b+c＜0；②若点M（0.5，y1）、N（2.5，y2）在图象上，则y1＜y2；③若m为任意实数，则a（m2﹣4）+b（m﹣2）≥0；④﹣24＜5（a+b+c）＜﹣16．其中正确结论的序号为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程：x2﹣4x+1＝0．
18．（8分）如图，在⊙O中，＝＝2π，∠BAC＝60°，求OA的长度．
19．（10分）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为0.25．
（1）直接写出袋中黄球的个数；
（2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率．
20．（9分）请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的圆心；
（2）如图2，BC为⊙O的弦，画一条与BC长度相等的弦；
（3）如图3，△ABC为⊙O的内接三角形，D是AB中点，E是AC中点，请画出∠BAC的角平分线．
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．
（1）求证：EN是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1．求线段EN与线段AE的长．
22．（9分）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天200元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）．
（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式；
（2）当房价为多少时，宾馆每天的利润为10560元；
（3）求出宾馆每天获得的最大利润．
23．（9分）如图1，已知Rt△ABC≌Rt△DCE，∠B＝∠D＝90°，BC＝2AB．
（1）若AB＝2，求点B到AC的距离；
（2）当Rt△DCE绕点C顺时针旋转，连AE，取AE中点H，连BH，DH，如图2，求证：BH⊥DH；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，P是DE中点，连接PH，当Rt△DCE绕点C顺时针旋转的过程中，直接写出PH的取值范围．
24．（10分）如图1，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴的负半轴交于点C．
（1）求这个函数的解析式；
（2）点P是抛物线上位于第四象限内的一点，当△PBC的面积最大时，点P的坐标，并求出最大面积；
（3）如图2，点T是抛物线上一点，且点T与点C关于抛物线的对称轴对称，过点T的直线TS与抛物线有唯一的公共点，直线MN∥TS交抛物线于M，N两点，连AM交y轴正半轴于G，连AN交y轴负半轴于H，求OH﹣OG．
2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）元调数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．9，3B．9，﹣3C．﹣9，﹣3D．﹣9，3
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即可．
【解答】解：x（x﹣9）＝﹣3，
x2﹣9x+3＝0，
所以一次项系数、常数项分别为﹣9、3，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，把方程换成一般形式是解此题的关键，注意：说各个项的系数带着前面的符号．
2．（3分）下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式y＝x2﹣4x+2，则a、b的值是（ ）
A．﹣2，﹣2B．﹣2，2C．2，﹣2D．2，2
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式：y＝（x﹣a）2+b，即y＝x2﹣2ax+a2+b．
∴y＝x2﹣4x+2＝x2﹣2ax+a2+b，
∴2a＝4，a2+b＝2．
∴a＝2，b＝﹣2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
4．（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．3个球都是黑球B．3个球都是白球
C．3个球中有黑球D．3个球中有白球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【解答】解：A、3个球都是黑球是随机事件；
B、3个球都是白球是不可能事件；
C、3个球中有黑球是必然事件；
D、3个球中有白球是随机事件；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（3分）由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为（ ）
A．4πB．9πC．5πD．13π
【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．
【解答】解：由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为以3为半径的圆与以2为半径的圆组成的圆环的面积，
即π×32﹣π×22＝5π，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键．
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，若点C′在AB上，则AA′的长为（ ）
A．B．4C．2D．5
【分析】连接AA'，由旋转的性质得出AC'、A'C'的长度，利用勾股定理即可得出答案．
【解答】解：如图，连接AA'，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，
∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝4，AB＝A'B，
根据勾股定理得：
AB＝＝5，
∴A'B＝AB＝5，
∴AC'＝AB﹣BC'＝2，
在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：
AA'＝＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7．（3分）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（ ）
A．16mB．20mC．24mD．28m
【分析】设圆弧形拱桥的圆心为O，跨度为AB，拱高为CD，连接OA、OD，设拱桥的半径为R米，由垂径定理得AD＝AB＝12（米），再由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设圆弧形拱桥的圆心为O，跨度为AB，拱高为CD，连接OA、OD，如图：
设拱桥的半径为R米，
由题意得：OD⊥AB，CD＝4米，AB＝24米，
则AD＝BD＝AB＝12（米），OD＝（R﹣4）米，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：R2＝122+（R﹣4）2，
解得：R＝20，
即桥拱的半径R为20m，
故选：B．
【点评】该题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
8．（3分）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母C，D；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I．从三个口袋中各随机取出1个小球．（本题中，A，I是元音字母；B，C，D，H是辅音字母），3个小球上恰好有1个元音字母的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有8种等可能的结果，其中3个小球上恰好有1个元音字母的有4种，
则3个小球上恰好有1个元音字母的概率是＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（3分）已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则a2+b2的值为（ ）
A．36B．50C．28D．25
【分析】根据题意，a、b可看作方程x2﹣6x+4＝0的两根，则根据根与系数的关系得到a+b＝6，ab＝4，然后把原式变形得到原式＝再利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，
∴a，b可看作方程x2﹣6x+4＝0的两根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴原式＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×4＝28，
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
10．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，D为BC边上一点，CD＝1，AC＞BC，E为边AC上一动点，当∠BED最大时CE的长为（ ）
A．2B．3C．D．2﹣1
【分析】过点D作DF⊥BE于点F，根据二次函数的性质，解直角三角形即可解决问题．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥BE于点F，
∴∠DFE＝90°，BD＝BC﹣CD＝5﹣1＝4，
设CE＝x，
∴DE＝＝，
BE＝＝＝，
∵S△BDE＝BD•CE＝BE•DF，
∴BD•CE＝BE•DF，
∴DF＝＝，
在Rt△EDF中，
∵x＞0，
∴sin∠DEF＝＝＝，
∵x＞0，
∴sin∠DEF＝＝，
∵（x﹣）2≥0，
∴当（x﹣）2＝0时，（x﹣）2+36有最小值，从而sin∠DEF有最大值，即∠DEF有最大值，
解得，x＝±，其中x＝﹣不符合题意舍去，
∴x＝．
∴当∠BED最大时CE的长为．
故选：C．
【点评】本题属于综合题，是选择题的压轴题，考查了二次函数的应用，解直角三角形的应用，一元二次方程，勾股定理，解决本题的关键是掌握二次函数最值的问题．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2＝p的一个根，则另一根是 x＝﹣2 ．
【分析】设一元二次方程x2＝p的另一根是m，利用两根之和等于﹣，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设一元二次方程x2＝p的另一根是m，
依题意得：2+m＝0，
解得：m＝﹣2．
∴方程的另一根是x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
12．（3分）某校九年级组织了篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排了45场比赛，设共有x个队参赛，依题意列方程，化成一般式为 x2﹣x﹣90＝0 ．
【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排45场比赛即可列出方程．
【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x﹣1＝45，
即＝45，
化为一般形式为：x2﹣x﹣90＝0，
故答案为：x2﹣x﹣90＝0．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
13．（3分）一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是 ．
【分析】根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的概率即可．
【解答】解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯．
经过搭配所能产生的结果如下：
Aa、Ab、Ba、Bb．
所以颜色搭配正确的概率是．
故答案为：．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝138°，则它的一个外角∠DCE等于 69° ．
【分析】由∠BOD＝138°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠A的度数，又由圆的内接四边四边形的性质，求得∠BCD的度数，继而求得∠DCE的度数
【解答】解：∵∠BOD＝138°，
∴∠A＝∠BOD＝69°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝111°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝69°．
故答案为：69°．
【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用．
15．（3分）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝6时，则阴影部分的面积为 12 ．
【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，
由勾股定理得：AB＝＝＝2，
所以阴影部分的面积S＝×π×22+×32+﹣×π×（）2＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．
16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴的交点在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：①a+b+c＜0；②若点M（0.5，y1）、N（2.5，y2）在图象上，则y1＜y2；③若m为任意实数，则a（m2﹣4）+b（m﹣2）≥0；④﹣24＜5（a+b+c）＜﹣16．其中正确结论的序号为 ①③④ ．
【分析】根据题意画出函数的图象，然后根据二次函数的图象结合函数的性质依次对4个结论进行判断即可求出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），（5，0），
∵二次函数与y轴的交点B（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不包括这两点），
大致图象如图：
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故结论①正确；
∵二次函数的对称轴为直线x＝2，且a＞0，2﹣0.5＝1.5，2.5﹣2＝0.5，
∴y1＞y2，故结论②不正确；
∵x＝2时，函数有最小值，
∴am2+bm+c≥4a+2b+c（m为任意实数），
∴a（m2﹣4）+b（m﹣2）≥0，故结论③正确；
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为﹣1和5，
∴﹣1×5＝，
∴c＝﹣5a，
∵﹣3＜c＜﹣2，
∴＜a＜，
∴当x＝1时，y＝a+b+c＝﹣8a，﹣＜﹣8＜﹣，
∴﹣24＜5（a+b+c）＜﹣16，故结论④正确；
故答案为①③④．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程：x2﹣4x+1＝0．
【分析】移项后配方得到x2﹣4x+4＝﹣1+4，推出（x﹣2）2＝3，开方得出方程x﹣2＝±，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝﹣1+4，
即（x﹣2）2＝3，
开方得：x﹣2＝±，
∴原方程的解是：x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程、解一元一次方程的应用，关键是配方得出（x﹣2）2＝3，题目比较好，难度适中．
18．（8分）如图，在⊙O中，＝＝2π，∠BAC＝60°，求OA的长度．
【分析】首先根据圆周角定理求出∠BOC＝120°，再利用圆心角、弧、弦的关系定理以及周角定义得到∠AOB＝∠AOC＝120°，然后根据弧长公式即可求出OA的长度．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵＝＝2π，
∴∠AOB＝∠AOC＝＝120°，
∴＝2π，
∴OA＝3．
故OA的长度为3．
【点评】本题考查了弧长公式，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理以及周角定义，求出∠AOB＝∠AOC＝120°是解题的关键．
19．（10分）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为0.25．
（1）直接写出袋中黄球的个数；
（2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率．
【分析】（1）首先设袋中的黄球个数为x个，然后根据古典概型的知识列方程，求解即可求得答案；
（2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可．
【解答】解：（1）设袋中的黄球个数为x个，
∴＝0.25，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，
∴袋中黄球的个数1个；
（2）画树状图得：
一共有12种等可能的情况数，其中“取出至少一个红球”的有10种，
则“取出至少一个红球”概率是＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意方程思想的应用．
20．（9分）请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的圆心；
（2）如图2，BC为⊙O的弦，画一条与BC长度相等的弦；
（3）如图3，△ABC为⊙O的内接三角形，D是AB中点，E是AC中点，请画出∠BAC的角平分线．
【分析】（1）根据圆周角是直角，这个圆周角所对的弦是直径，画出两条直径即可得出答案．
（2）连接OB，OC，延长BO交⊙O于D，延长CO交⊙O于A，连接AD，线段AD即为所求作．
（3）连接CD，BE交于点T，作直线AT交BC于R，连接OR，延长OR交⊙O于F，作射线AF，射线AF即为所求作．
【解答】解：（1）如图1中，点O即为所求作．
（2）如图，线段AD即为所求作．
（3）如图，射线AF即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，圆周角定理，三角形的外心，角平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．
（1）求证：EN是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1．求线段EN与线段AE的长．
【分析】（1）连接OE，根据NM是BE的垂直平分线，可得BN＝EN，进而得∠B＝∠NEB，再根据半径相等得角相等，证明∠OEN＝90°即可证明EN是⊙O的切线；
（2）连接ON，利用勾股定理即可求EN的长，再连接ED，DB，根据直径所对圆周角是直角，勾股定理即可求得AE的长．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，
∵NM是BE的垂直平分线，
BN＝EN，
∴∠B＝∠NEB，
∵OA＝OE
∴∠A＝∠OEA，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠OEN＝90°，即OE⊥EN，
∵OE是半径，
∴EN是⊙O的切线；
（2）如图，连接ON，
设EN长为x，则BN＝EN＝x
∵AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，
∴CN＝4﹣x，OC＝AC﹣OA＝3﹣1＝2，
∴OE2+EN2＝OC2+CN2，
∴12+x2＝22+（4﹣x）2，
解得x＝，
∴EN＝．
连接ED，DB，设AE＝y，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵⊙O的半径为1．
∴AD＝2，
则DE2＝AD2﹣AE2＝22﹣y2，
∵CD＝AC﹣AD＝3﹣2＝1，
∴DB2＝CD2+BC2＝17，
∵AD为直径，
∴∠AED＝∠DEB＝90°，
∴DE2+EB2＝DB2，
即22﹣y2+（5﹣y）2＝17，
解得y＝，
∴EN＝，AE＝．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
22．（9分）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天200元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）．
（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式；
（2）当房价为多少时，宾馆每天的利润为10560元；
（3）求出宾馆每天获得的最大利润．
【分析】（1）根据当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，可以写出y与x的函数关系式；
（2）根据题意，可以得到（200+x﹣20）（50﹣）＝10560，然后求解即可；
（3）根据题意，可以写出利润与x的函数关系式，然后将函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和x的取值范围，即可得到利润的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝50﹣，
即y与x的函数关系式为y＝50﹣；
（2）由题意可得，
（200+x﹣20）（50﹣）＝10560，
解得x1＝60，x2＝260，
∵每个房间每天的房价不得高于340元，
∴200+x≤340，
∴x≤140，
∴0≤x≤140（x为10的整数倍），
∴x＝60，
∴200+x＝260，
答：当房价为260元时，宾馆每天的利润为10560元；
（3）设利润为w元，
由题意可得：w＝（200+x﹣20）（50﹣）＝﹣0.1（x﹣160）2+11560，
∴当x＜160时，w随x的增大而增大，
∵每个房间每天的房价不得高于340元，
∴200+x≤340，
∴x≤140，
∴0≤x≤140（x为10的整数倍）
∴当x＝140时，w取得最大值，此时w＝11520，
答：宾馆每天获得的最大利润是11520元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
23．（9分）如图1，已知Rt△ABC≌Rt△DCE，∠B＝∠D＝90°，BC＝2AB．
（1）若AB＝2，求点B到AC的距离；
（2）当Rt△DCE绕点C顺时针旋转，连AE，取AE中点H，连BH，DH，如图2，求证：BH⊥DH；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，P是DE中点，连接PH，当Rt△DCE绕点C顺时针旋转的过程中，直接写出PH的取值范围．
【分析】（1）先勾股定理求出AD的长，再利用面积法求出点B到AC的距离；
（2）连接CH，由∠AHC＝∠EHC＝90°，得A，B，C，H四点在以AC为直径的圆上，同理C，D，E，H四点在以CE为直径的圆上，则∠AHB＝∠ACB，∠CHD＝∠CED，即可证明；
（3）连接AD，由HP是△ADE的中位线可知，求出AD的范围即可，则当且仅当A，C，D，三点共线时，AD取得最大值为2，AD取最小值为2﹣2，从而得出答案．
【解答】解：（1）∵BC＝2AB，AB＝2，
∴BC＝4，
∵∠B＝90°，
∴AD＝＝2，
设点B到AC的距离为h，
则S，
∴h＝，
∴点B到AC的距离；
（2）证明：如图，连接CH，
∵点H是AE的中点，
∴AH＝EH，
∵CA＝CE，
∴CH⊥AE，
∴∠AHC＝∠EHC＝90°，
∵∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴A，B，C，H四点在以AC为直径的圆上，
C，D，E，H四点在以CE为直径的圆上，
∴∠AHB＝∠ACB，∠CHD＝∠CED，
∵∠ACB＝∠CED，
∴∠AHB＝∠CHD，
∵∠AHB+∠BHC＝90°，
∴∠BHC+∠CHD＝90°，
∴∠BHD＝90°，
即BH⊥DH；
（3）解：如图，连接AD，
∵点H是AE的中点，
∴AH＝EH，
∵点P是DE的中点，
∴EP＝DP，
∴HP是△EAD的中位线，
∴HP＝，
∵AC+CD≥AD≥AC﹣CD，
∴当且仅当A，C，D，三点共线时，AD取得最大值为2，AD取最小值为2﹣2，
∴．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，三角形三边关系，四点共圆等知识，遇中点构造三角形的中位线进行线段的转化是解题的关键．
24．（10分）如图1，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴的负半轴交于点C．
（1）求这个函数的解析式；
（2）点P是抛物线上位于第四象限内的一点，当△PBC的面积最大时，点P的坐标，并求出最大面积；
（3）如图2，点T是抛物线上一点，且点T与点C关于抛物线的对称轴对称，过点T的直线TS与抛物线有唯一的公共点，直线MN∥TS交抛物线于M，N两点，连AM交y轴正半轴于G，连AN交y轴负半轴于H，求OH﹣OG．
【分析】（1）用待定系数法即可得到函数的解析式；
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，由y＝x2﹣2x﹣3得C（0，﹣3），直线BC为y＝x﹣3，设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t，t﹣3），即得PQ＝（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，故S△PBC＝S△CPQ+S△BPQ＝﹣（t﹣）2+，可求出t＝时，S△PBC最大为，P（，﹣）；
（3）由C（0，﹣3）与点T关于抛物线的对称轴对称，得T（2，﹣3），设直线TS为y＝mx+n，将T（2，﹣3）代入得直线TS为y＝mx﹣2m﹣3，根据直线TS与抛物线有唯一的公共点，可得m＝2，即直线TS为y＝2x﹣7，又直线MN∥TS，故设直线MN为y＝2x+h，解得M（2+，4+h+2），N（2﹣，4+h﹣2），设直线AM为y＝gx+d，可解得d＝OG＝，同理OH＝，即可得OH﹣OG＝﹣＝2．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝x2+bx+c得：
，解得，
∴函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，如图：
在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴直线BC为y＝x﹣3，
设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t，t﹣3），
∴PQ＝（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，
∴S△PBC＝S△CPQ+S△BPQ
＝PQ•（xB﹣xC）
＝（﹣t2+3t）×3
＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴t＝时，S△PBC最大为，
此时P（，﹣）；
（3）抛物线y＝x2﹣2x﹣3对称轴为直线x＝1，
∵C（0，﹣3）与点T关于抛物线的对称轴对称，
∴T（2，﹣3），
设直线TS为y＝mx+n，将T（2，﹣3）代入得：
﹣3＝2m+n，
∴n＝﹣2m﹣3，
∴直线TS为y＝mx﹣2m﹣3，
∵直线TS与抛物线有唯一的公共点，
∴只有一个解，即x2﹣（m+2）x+2m＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝0，即m2+4m+4﹣8m＝0，
解得m＝2，
∴直线TS为y＝2x﹣7，
∵直线MN∥TS，
∴设直线MN为y＝2x+h，
解得或，
∴M（2+，4+h+2），N（2﹣，4+h﹣2），
设直线AM为y＝gx+d，
∴
解得d＝，
∴OG＝，
同理OH＝，
∴OH﹣OG＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝
＝2．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，直线与抛物线交点等知识，解题的关键是用含字母的式子表示OH、OG的长度．
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