2022-2023学年陕西省西安工业大学附属中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年陕西省西安工业大学附属中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．若复数，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】先确定复数z在复平面内对应的点，进而可得点的位置.

【详解】，

z在复平面内对应的点为，在第三象限.

故选：C.

2．已知，，下列各式中正确的是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：虚数不可比较大小，模可以比较大小，，，

【解析】复数的模的计算

3．如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据斜二测画法还原平面图，然后计算可得.

【详解】根据斜二测画法还原平面图如图，则.

故选：C

4．设，是两个非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：

因为的图象是一条直线，，，故选A．

【解析】1向量数量积的运算；2向量垂直．

5．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为，则它的一个底面面积是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得底面直径等于圆柱母线，则得到，则底面积为.

【详解】由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径，

则，得.

所以底面面积为.

故选：C.

6．已知圆台的上下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出母线长，再由公式计算侧面积即可.

【详解】

设圆台的母线长为，则，故圆台的侧面积为.

故选：B.

7．已知一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】判断出可能的截面，由此确定不可能的截面.

【详解】画出正方体如下图所示，设正方体外接球的球心为.

是棱的中点，

过的截面图像为C选项对应的图像.

过的截面图像为B选项对应的图像.

设是棱靠近的三等分点，

过的截面图像为A选项对应的图像.

故D选项的图像不可能.

故选：D

8．在△中，，，，且，则△的形状是

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】D

【详解】试题分析：因为，由正弦定理得，即，同理可证，所以D正确．

【解析】向量的数量积、正弦定理、三角函数．

二、多选题

9．（多选）下列说法中不正确的是（    ）

A．棱柱的侧面可以是三角形 B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱

C．所有几何体的表面都能展开成平面图形 D．棱柱的各条棱都相等

【答案】ACD

【解析】从棱柱的定义出发，依次判断选项即可.

【详解】解：棱柱的侧面都是四边形，A不正确；

正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B正确；

不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，球不能展开成平面图形，C不正确；

棱柱的各条棱并不是都相等，应该为棱柱的侧棱都相等，所以D不正确.

故选：ACD.

【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查基本知识的熟练程度，属于基础题.

10．已知i为虚数单位，以下说法正确的是（    ）

A．

B．复数的虚部为2

C．复数在复平面对应的点在第一象限

D．为纯虚数，则实数

【答案】AD

【分析】根据复数的计算即可求解.

【详解】,为纯虚数，则,故A,D对.

复数的虚部为,,对应的点为，不在第一象限，故B,C错误.

故选：AD

11．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝（    ）

A．2 B．3 C．4 D．

【答案】AC

【分析】利用余弦定理即可求解.

【详解】由余弦定理，

得a2＝b2＋c2－2bccos A，

∴4＝b2＋12－6b，

即b2－6b＋8＝0，

∴b＝2或b＝4.

故选：AC.

12．向量，，则的值可以是（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】ABC

【分析】利用公式表达出，利用三角函数恒等变换，求出的范围，进而求出结果.

【详解】，所以，因为，所以，，显然ABC均满足题意.

故选：ABC

三、填空题

13．复数_________.

【答案】

【详解】试题分析：，所以.

【解析】复数的运算，容易题.

14．设，则___．

【答案】

【分析】先求出，再求模即可.

【详解】，

，

，

故答案为：.

15．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为__________．

【答案】

【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据题意，由和求解.

【详解】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，

因为圆锥的表面积为，

所以，

又侧面展开图是一个半圆，

所以，

联立求得，

故答案为：

16．在中，若，则______________.

【答案】/

【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，再结合角的取值范围可求得角的值.

【详解】由及正弦定理可得，

即，

、，则，可得，.

故答案为：.

四、解答题

17．若复数的共轭复数对应的点在第一象限；求实数m的集合．

【答案】

【分析】根据题意，求得，根据对应点在第一象限，列出不等式，即可求得答案.

【详解】由题意得：，

因为对应的点在第一象限，

所以，解得．

所以实数的集合为．

18．圆台的两底面面积分别为1，49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.

【答案】2∶1.

【分析】作出图像，根据高的比和半径的关系列方程求解即可.

【详解】将圆台还原为圆锥，如图所示.O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，

则所以

即h1∶h2＝2∶1.

故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.

19．如图，几何体上半部分是母线长为5，底面圆半径为3的圆锥，下半部分是下底面圆半径为2，母线长为2的圆台，计算该几何体的表面积和体积.

【答案】，

【详解】圆锥侧面积为，圆台的侧面积为，圆台的底面面积为，所以表面积为.圆锥的体积，圆台的体积，所以体积为.

【解析】侧面积公式，体积公式.

20．知非零向量和不共线.

（1）如果＝＋，＝2＋8，＝3（－），求证：A，B，D三点共线；

（2）欲使向量k＋与＋k平行，试确定实数k的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）±1.

【分析】（1）利用共点向量的共线证明三点共线即可；

（2）利用向量共线可得，又非零向量和不共线，只能，求解即可.

【详解】（1）因为=＋==5，

且为非零向量，所以与共线，即A，B，D三点共线.

（2）因为k＋与＋k平行，且两向量都为非零向量，

所以存在实数λ使得k＋=＋k成立，

即,

因为e1和e2不共线，

所以所以k＝±1.

21．已知向量．

（1）求向量与的夹角；

（2）若，且，求m的值．

【答案】（1）    （2）

【分析】（1）直接利用向量坐标的夹角公式求解即可；

（2）先求出，再解方程即得解.

【详解】解：（1）由，，则，

由题得，，

设向量与的夹角为，则，

由，所以. 即向量与的夹角为.

（2）由，，

所以，又，

所以，又，

所以，解得.

22．在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．

【详解】试题分析：（1）由余弦定理及已知条件得，，

又因为△ABC的面积等于，所以，得.

联立方程组解得.

（Ⅱ），由正弦定理得，

联立方程组

解得，

所以的面积

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形内角和定理，考查了函数方程思想，在两道小题中，均通过建立方程组，以便求的等．