2022-2023学年山西省朔州市怀仁市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年山西省朔州市怀仁市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在复平面内，复数z=i(−2+i)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为 5−12≈0.618(黄金分割比)时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为( )
A. 127.50∘B. 137.50∘C. 147.50∘D. 150.50∘
3.设a、b、c是直线，则( )
A. 若a⊥b，c⊥b，则a//c
B. 若a与c所成的角等于c与b所成的角，则a//b
C. 若a⊥b，c⊥b，则a⊥c
D. 若a//b，则a与c、b与c所成的角相等
4.△ABC的三个内角为A，B，C，若sinA+ 3csAcsA− 3sinA=tan5π6，则sin(B+C)=( )
A. 32B. 1C. 12D. 22
5.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为xA−和xB−，标准差分别为sA和sB，则( )
A. xA−>xB−，sA>sBB. xA−sB
C. xA−>xB−，sA6.数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是( )
A. [4.5,+∞)B. [4.5,6.6)C. (4.5,+∞)D. [4.5,6.6]
7.在△ABC中，下列说法错误的是( )
A. “|AB+AC|=|BC|”是“A为直角”的充要条件
B. “|AB+AC|>|BC|”是“A为锐角”的充要条件
C. “AB⋅AC>0”是“△ABC是锐角三角形”的充分不必要条件
D. “AB⋅AC<0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件
8.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120∘，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45∘，则( )
A. 该圆锥体积为3πB. 该圆锥的侧面积为2π
C. AC=3D. △PAC的面积为2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列关于函数f(x)=1−2sin2(x−π4)的说法正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)的最大值为1，最小值为−1
C. f(x)的图象关于直线x=0对称D. f(x)的图象关于点(π2,0)对称
10.设集合M={2,3,4}，N={1,2,3,4}，分别从集合M和N中随机取一个元素m和n.记“点P(m,n)落在直线x+y=k上”为事件Ak(3≤k≤8,k∈N*)，若事件Ak的概率最大，则k的取值可能是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
11.某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法不正确的是( )
A. 甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数
B. 甲班平均成绩高于乙班平均成绩
C. 甲班学生比乙班学生发挥稳定
D. 甲班不及格率高于乙班不及格率
12.如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A−BD−C，则下列四个结论中正确的是( )
A. AC⊥BDB. AB与CD所成角为45∘
C. △ACD是等边三角形D. AB与平面BCD所成的角为45∘
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.假设要检查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500袋牛奶按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第26列的数开始，按三位数连续向右读取，最先检验的5袋牛奶的号码是(下面摘取了某随机数表第7行至第9行)______ .
84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763
35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719
98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211
14.如图所示是一弹簧振子作简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是______.
15.如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1， 2， 2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OA与OB的夹角为135∘，若OC=mOA+nOB(m,n∈R)，则m+n=________.
16.三棱锥P−ABC的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，且PA=PB=PC=1，则其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为______ .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知|a|=1，a⋅b=14，(a+b)⋅(a−b)=12.
(1)求|b|的值；
(2)求向量a−b与a+b夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
在①f(x)的图像关于直线x=5π6对称，②f(x)的图像关于点(5π18,0)对称，③f(x)在[−π4,π4]上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由.
已知函数f(x)=4sin(ωx+π6)+a(ω∈N*)的最小正周期不小于π3，且____，是否存在正实数a，使得函数f(x)在[0,π12]上有最大值3？
19.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知asinA+C2=bsinA.
(Ⅰ)求角B；
(Ⅱ)若△ABC为锐角三角形，且c=2，求△ABC面积的取值范围．
20.(本小题12分)
如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于点F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1−BCD，如图2所示.
(1)若M是FC的中点，求证：直线DM//平面A1EF.
(2)求证：BD⊥A1F.
(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由.
21.(本小题12分)
已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计这两种鱼的数量，养殖者从池塘中捕出这两种鱼各1000条，给每条鱼做上不影响其存活的标记，然后放回池塘，待完全混合后，再每次从池塘中随机地捕出1000条鱼，记录下其中有记号的鱼的数目，立即放回池塘中.这样的记录做了10次，并将记录获取的数据制作成如图所示的茎叶图.
(1)根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数，并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量.
(2)为了估计池塘中鱼的总重量，现按照(1)中的比例对100条鱼进行称重，根据称重鱼的重量介于[0,4.5](单位：千克)之间，将测量结果按如下方式分成九组：第一组[0,0.5),第二组[0.5,1),…，第九组[4,4.5].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
①估汁池塘中鱼的重量在3千克以上(含3千克)的条数；
②若第三组鱼的条数比第二组多7条、第四组鱼的条数比第三组多7条，请将频率分布直方图补充完整；
③在②的条件下估计池塘中鱼的重量的众数及池塘中鱼的总重量.
22.(本小题12分)
在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完成相同)，旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.
(1)摸出的3个球为白球的概率是多少？
(2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
(3)假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：z=i(−2+i)=−2i−1，则对应的点为(−1,−2)，故在第三象限．
故选：C.
根据复数的乘法运算即可求解对应的点的坐标．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查扇形的面积计算问题，考查计算能力，是基础题.
由题意知S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设S1与S2所在扇形圆心角分别为α、β，列出方程组求出即可．
【解答】
解：由题意知，S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设S1与S2所在扇形圆心角分别为α，β，
则αβ= 5−12≈0.618，
又α+β=360∘，∴α+α0.618≈360∘，
解得α≈137.50∘.
故选B.
3.【答案】D
【解析】解：对于A选项，若a⊥b，c⊥b，则a与c平行、异面或相交，A错；
对于B选项，若a与c所成的角等于c与b所成的角，则a与b平行、异面或相交，B错；
对于C选项，若a⊥b，c⊥b，则a与c平行、异面或相交，C错；
对于D选项，若a//b，则a与c、b与c所成的角相等，D对．
故选：D.
根据各选项中的条件判断线线位置关系，即可得出合适的选项．
本题考查空间中线线关系，线面关系的判断，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：△ABC中，sinA+ 3csAcsA− 3sinA=tanA+ 31− 3tanA=tanA+tanπ31−tanAtanπ3=tan(A+π3)=tan5π6，
可得A+π3=5π6，即A=π2，
则sin(B+C)=sinA=1，
故选：B.
已知等式左边分子分母除以csA，利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后利用两角和与差的正切函数公式变形，求出A的度数，原式利用内角和定理及诱导公式变形，计算即可得到结果．
此题考查了正弦定理，两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由折线图得：
A中的数值总体上小于B中的数值，故x−AA中的数值相对分散，B中的数值相对集中，故sA>sB，
故选：B.
利用折线图的性质、平均数、方差的定义直接求解．
本题考查平均数、标准差的运算，考查折线图、平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为8×65%=5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6项数据为4.5，
所以应该有5个数据不大于4.5，则x≥4.5.
故选：A.
根据百分位数的定义求解即可．
本题考查百分位数的定义，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：对于选项A，由|AB+AC|=|BC|，可得|AB+AC|=|AC−AB|，
平方可得AB2+AC2+2AB⋅AC=AB2+AC2−2AB⋅AC，
解得AB⋅AC=0，
∴AB⊥AC，∴∠A为直角，即充分性成立，
若∠A为直角，可得AB⊥AC，∴AB⋅AC=0，
则|AB+AC|=|AC−AB|，
即|AB+AC|=|BC|，∴必要性也成立，
∴“|AB+AC|=|BC|”是“A为直角”的充要条件，故A正确；
对于选项B，由|AB+AC|>|BC|，可得|AB+AC|>|AC−AB|，
∴AB⋅AC>0，
∴∠A为锐角，即充分性成立，
当∠A为锐角，可得AB⋅AC>0，可得|AB+AC|>|AC−AB|，即|AB+AC|>|BC|，
∴必要性也成立，故B正确；
对于选项C，由AB⋅AC>0，可得∠A为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形，
∴充分性不成立，故C错误；
对于选项D，由AB⋅AC<0，可得∠A为钝角，
∴△ABC为钝角三角形，即充分性成立，
当△ABC为钝角三角形，不一定∠A为钝角，即必要性不一定成立，
∴AB⋅AC<0是△ABC是钝角三角形的充分不必要条件，故D正确．
故选：C.
根据向量的运算法则，以及向量的数量积的概念，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了向量的数量积运算，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：因为PO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以PO⊥AB，又因为∠APB=120∘，PA=PB=2，
所以∠PAB=180∘−120∘2=30∘，因此PO=12PA=1，
于是AO= PA2−AO2= 3，
圆锥体积为13×π×( 3)2×1=π，因此选项A不正确；
圆锥的侧面积为π⋅ 3⋅2=2 3π，因此选项B不正确；
连接CB，设AC的中点为D，所以OD//BC
因为AB为底面直径，所以AC⊥CB，因此有AC⊥OD，
因为PA=PC，AC的中点为D，所以AC⊥PD，
因为二面角P−AC−O为45∘，
所以∠PDO=45∘，于是有OD=PO=1，
于是有BC=2OD=2，因此AC= AB2−BC2= (2 3)2−4=2 2，因此选项C不正确；
△PAC的面积为12AC⋅PD=12×2 2× 12+12=2，因此选项D正确，
故选：D.
根据二面角的定义，结合锐角三角函数定义、圆锥的体积和侧面积公式逐一判断即可．
本题考查圆锥的侧面积与体积的求解，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：因为f(x)=1−2sin2(x−π4)=cs2(x−π4)=cs(2x−π2)=sin2x，
所以f(x)的最小正周期T=2π2=π，故A正确；
因为−1≤sin2x≤1，所以f(x)的最大值为1，最小值为−1，故B正确；
因为f(0)=sin0=0，所以f(x)的图象关于点(0,0)对称，故C错误；
因为f(π2)=sinπ=0，所以f(x)的图象关于点(π2,0)对称，故D正确．
故选：ABD.
利用二倍角公式及诱导公式将函数化简，再结合正弦函数的性质一一判断即可．
本题主要考查三角恒等变换，三角函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：因为集合M={2,3,4}，N={1,2,3,4}，分别从集合M和N中随机取一个元素m和n的所有可能情况有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共12个，
A3：包含(2,1)；
A4包含(2,2)，(3,1)，
A5包含((2,3),(3,2),(4,1),
A6包含(2,4)，(4,2)，(3,3)，
A7包含(3,4)，(4,3)，
A8包含(4,4)，
故k=5或k=6时，概率最大．
故选：BC.
由已知先列举出所有可能的P，然后求出k每个值的对应情况，即可求解．
本题主要考查了列举法在概率求解中的应用，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：由甲、乙两个班级的某次成绩的条形图与扇形图，知：
对于A，由于乙班的学生总数不确定，从而无法判断甲班成绩优良人数是否超过了乙班成绩优良人数，故A不一定正确；
对于B，根据优级良率和及格率不能判断两个班的平均成绩的高低，故B不一定正确；
对于C，一次成绩不能判定发挥是否稳定，故C不一定正确；
对于D，甲班不及格率为：105+15+20+10×100%=20%，
乙班不及格率为10%，
∴甲班不及格率高于乙班不及格率，故D正确．
故选：ABC.
观察甲、乙两个班级的某次成绩的条形图与扇形图，结合图形能求出结果．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：如图所示，
对于A，取BD的中点E，连接AE，EC，AC，折叠后△ABD，△BCD是等腰直角三角形，
BD⊥AE，BD⊥CE，又AE∩CE=E，AE，CE⊂平面AEC，∴BD⊥平面AEC，
∵AC⊂平面AEC，∴AC⊥BD，故A正确；
对于C，设折叠前正方形的边长为a，则BD= 2a，∴AE=EC= 22a，
由平面ABD⊥平面BCD，∵E是BD的中点，△ABD是等腰直角三角形，
∴BD⊥AE，又平面ABD∩平面BCD=BD，AE⊂平面ABD，
∴AE⊥平面BCD，∵CE⊂平面BCD，∴AE⊥CE，
∴AC= AE2+EC2= ( 22a)2+( 22a)2=a，
∴△ACD是等边三角形，故C正确；
对于B，设折叠前正方形的边长为a，
则取BC的中点F，AC的中点G，连接EF，EG，FG，
∴EF//CD，EF=12CD=12a，FG//AB，FG=12AB=12a，
∴∠GFE是AB与CD所成的角(或所成角的补角)，
在Rt△AEC中，EG=12AC=12a，
∴△EFG是等边三角形，∴∠GFE=60∘，
∴AB与CD所成的角大小为60∘，故B错误；
对于D，由B选项知，AE⊥平面BCD，BE是直线AB在平面BCD内的射影，
∴∠ABE直线AB与平面BCD所成角，
∵E是BD的中点，Rt△ABD是等腰直角三角形，
∴AE=BE=12BD，AE⊥BE，∴△ABE是等腰三角形，∴∠ABE=45∘，
∴AB与平面BCD所成角为∠ABE=45∘，故D正确．
故选：ACD.
对于A，根据等腰三角形的三线合一及线面垂直的判定定理，再利用线面垂直的性质定理即可求解；
对于B，根据直角三角形斜边的中线定理及三角形的中位线定理，再结合异面直线所成角的定义即可求解；
对于C，根据直线三角形斜边的中线定理和面面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及勾股定理能求出结果；
对于D，根据C选项及线面角的定义，结合等腰三角形即可求解．
本题考查线线垂直的判断，异面直线所成角的求解，线面角的求解，属中档题．
13.【答案】169，105，071，286，443
【解析】解：根据随机数表法中数据的读取规则与方法，可得最先检验的5袋牛奶的号码是：169，105，071，286，443.
故答案为：169，105，071，286，443.
根据随机数表法中数据的读取规则与方法，即可求解．
本题主要考查简单随机抽样的应用，属于基础题．
14.【答案】y=2sin(5π2x+π4)
【解析】解：设根据这个振子振动的函数解析式为函数y=Asin(ωx+φ)，
根据它的函数图象，可得A=2，T2=12⋅2πω=0.5−0.1，∴ω=5π2.
再根据五点法作图可得5π2×0.1+φ=π2，∴φ=π4，
∴这个振子振动的函数解析式是y=2sin(5π2x+π4)，
故答案为：y=2sin(5π2x+π4).
设根据这个振子振动的函数解析式为函数y=Asin(ωx+φ)，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．
15.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
如图所示，建立直角坐标系，A(1,0)，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，得到csα=15 2，sinα=75 2，C(15,75)，可得：B(−1,1)，利用OC=mOA+nOB(m,n∈R)，即可得到结果．
【解答】
解：如图所示，建立直角坐标系．
A(1,0)，B 2cs135∘, 2sin135∘，C 2csα, 2sinα，
OA与OC的夹角为α，且tanα=7，
得到：csα=15 2，sinα=75 2，
∴OC=15,75，OA=1,0,OB=−1,1，
∵OC=mOA+nOB(m,n∈R)得：
15=m−n75=0+n，
解得：m=85n=75，
故：m+n=3.
故答案为：3.
16.【答案】2 33
【解析】解：由空间四个点P，A，B，C在同一球面上，PA，PB，PC互相垂直，且PA=PB=PC=1，
则PA，PB，PC可看成是正方体的一个顶点的三条棱，
所以过空间四个点P，A，B，C的球面即为正方体的外接球，球的直径即为正方体的对角线，
设外接球的球心为O，球的半径为R，可得2R= 3，解得R= 32，即OP=R= 32，
如图所示，在正方体中，可得PE⊥平面ABC，设PE交平面ABC于点H，
因为PA=PB=PC=1，可得AB=BC=AC= 2，所以S△ABC= 34⋅( 2)2= 32，
由VA−PBC=VP−ABC，可得13×12×1×1×1=13× 32⋅PH，解得PH= 33，
所以OH=OP−PH= 32− 33= 36，可得球心到平面ABC的距离为 36，
所以球面上的点到平面ABC的距离的最大值为OH+OE= 36+ 32=2 33.
故答案为：2 33.
根据题意得到过空间四个点P，A，B，C的球面即为正方体的外接球，求得外接球的半径为R，可得R= 32，再由VA−PBC=VP−ABC，可得球心到平面ABC的距离为 36，进而求得球面上的点到平面ABC的距离的最大值．
本题主要考查点到平面距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵|a|=1，(a+b)⋅(a−b)=12，
得|a|2−|b|2=12，即|b|2=|a|2−12=12，则|b|= 22；
(2)|a−b|= (a−b)2= |a|2+|b|2−2a⋅b= 1+12−2×14=1，
|a+b|= (a+b)2= |a|2+|b|2+2a⋅b= 1+12+2×14= 2.
又(a+b)⋅(a−b)=12，且向量a−b与a+b夹角为θ，
则csθ=(a−b)⋅(a+b)|a−b||a+b|=121× 2= 24.
【解析】(1)由已知结合(a+b)⋅(a−b)=12，可得|b|的值；
(2)请求出向量a−b与a+b的模，再由数量积求夹角公式求解．
本题考查平面向量数量积的性质与应用，训练了利用数量积求夹角，是中档题．
18.【答案】解：由于函数f(x)的最小正周期不小于π3，所以2πω≥π3，
所以1≤ω≤6，ω∈N*，
若选择①，即f(x)的图像关于直线x=5π6对称，
有5π6ω+π6=kπ+π2(k∈Z)，解得ω=65k+25(k∈Z)，
由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k=3，ω=4，
此时，f(x)=4sin(4x+π6)+a，
由x∈[0,π12]，得4x+π6∈[π6,π2]，
因此当4x+π6=π2，即x=π12时，f(x)取得最大值4+a，
令4+a=3，解得a=−1，不符合题意．
故不存在正实数a，使得函数f(x)在[0,π12]上有最大值3.
若选择②，即f(x)的图象关于点(5π18,0)对称，
则有5π18ω+π6=kπ(k∈Z)，解得ω=185k−35(k∈Z)，
由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k=1，ω=3.
此时，f(x)=4sin(3x+π6)+a.
由x∈[0,π12]，得3x+π6∈[π6,5π12]，因此当3x+π6=5π12，即x=π12时，f(x)取得最大值4sin5π12+a= 6+ 2+a，
令 6+ 2+a=3，解得a=3− 6− 2，不符合题意．
故不存在正实数a，使得函数f(x)在[0,π12]上有最大值3；
若选择③，即f(x)在[−π4,π4]上单调递增，
则有−ωπ4+π6≥2kπ−π2,ωπ4+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，
解得ω≤−8k+83,ω≤8k+43,(k∈Z)，
由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k=0，ω=1.
此时，f(x)=4sin(x+π6)+a.
由x∈[0,π12]，得x+π6∈[π6,π4]，
因此当x+π6=π4，即x=π12时，f(x)取得最大值2 2+a，
令2 2+a=3，解得a=3−2 2，符合题意．
故存在正实数a=3−2 2，使得函数f(x)在[0,π12]上有最大值3.
【解析】由已知结合周期公式先求出ω的范围，
若选择①，结合函数的对称性及已知可求出ω，进而可求函数解析式，然后检验已知区间上最值存在情况；
若选择②，结合正弦函数的对称性可求出ω，进而可求函数解析式，然后检验已知区间上最值存在情况；
若选择③，结合正弦函数的单调性可求出ω，进而可求函数解析式，然后检验已知区间上最值存在情况．
本题主要考查了正弦函数的对称性，单调性及最值的综合应用，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)由题设及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA，
因为sinA≠0，
所以sinA+C2=sinB.
由A+B+C=180∘，可得sinA+C2=csB2，
故csB2=2sinB2csB2.
因为csB2≠0，
故sinB2=12，
因此B=60∘.
(Ⅱ)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC= 32a.
由正弦定理得a=csinAsinC=2sin(120∘−C)sinC= 3tanC+1.
由于△ABC为锐角三角形，
故0∘由(1)知A+C=120∘，
所以30∘故tanC> 33，
所以1从而 32因此，△ABC面积的取值范围是( 32,2 3).
【解析】(Ⅰ)由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用结合sinA≠0，csB2≠0，可求sinB2=12，进而可求B的值．
(Ⅱ)由题设及正弦定理，可求a= 3tanC+1，结合30∘ 33，可求范围1本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：因为D，M分别为AC，CF中点，
所以DM//EF，
又EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF
所以DM//平面A1EF.
(2)证明：因为A1E⊥BD，EF⊥BD，且A1E∩EF=E，
所以BD⊥平面A1EF，
又A1F⊂平面A1EF，所以BD⊥A1F.
(3)直线A1B与直线CD不能垂直，
因为平面A1BD⊥平面BCD，
平面A1BD∩平面BCD=BD，EF⊥BD，EF⊂平面CBD，
所以 EF⊥平面A1BD.
因为A1B⊂平面A1BD，所以A1B⊥EF，
又因为EF//DM，所以A1B⊥DM.
假设A1B⊥CD，
因为A1B⊥DM，CD∩DM=D，
所以A1B⊥平面BCD，所以A1B⊥BD，
这与∠A1BD为锐角矛盾，所以假设不成立，
所以直线A1B与直线CD不能垂直．
【解析】(1)由三角形中位线定理推导出DM//EF，由此能证明DM//平面A1EF；
(2)由已知条件推导出BD⊥平面A1EF，由此能证明BD⊥A1F；
(3)直线A1B与直线CD不能垂直．假设A1B⊥CD，能推导出A1B⊥BD，这与∠A1BD为锐角矛盾．
本题考查了直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，考查两直线能否垂直的判断与证明，解题时要注意空间思维能力的培养，属于中档题．
21.【答案】解：(1)根据茎叶图可知，鲤鱼与鲫鱼的平均数目分别为80，20.
由题意知，池塘中鱼的总数目为1000÷80+202000=20000(条)，
则估计鲤鱼数目为20000×80100=16000(条)
鲫鱼数目为20000−16000=4000(条).
(2)①根据题意，结合直方图可知，
池塘中鱼的重量在3千克以上(含3千克0的条数约为20000×(0.12+0.08+0.04)×0.5=2400(条).
②设第二组鱼的条数为x，则第三、四组鱼的条数分别为x+7，x+14，
则有x+x+7+x+14=100×(1−0.55)，解得x=8，
故第二、三、四组的频率分别为0.08、0.15、0.22，
它们在频率分布直方图中的小矩形的高度分别为0.16，0.30，0.44，
据此可将频率分布直方图补充完整(如图).
③众数为2.25千克，
平均数为0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02(千克)，
所以鱼的总重量为2.02×20000=40400(千克).

【解析】(1)根据茎叶图可知，鲤鱼与鲫鱼的平均数目分别为80，20.由题意知，求出池塘中鱼的总数目，由此能求出估计鲤鱼数目和鲫鱼数目．
(2)①根据题意，结合直方图能求出池塘中鱼的重量在3千克以上的条数．
②设第二组鱼的条数为x，则第三、四组鱼的条数分别为x+7、x+14，由此能求出第二、三、四组的频率分别为0.08、0.15、0.22，从而将频率分布直方图补充完整．
③由频率分布直方图能求出众数和平均数，从而得到鱼的总重量．
本题考查频率分布直方图的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．
22.【答案】解：把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3.从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个，
(1)事件E={摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123：
P(E)=120=0.05；
(2)事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，
P(F)=920=0.45；
(3)事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，
P(G)=220=0.1，
假定一天中有100人次摸奖，
由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次，不发生90次．
则一天可赚90×1−10×5=40，每月可赚1200元.
【解析】本题考查古典概型，属于中档题.
(1)先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为白球只有一种结果，根据概率公式得到要求的概率．
(2)摸出的3个球为2个黄球1个白球共有9种结果，根据概率公式得到要求的概率．
(3)摸出的3个球为同一颜色的概率为0.1，一天中有100人次摸奖，根据相应的概率可以求结果.