2022-2023学年山西省高平市第一中学校高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年山西省高平市第一中学校高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．设，则复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意结合复数的除法运算法则即可求得z的值.

【详解】由题意可得：.

故选：A.

2．复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据复数单位的性质进行运算，求得复数z，以及，根据复数的几何意义即可得答案.

【详解】由题意得，，其对应点位于第二象限，

故选：B

3．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（    ）．

A． B． C．4 D．12

【答案】B

【分析】利用转化即可

【详解】解析：因为，所以，又因为向量与的夹角为60°，，

所以，所以．

故选：B

4．若三点共线，则（    ）

A． B．5 C．0或 D．0或5

【答案】D

【分析】由题意可得，再利用向量共线求解即可.

【详解】因为，

若三点共线，则，

所以，

解得或5．

故选：D.

5．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理可得，进而即得.

【详解】在，，，，

又

，

由正弦定理得：，

，

树的高度为(m).

故选：A．

6．已知的三个内角所对的边分别为．若，则该三角形的形状一定是（    ）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形

【答案】C

【分析】利用正弦定理的边角转化，将已知变形，化简从而得出

【详解】因为，

由正弦定理（为外接圆的直径），

可得，

所以．

又因为，所以．即为等腰三角形.

故选：C

7．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】B

【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.

【详解】，

令，

则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，

即在的平分线上，

，共线，

故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，

故选：B

8．已知向量与向量均为单位向量，且它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知条件求出，再由投影向量公式计算即可求出答案．

【详解】∵，∴，则，

故向量在向量上的投影向量为，

故选：B.

二、多选题

9．已知复数（是虚数单位），下列正确的是（        ）

A．复数的实部为 B．复数的共轭复数为

C． D．复数的模为

【答案】BCD

【分析】由复数的乘法运算、共轭复数的概念及复数的模长依次计算即可.

【详解】，故实部为，故A错误；复数，故共轭复数为，故B正确；

，，故C正确； ，故复数 ，故D正确．

故选：BCD．

10．下列命题不正确的是（    ）.

A．棱台的上､下底面可以不相似，但侧棱长一定相等

B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥

C．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

D．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥

【答案】ABCD

【分析】直接根据棱台、棱柱、棱锥和圆锥的定义判断各选项即可．

【详解】对于A：棱台的上、下底面相似，但侧棱长不一定相等，故A错误；

对于B：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥，也可能是组合体，与棱锥的定义相矛盾，故B错误；

对于C：两个的斜棱柱扣到一起，也满足这种情况，但是不是棱柱，故C错误；

对于D：直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所形成的几何体才是圆锥，故D错误；

故选：ABCD

11．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．，的夹角为

C．在上的投影向量为 D．在上的投影向量为

【答案】AC

【分析】对于A选项，即可求解；

对于B选项，利用向量夹角公式计算；

对于C、D选项，由投影向量的定义得，在上的投影向量为

【详解】由，，可知，，

对于A选项，，故，故A正确；对于B选项，设为，的夹角，则，故B错误；对于C选项，在上的投影向量为，故C正确；对于D选项，在上的投影向量为，故D错误.

故选：AC.

12．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列选项正确的是（    ）

A．若，则有两解

B．若，则无解

C．若为锐角三角形，且，则

D．若，则的最大值为

【答案】ACD

【分析】根据边角的关系，可判断三角形的个数，即可判断AB；

根据三角形是锐角三角形，求角的范围，即可判断C；

利用正弦定理，将边表示为三角函数，利用三角函数的性质，即可判断D.

【详解】对于A，因为，所以，则有两解，A正确．

对于B，因为，所以有且仅有一解，B错误．

对于C，由得，则，

因为，所以，C正确．

对于D．因为，所以，又因为，

所以，则

，由，得，

所以当，即时，取得最大值，D正确．

故选：ACD

三、填空题

13．在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则__________.

【答案】

【分析】根据平方差公式在复数范围内分解因式即可．

【详解】由已知．

故答案为：．

14．已知与的夹角为，则在方向上的投影向量为__.

【答案】

【分析】由向量投影的定义即可求得则在方向上的投影向量.

【详解】在方向上的投影向量为.

故答案为：

15．若中，已知，，，则c=________．

【答案】2或

【分析】由三角形面积公式可得角，再由余弦定理即可得结果.

【详解】因为，，，

即，由于，所以或，

当时，，即；

当时，，即，

即的值为2或，

故答案为：2或.

16．的内角的对边分别为.若，边角平分线，则边的最小值为_________．

【答案】

【分析】由结合已知条件可得，再利用基本不等式可得，由余弦定理得，当且仅当时取等号，即当时，取得最小值，

【详解】因为，是的平分线，

所以，

因为，，

所以，

所以，

所以，

所以，得，当且仅当时取等号，

在中，，由余弦定理得

，

当且仅当时取等号，即当时，取得最小值12，

所以的最小值为，

故答案为：

四、解答题

17．已知复数在复平面内所对应的点为.

(1)若复数为纯虚数，求的值；

(2)若点在第三象限，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先化简，再利用为纯虚数列方程组即可求解（2）依题意的实部和虚部均小于，解此不等式组即可求解

【详解】（1）由题意得，

因为为纯虚数，

所以，解得.

（2）复数在平面内所对应的点为，

因为点在第三象限，所以，解得，

所以实数的取值范围为.

18．已知函数.

(1)若，求的最小值；

(2)若，求关于的不等式的解集.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用代入法，结合基本不等式进行求解即可；

（2）利用代入法，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】（1）由可得：，

因为，所以，

所以，

当且仅当时取等号，即当且仅当时取得最小值为；

（2）由可得：，

则化为：

因为，所以，

则解不等式可得或，

则不等式的解集为.

19．的内角的对边分别为.的面积为，且.

(1)求角；

(2)求的最大值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用余弦定理及面积公式，可求出的值，进而即得；

（2）由题可得，再利用三角函数的性质即得.

【详解】（1），

，

，

，

；

（2）由正弦定理得：

，

，

，

，

，

所以的最大值为.

20．在锐角中，的对边分别为，且.

(1)求；

(2)若，且，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由边角互化得出；

（2）由余弦定理结合得出.

【详解】（1）由及正弦定理得.

因为，故.

所以在锐角中，.

（2）由余弦定理，

，得，

所以.

21．已知向量，函数．

(1)求的单调递减区间；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）根据向量的加法及数量积的坐标表示，利用同角三角函数函数的平方关系及二倍角的正弦、余弦公式，结合辅助角公式及三角函数的性质即可求解；

（2）根据已知条件及三角函数的诱导公式，结合二倍角的余弦公式即可求解.

【详解】（1）因为

所以，

所以．

由，得，

所以的单调递减区间为．

（2）由得，

即．

因为，所以，

，

故

22．已知是坐标原点，，点满足.

(1)求；

(2)若三点能构成三角形，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）分析得到，再代入坐标即得解；

（2）设，求出即得解.

【详解】（1）解：，

即，

，

，

，

.

（2）解：当三点共线时，三点不能构成三角形，

设，则，

即解得

时，三点共线，

若三点能构成三角形，则，

实数的取值范围为.