2022-2023学年湖北省宜昌市协作体高一下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年湖北省宜昌市协作体高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解一元二次不等式化简集合B，然后利用交集概念运算即可.

【详解】因为，

又，所以.

故选：C.

2．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由诱导公式化简直接得出答案.

【详解】．

故选：B．

3．已知点在幂函数的图象上，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据幂函数的定义求出a，将已知点的坐标代入解析式即可求解.

【详解】函数是幂函数，

，即点在幂函数的图象上，

2，即，故.

故选：D.

4．方程的解所在的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，由零点存在定理判断区间

【详解】令，则单调递增，

由，，

∴方程的解所在一个区间是．

故选：C．

5．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用三角函数图象变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数图象的对称性求出对称轴，逐个检验即可求解.

【详解】由题意得，

令，得，

取，得曲线的一条对称轴的方程为.

故选：B.

6．如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为（    ）．

A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米

【答案】B

【分析】将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可.

【详解】根据题意可知，.

在中，由正弦定理得,即.

故选:B

7．已知函数，设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性、单调性比较大小.

【详解】因为的定义域为，且，

所以为偶函数，，

又当时，单调递减，

由以及，

可得，

即．

故选:D．

8．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】，结合题意得，结合即得解.

【详解】，

因为，所以，

又，所以．

故选：B．

二、多选题

9．的充要条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用正切函数知识及同角三角函数关系，结合充要条件的概念分析判断即可.

【详解】对于A,因为，所以，故是的充要条件；

对于B,当时，，则，

当时，，则无意义，

所以是的必要不充分条件；

对于C,因为，所以，即，故是的充要条件；

对于D，由可得，取，可得，

但无意义，所以是的充分不必要条件.

故选：.

10．设，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】结合选项及条件逐个判定，把代入可得A正确，利用指数函数单调性可得B错误，利用基本不等式可得C正确，利用1的代换及基本不等式可得D错误.

【详解】对于A，，且，，解得，故A正确；

对于B，，即，，故B错误；

对于C，，且，，

当且仅当时等号成立，，故C正确；

对于D，，且，

，

当且仅当，即时等号成立，

，，故D错误.

故选：AC.

11．如图，在中，分别是边上的中线，它们交于点G，则下列各等式中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由已知结合三角形的重心及向量的线性表示分别检验各选项即可判断．

【详解】解：由三角形重心性质得，

所以，A正确；

因为，B正确；

由重心性质得，，C错误；

因为，

所以，

即，D正确．

故选：ABD．

12．函数在上有3个零点，则（    ）

A．的取值范围是

B．在取得2次最大值

C．的单调递增区间的长度（区间右端点减去左端点得到的值）的取值范围是

D．已知，若存在，使得在上的值域为，则

【答案】BD

【分析】化简，当时，由题意得，求解即可判断A；在上取得2次最大值，可判断B；的单调递增区间的长度为，可判断C；由题意，可判断D．

【详解】，

当时，，所以，A错误；

在上取得2次最大值，B正确；

的单调递增区间的长度为，C错误；

若存在，使得在上的值域为，则，D正确．

故选：BD．

三、填空题

13．函数在区间上为增函数，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】根据余弦函数的单调性分析求解.

【详解】因为在上是增函数，在上是减函数，

所以只有时满足条件，故．

即的取值范围为，

故答案为：

14．若，与的夹角为，则向量在上的投影向量为___________．

【答案】

【分析】根据投影向量的定义求解.

【详解】，与的夹角为，则，

所以向量在上的投影向量为．

故答案为：.

15．已知函数，若，则实数a的取值范围是_______.

【答案】

【分析】判断的奇偶性、单调性，结合已知不等关系得，即可求范围.

【详解】由，且定义域为R，

所以为奇函数，则，

根据在R上均为减函数，故也为减函数，

所以，则.

故答案为：

16．在中，，，，平分交于点，，则的长为___________．

【答案】

【分析】由，结合三角形面积公式可构造方程求得，由此可得；利用余弦定理可求得.

【详解】由题意得：，

，

即，解得：（舍）或，，，

，解得：.

故答案为：.

四、解答题

17．已知为锐角，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用同角三角函数的关系和正弦的二倍角公式求解；

（2）利用诱导公式，同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式求解即可．

【详解】（1）因为，

所以，

所以．

（2）因为，

所以，

所以．

18．已知，．

(1)若与垂直，求k的值；

(2)若为与的夹角，求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合垂直的坐标表示求解作答.

（2）利用向量夹角的坐标表示计算作答.

【详解】（1）因为，，则，，

依题意，，解得，

所以.

（2）由（1）知，，，则，，

因此，而，

所以.

19．已知内角的对边分别为，且.

(1)求角；

(2)若的周长为，且外接圆的半径为1，判断的形状，并求的面积.

【答案】(1)

(2)等边三角形，

【分析】（1）由正弦定理及三角形的性质即可求角；

（2）利用正弦定理求出边长a，然后再根据周长和余弦定理列式解出b和c，从而判断性质和求解面积.

【详解】（1）由题意，

由正弦定理得，

因为，

所以，因为，所以，所以，

又，所以.

（2）设外接圆的半径为，则，由正弦定理得，

因为的周长为，所以，

由余弦定理得，即，所以，

由得，所以为等边三角形，

所以的面积 .

20．已知．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数，求的单调区间．

【答案】(1)

(2)单调增区间为，单调递减区间为

【分析】（1）由配凑法或换元法即可求；

（2）由复合函数单调性判断.

【详解】（1）因为，

设，则，所以．

（2），由或，

设，则，

当时，，因为其对称轴为，

则此时单调递减，单调递增，所以在单调递减；

当时，单调递增，单调递增，所以在单调递增．

所以的单调增区间为，单调递减区间为．

21．2月26日，江苏银行宣布成为百度“文心一言”首批生态合作伙伴．“文心一言”与国外的ChatGPT类似，是一种智能化的对话机器人，可以进行智能对话､回复问题､生成创作内容，还可以在对话过程中不断学习和优化．相比此前的技术，在智能化上实现了一定的突破，其内容回复详细､清唽，且由于其具有很好的互动性，在商业应用上带来了充分的想象空间．某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底各项人员工资､税务等支出合计1500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业除去各项支出资金后的剩余资金为万元．

(1)求证：；

(2)要使第年年底企业的剩余资金超过21000万元，求整数的最小值．（；）

【答案】(1)证明见解析

(2)6

【分析】（1）由得意，整理得，即可证得结果；

（2）由（1）知是以3000为首项，为公比的等比数列，则由题意，即，求解即可.

【详解】（1）由题意得，，

．

即，

又，

（2）由（1）知是以3000为首项，为公比的等比数列，

则

，即，

又的最小值为6．

22．已知函数的最小正周期为．

(1)求的解析式；

(2)若关于x的方程在区间上有相异两解

求：①实数a的取值范围；

②的值．

【答案】(1)

(2)①，②

【分析】（1）根据三角恒等变换公式将化简，然后由的最小正周期为，解得，即可得到函数的解析式；

（2）将方程有两解转化为函数图像有两个交点，然后结合图像即可求得的范围，然后由正弦函数的对称性即可得到的值.

【详解】（1）

．

因为的最小正周期为，所以，解得．

所以．

（2）

①，即．

关于x的方程在区间上有相异两解，，

也即函数与的图像在区间上有两个交点，

由，得，

在上单调递增，在上单调递减，且，

做出在上的图像如图，

由图可知，要使函数与的图像在区间上有两个交点，则有，

所以实数a的取值范围为．

②由（1）和正弦函数的对称性可知与关于直线对称，

则有，所以，

所以的值为．