2022-2023学年湖北省部分高中联考协作体高一下学期期中数学试题含答案

  2023年春季湖北省部分高中联考协作体期中考试

高一数学试卷

命题学校：天门市竟陵高中 

审题学校：天门市岳口高级中学 

考试时间：2023年4月14日上午8:00－10:00    试卷满分：150分

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效．

3．填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷  选择题（共60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，复数对应的点位于（    ）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知向量，向量，且，则（    ）．

A．9 B．6 C．5 D．3

3．在中，已知，则角A为（    ）．

A． B． C． D．或

4．设函数，则下列结论错误的是（    ）．

A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称

C．的一个零点为 D．在单调递减

5．平面向量与的夹角为，，，则等于（    ）．

A． B． C．4 D．12

6．已知，则（    ）．

A． B． C． D．

7．如图，半圆的直径，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值等于（    ）．

A． B． C． D．

8．已知函数，若存在实数，，，，满足，且，则的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得2分）

9．已知复数，则下列结论正确的是（    ）．

A．复数z的虚部为i  B．复数z的共轭复数为

C．  D．复数z的模为

10．已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，，，，若满足条件的有两个，则m的值可以是（    ）．

A． B． C．3 D．4

11．在中，，，，点D为线段AB上靠近A端的三等分点，E为CD的中点，则下列结论正确的是（    ）．

A． B．与的夹角的余弦值为

C．  D．的面积为8

12．设函数，若在上有且仅有5个零点，则（    ）．

A．在上有且仅有3点取最大值

B．在上有且仅有2点取最小值

C．在上单调递增

D．的取值范围是

第Ⅱ卷  非选择题（共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知，，，，则__________．

14．已知平面向量，，满足，，，且，则__________．

15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则BC边上的中线长是__________．

16．锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围为__________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

设复数，复数．

（1）若，求实数a的值；

（2）若是纯虚数，求．

18．（本小题满分12分）

已知平面向量，．

（1）当k为何值时，与垂直；

（2）若，，且A、B、C三点共线，求m的值．

19．（本小题满分12分）

设函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，，求的周长．

20．（本小题满分12分）

已知向量，，函数．

（1）若，求之值；

（2）已知a，b，c为的内角A，B，C的对边，，，且恰好是函数在上的最大值，求的面积．

21．（本小题满分12分）

已知函数的部分图象如图所示．

（1）求的解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若关于x的方程在上有两个不同的实数解，，求实数m的取值范围及的值．

22．（本小题满分12分）

已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻的对称轴之间的距离为．

（1）求函数的解析式；

（2）若对任意，恒成立，求实数t的取值范围．

高一数学答案

1．A．

解： ，对应的点是，位于第一象限。

2．B 

解：因为//，所以4×3 – 2x = 0，解得 x = 6，

3．C

解：由a2=b2+bc+c2可得b2+c2– a2= –bc  所以，

由于0 < A < π，所以。

4．D

解：f(x)的最小正周期 T = 2π，所以 – 2π是f(x)的一个周期，故A正确；

由于，

所以y = f(x)的图像关于直线对称，故B正确；

由于，

当时，

所以是的一个零点，所以C正确．

当时，设，

当时函数y=cost单调递减，当时函数y=cost单调递增，

所以函数不具单调性，D错误．

5．B

解：因为，所以，所以，

所以，从而．

6．A

解：因为，所以f(x) = 2 + 2x2．

从而．

7．B

解：设|PO|=x (0≤x≤4) ，则|PC| = 4 – x，因为点O是AB中点，

所以．最小值是 –8 ．

8．B

解：作函数f(x)的图象，如图所示：

由对称性可得x3 + x4=6×2=12，

有题意可得，所以x1x2 =1，

所以，

因为，(2< x3 <4)，所以20 < x3 x4 < 32，

所以9 < x3 x4 –11< 21．

9．BD

解：复数z的虚部为1，故A错误；

复数z的共轭复数为，故B正确；

对于C：因为，所以C错误；

对于D：因为所以D正确；

10．BC

解：如图，作CD⊥AB于D，则，

当CD < a < b，即时，满足条件的△ABC有两个，

11．AC

解：因为，所以A正确．

如图所示平面直角坐标系，则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，D(2，0)，E(1，4)，

所以，设，与的夹角为θ，则

余弦值为，所以B错误．

因为，所以，所以C正确．

的面积，所以D错误．

12．AD

解：设，作y=sint如图．

因为，所以当x∈[0，2π]时，

，则依题意有

，，答案D正确．

由图象观察可得f(x)在(0，2π)上有且仅有3点取最大值，选项A正确，B错误．

对于C，当x∈(0，)时，，因为，

则，即，由于，

所以f(x)在(0， )上不单调递增，选项C错误．

13．

解：因为，，所以．

由于 ，，所以，，所以

．

14．

解：因为a+b+c=0，所以a+b = –c，平方，整理得2a·b = c2–a2–b2= –4，a·b = –2．

所以cos<a，b>= ．

15．7

解：由正弦定理及得，

因为0<B<π，所以sinB>0，所以，，因为0<A<π，所以．

设D是边BC的中点，则，所以

.

所以，即BC边上的中线长是7．

16．(7，9]．

解：因为，所以，化简得b2+c2=3+bc，

由正弦定理及，，得b=2sinB，c=2sinC．

所以b2+c2+bc =3+2bc=3+8sinBsinC==．

因为△ABC是锐角三角形，所以，所以，

，所以．

17．解：(1)因为z1=1 – ai， z2=3 + 4i，所以z1+z2 =4+(4 – a)i．       …………3分

若z1+z2∈R，则4 – a = 0，a = 4．                                 …………5分

（2）              …………8分

若是纯虚数，则，解得．              …………9分

所以，                    …………10分

18．解：(1) ，           …………1分

，                           …………2分

若与垂直，则·             …………5分

所以5(k – 2 )+( –1)×2=0，                             …………6分

（2），              …………7分

，          …………8分

因为A、B、C三点共线，所以，所以8m – 3 (2m+1)=0，…………11分

解得．                               ………………………………12分

19．解：(1)

．                        ………………………3分

因为y = sin x在上单调递增，

所以                   ………………………5分

∴

所以函数f(x)的单调递增区间是     ……………6分

（2）由（1），因为f(A)=1，所以，  ……………7分

因为A∈(0，π)，所以．                 ………………………8分

由正弦定理及sinB=2sinC可得b=2c．          ………………………9分

由余弦定理a2=b2+c2 – 2bc cosA，可得 ，解得.………11分

所以△ABC的周长．………………12分

20．解：（1），，  …………3分

，，             …………4分

                                  …………5分

第二种解法：，，，      ………………………1分

                               ………………………2分

                             ………………………3分

  ………………………4分

          ………………………5分

（2）

=

………………8分

，∴时最大，所以．……………9分

，，  ……………10分

1°当时， ，的面积  ……………11分

2°当时，，的面积

所以，当时，的面积为，当时，的面积为．

                                     ……………12分

21解：(1)由图象可得A=1，，

所以，所以             ……………………………………1分

将代入f(x)，可得，即……2分

又，所以．                 …………………………………………3分

所以                 ………………………………………………4分

（2）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得曲线C：，

由题意可得．　　      ……………………………………………5分

因为关于x的方程在上有两个不同的实数解，

所以在上有两个不同的实数解．

因为，令，所以．    ……………………………6分

所以直线与曲线的图象在上有两个不同的公共点．

画出函数在在上的简图，如下图所示：

……………………………8分

由图可知实数m的取值范围是[1，2)．                  ……………………………9分

设方程的两根为t1，t2，由图象可知．   ……………………………10分

因为，，                       ……………………………11分

所以，．          ……………………………12分

22．解：(1)

                       …………………………………………1分

因为f(x)图象相邻的对称轴之间的距离为，

所以周期T=π，所以…2分

又f(x)的图象关于直线对称，所以，…………3分

解得，

因为，所以．          ………………4分

所以                 …………………………………………5分

（2）因为，所以，所以f(x)∈[– 2 ，1]，………6分

即对任意恒成立，

也即对任意恒成立．   ……………………7分

设，则

   ……8分

因为，所以                     ……………………9分

所以当tanα=1时，g(α)有最大值6，     …………………………………………10分

所以t2+t≥6，解得 t≤– 3 或t≥2．          ……………………………………11分

所以实数t的取值范围为(∞，–3]∪[2，+∞）  ……………………………………12分