2022-2023学年湖北省部分高中联考协作体高一上学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年湖北省部分高中联考协作体高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则集合的真子集有（    ）

A．3个 B．4个 C．7个 D．8个

【答案】C

【分析】解一元二次不等式求集合并确定元素的个数，进而求其真子集的个数，即得结果.

【详解】由题设，即集合中有3个元素，

所以的真子集有个.

故选：C

2．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出集合，再由并集的定义即可得出答案.

【详解】，所以.

故选：B.

3．若命题“”是假命题，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将命题“”是假命题，转化为命题“”是真命题，利用判别式法求解.

【详解】因为命题“”是假命题，

所以命题“”是真命题，

所以，解得，

所以实数a的取值范围是

故选：D

4．已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据是的充分条件列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】依题意：：，：，

：或；：或，

由于是的充分条件，

所以，所以.

故选：B

5．已知正数、满足，求的最小值是（    ）

A． B．9 C． D．4

【答案】C

【分析】根据基本不等式“1”的妙用，可得答案.

【详解】因为，均为正数，，

所以，当且仅当，即时，等号成立.

故选：C.

6．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件结合分段函数单调性列出不等式组，求解即可得a的取值范围.

【详解】因函数是R上的增函数，则，解得，

所以a的取值范围是：.

故选：B

7．已知二次函数的图象与轴交于点与，其中，方程的两根为，则下列判断正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将方程的两根为的问题，转化为转化为的图象与有两个交点的问题，数形结合，可得答案.

【详解】由题意可知方程的两根为，

即的两根为，则可转化为图象与有两个交点问题，两交点横坐标为，

当时，不妨设的图象如图示：

函数与抛物线的交点如图示，则；

当时，不妨设的图象如图示：

函数与抛物线的交点如图示，则；

综合上述，可知，

故选：C

8．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，如果关于的方程恰有7个不同的实数根，那么的值等于（    ）

A．5 B．－4 C．4 D．－5

【答案】A

【分析】作出函数的图象，结合题意可得出关于的方程的两根，再利用韦达定理即可得解.

【详解】解：函数是定义域为的偶函数，

当时，，

作出函数的图象，如图所示，

因为关于的方程恰有7个不同的实数根，

所以或，

所以，

所以.

故选：A.

二、多选题

9．已知集合，，若，则实数a的可能取值（    ）

A．0 B．3 C． D．

【答案】ACD

【解析】由集合间的关系，按照、讨论，运算即可得解.

【详解】∵集合，，，

当时，，满足题意；

当时，，要使，则需要满足或，

解得或，

a的值为0或或.

故选：ACD.

10．若函数对定义域中的每一个都存在唯一的，使成立，则称为“影子函数”，以下说法正确的有（    ）

A．“影子函数”可以是奇函数

B．“影子函数”的值域可以是

C．函数是“影子函数”

D．若，都是“影子函数”，且定义域相同，则是“影子函数”

【答案】AC

【分析】根据新定义举例判断．

【详解】，在其定义域内，对任意的，存在，使得成立，是“影子函数”，它也是奇函数；A正确；

若“影子函数”值域是R，则当满足时，不存在，使得，B错误；

，对任意的，，是唯一的，C正确；

若，，，不是“影子函数”，如，，或时，都有，不唯一，D错误．

故选：AC．

11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（    ）

A．函数为偶函数

B．函数的值域是

C．若且为有理数，则对任意的恒成立

D．在图象上不存在不同的三个点，，，使得为等边三角形.

【答案】ABC

【分析】由函数的奇偶性，值域的概念，周期性，对选项逐一判断

【详解】对于A，由得，故为偶函数，故A正确，

对于B，的值域是，故B正确，

对于C，当且为有理数时，若为有理数，则为有理数，

若为无理数，则为无理数，故，故C正确，

对于D，取得为等边三角形，故D错误，

故选：ABC

12．已知函数的最小值为0，（为自然常数，），则下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】AD

【分析】由已知得当时，，对于AC，当时，为上的减函数，则，代入解不等式得解；对于BD，当时，由对勾函数在上单调递减，在上单调递增，判断的单调性，求出最小值即可判断.

【详解】由函数的最小值为0，

当时，，即，

故当时，的值域为的子集，即

对于AC，当时，为上的减函数，

又，则，即，故A正确，C错误；

当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，

对于B，当时，对勾函数在上单调递增，

则函数在上单调递减，由A知，，故B错误；

对于D，当时，对勾函数在上单调递减，

则函数在上单调递增，又，

则，即，故D正确；

故选：AD

三、填空题

13．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是_________.

【答案】

【分析】根据函数的单调性及奇偶性可得，根据一元二次不等式的解法即可得解.

【详解】解：由题意可得，

即，解得或，

所以不等式的解集是.

故答案为：.

14．若函数的值域为，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】分，和三种情况讨论，结合一次函数与二次函数的性质求出函数在对应区间的值域，再根据题意列出不等式，从而可得出答案.

【详解】解：当时，，

当时，，，

，，

则此时函数的值域不是，

故不符合题意；

当时，，，

，，

则此时函数的值域不是，

故不符合题意；

当时，，，

，，

因为函数的值域为，

所以，解得，

综上所述实数的取值范围是.

故答案为：.

15．设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________.

【答案】[1,13]

【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围.

【详解】二次函数f(x)对称轴为，

∵f(x)值域为，

∴且，n＞0.

，

∵

====

∴，，

∴∈[1,13].

故答案为：[1,13].

四、双空题

16．若集合，，则_________（用列举法表示），集合与集合的关系为：A____B（填入适当的符号）.

【答案】         

【分析】由集合及集合中元素与的关系知是由集合的子集构成的集合，应用列举法写出集合，即可得到答案

【详解】因为，，

所以集合中的元素是集合的子集：，

所以集合，

因为集合是集合的一个元素，所以，

故答案为：；

五、解答题

17．设全集为，，.

(1)若，求；

(2)若，是否存在实数使得是的_________，存在求实数的取值范围，不存在请说明理由.

请在_________处从“①充分不必要条件”、“②必要不充分条件”中选择一个再作答.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据题意可得，结合分式不等式解法运算求解；（2）若选择①：分析可得包含关系，根据真子集的概念列式运算；若选择②：分析可得包含关系，根据真子集的概念列式运算.

【详解】（1）当时，，

因为需满足，解得，所以.

所以.

（2）若选择①充分不必要条件，则是B真子集，

因为，故，

不等式无解，即不存在实数使得是的充分不必要条件.

若选择②必要不充分条件，则是A的真子集，

所以，解得，

所以实数的取值范围为.

18．已知，命题p：，恒成立；命题q：存在，使得.

（1）若p为真命题，求m的取值范围；

（2）若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）命题为真命题时，转化为，求的取值范围；（2）当命题为真命题时，即，再求当两个命题一真一假时，的取值范围的交集.

【详解】（1）∵，

∴，解得，故实数的取值范围是             

（2）当q为真命题时，则，解得                          

∵p，q有且只有一个真命题

当真假时，，解得：

当假真时，，解得：

综上可知，或                   

故所求实数的取值范围是或.

19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+4x+1．

(1)求f（x）的解析式；

(2)当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求f（x）的最大值g（t），并求函数g（t）的最小值．

【答案】(1)

(2)，的最小值为

【分析】（1）由已知偶函数定义结合已知区间上函数解析式即可求解；

（2）由已知函数，结合对称轴与已知区间的位置关系，分类讨论可求．

【详解】（1）若，则，则，

为偶函数，则，

故.

（2）当时，，开口向上，对称轴，

当时，，函数最小值为；

当时，，函数最小值大于.

故，.

20．已知集合具有性质：对任意，（），与至少一个属于.

(1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；

(2)证明：；

(3)具有性质，当时，求集合.

【答案】(1)集合具有性质，集合不具有性质，理由见解析

(2)证明见解析

(3).

【分析】（1）由性质定义判断，

（2）由性质定义证明，

（3）由（2）得，再由性质定义求解，

【详解】（1）集合具有性质，集合不具有性质

理由如下：

对集合，由于

所以集合具有性质；

对集合，由于，故集合不具有性质.

（2）由于，则 ，故，

，故得证.

（3）由于，故，

又，故，

又，故，

.

因此集合.

21．已知函数，，.

(1)若，方程有解，求实数的取值范围；

(2)若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围；

(3)设，记为函数在上的最大值，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用在上的单调性转化为求函数值域；

（2）转化为在上，，分类讨论求的最大值，然后可得参数范围；

（3）根据绝对值的意义求得的表达式，然后由的单调笥得最小值．

【详解】（1），

因为函数的图象的对称轴是直线，

所以在上为减函数.

故的取值范围为.

（2）∵对任意的，总存在，使得，

∴在上，，                                       

∵函数图象的对称轴是直线，又

∴当时，函数有最大值为，

①当时，，不符合题意，舍去.

②当时，在上的值域，

∴，得，             

∴；

③当时，在上的值域为，只需，∴.

综上，的取值范围为.

（3）函数为的对称轴为，

当或时，在上单调递增，

则；

当时，，

解，得，

故当，.

综上，.

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴时取最小值为.

22．定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点，已知函数.

(1)当，时，求函数的不动点；

(2)若函数有两个不动点，且图像上两个点、的横坐标恰是函数的两个不动点，且、的中点在函数的图像上，求的最小值.（参考公式：，的中点坐标为）

【答案】(1)不动点为3和；

(2)

【分析】（1）根据不动点定义令，则有，解出即可；

（2）令，化简得到，利用韦达定理和中点公式得到，最终得到的最小值，再代回检验即可.

【详解】（1），令，

则得或，所以函数的不动点为3和；

（2）令，则.①

则方程①有两个不等实根，，且，满足，，

可设，（）.

因为的中点在函数上，所以

，

∴，

∴.

所以当，即时，，此时满足，成立.

【点睛】本题考查函数新定义，不动点理论在函数与数列中具有重要的意义，对于这类具有丰富数学内涵的新定义问题，一定要充分理解其定义，根据其定义解题，本题还涉及韦达定理，中点公式（题目末尾给出，要注意既然给出此公式一定会运用），题目关键是的两种表达，这样得到关于的方程，再用表示，再求出此函数的最值即可，最后不忘回头检验此时是否大于0.