2022-2023学年河南省南阳市高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年河南省南阳市高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．若，则（　　）

A．0 B．

C． D．

【答案】A

【分析】由常数的导数为0即可得解.

【详解】∵，∴.

故选：A.

2．数列的第5项为（　　）

A．0 B．

C． D．

【答案】C

【分析】取，直接计算即可.

【详解】数列的第5项为.

故选：C

3．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题．若第一天织布5尺（市制长度单位），从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，现1个月（按30天计）共织390尺布，则第2天比前一天多织布（　　）尺．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设第2天比前一天多织布尺，然后根据题意结合等差数列的求和公式列方程可求得结果.

【详解】设第2天比前一天多织布尺，

根据题意得，解得，

所以第2天比前一天多织布尺，

故选：D

4．设等比数列的前项和为10，前项和为60，则该数列的前项和为（　　）

A．360 B．720

C．1560 D．1800

【答案】C

【分析】运用等比数列依次n项的和仍为等比数列求解即可.

【详解】设等比数列的前n项和为，公比为，

则，，，，成等比数列，公比为，

因为，，

所以

所以，

所以，

所以，

所以.

故选：C.

5．设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，则数列的前2023项的积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据导数几何意义得切线方程，进而得，再求乘积即可.

【详解】解：因为，

所以，曲线在点处的切线斜率为，

所以，曲线在点处的切线方程为，

所以，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，

所以，数列的前项的积为，

所以，数列的前2023项的积为.

故选：D

6．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是，那么将二进制数转换成十进制数的形式是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意利用等比数列求和公式直接计算得到答案.

【详解】二进制数转换成十进制数的形式是：

.

故选：D

7．若数列的前项和为，则“”是“数列是等差数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】必要性显然成立；由，，得①，同理可得②，综合①，②，得，充分性得证，即可得到本题答案.

【详解】必要性显然成立；下面来证明充分性，

若，所以当时，，

所以，化简得①，

所以当时，②，

①②得，所以，即数列是等差数列，充分性得证，所以“”是“数列是等差数列”的充要条件.

故选：C.

【点睛】本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.

8．现有长为的铁丝，要截成小段，每段的长度为不小于的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【分析】不构成三角形的条件就是任选三条线段较小两条之和不超过最长线段，因n段之和为定值，欲n尽可能的大，按从小到大排序后，必须每段的长度尽可能小，即：保证前两段最短的情况下，使得第三项等于前两项之和便不能构成三角形.

【详解】截成的铁丝最小为1，因此第一段为1，

因n段之和为定值，欲n尽可能的大，则必须每段的长度尽可能小，

所以第二段为1，

又因为任意三条线段都不能构成三角形，

所以三条线段中较小两条之和不超过最长线段，

又因为每段的长度尽可能小，

所以第三段为2，

为了使得n最大，因此要使剩下的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻两段之和，

依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34，以上各数之和为88，与89相差1，因此可以取最后一段为35，

这时n达到最大为9.

故选：B.

二、多选题

9．已知递增数列满足，，则下列说法正确的有（　　）

A．若数列为等差数列，则

B．若数列为等差数列，则

C．若数列为等比数列，则

D．若数列为等比数列，则

【答案】AC

【分析】考虑数列为等差数列和等比数列两种情况，分别计算首项和公差公比，再依次带入每个选项计算得到答案.

【详解】若数列为等差数列，则，，

解得或（舍去），故，，解得，

若数列为等比数列，，，

解得或（舍去），，，解得，

对选项A：，正确；

对选项B：，错误；

对选项C：，正确；

对选项D：，错误；

故选：AC

10．若，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】对求导，令即可求出的值可判断A，B；将的值代入可得，再令可求出值可判断C，D.

【详解】由可得：，

令，则，

解得：，故B正确，A不正确；

所以，令，则，

故C正确，D不正确

故选：BC.

11．若数列为等差数列，为其前项和，，，，则下列说法正确的有（　　）

A．公差 B．

C． D．使的最小整数为14

【答案】ABD

【分析】根据题设得到，，，再根据等差数列求和公式和等差数列性质依次判断每个选项得到答案.

【详解】，则；，则；

，则，

对选项A：，故，正确；

对选项B：，正确；

对选项C：，故，错误；

对选项D：，，正确.

故选：ABD

12．某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（　　）

附：

A．50 B．45 C．40 D．35

【答案】AB

【分析】可设男生有人，依题意填写列联表，计算，对照临界值列出不等式求得的取值情况．

【详解】可设男生有人，依题意得女生有人，填写列联表如下：

若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则，

即，解得，

由题意知，且是5的整数倍，所以满足题意．

故选：AB．

三、填空题

13．若，则________．

【答案】/0.5

【分析】求出导函数，代入可得．

【详解】由已知，所以．

故答案为：．

14．一个等比数列的公比，且它的每一项都是它后面两项的等差中项，则公比________．

【答案】

【分析】确定，得到，解得答案.

【详解】，故，，则，

解得，（舍）

故答案为：

15．已知数列满足：，，，则________．

【答案】1或8.

【分析】通过，结合的表达式，依次求得，即可得出答案.

【详解】因为，，

若为奇数，则，解得：，不合题意；

若为偶数，则，解得：，符合题意；

若为奇数，则，解得：，符合题意；

若为偶数，则，解得：，符合题意；

故答案为：1或8.

四、双空题

16．设是数列的前项和，且满足，且，则________，________．

【答案】          /

【分析】利用通项和求和公式的关系得到，确定数列是首项为4，公差为4的等差数列，计算得到，再计算得到答案.

【详解】，则，解得，（舍去负值），

当时，，整理得到，

故数列是首项为4，公差为4的等差数列，故，

，故，验证时满足，故；

.

故答案为：；.

五、解答题

17．（1）求函数的导函数；

（2）求曲线在点处的切线方程．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用导数的运算法则可求得；

（2）求出、，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.

【详解】解：（1）因为，

则；

（2）因为，则，所以，，，

所以，曲线在点处的切线方程为，即.

18．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】证明过程见解析

【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.

选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；

选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.

【详解】选①②作条件证明③：

[方法一]：待定系数法+与关系式

设，则，

当时，；

当时，；

因为也是等差数列，所以，解得；

所以，，故.

[方法二] ：待定系数法

设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，

则，将代入，

化简得对于恒成立．

则有，解得．所以．

选①③作条件证明②：

因为，是等差数列，

所以公差，

所以，即，

因为，

所以是等差数列.

选②③作条件证明①：

[方法一]：定义法

设，则，

当时，；

当时，；

因为，所以，解得或；

当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；

当时，，不合题意，舍去.

综上可知为等差数列.

[方法二]【最优解】：求解通项公式

因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.

【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.

19．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化､减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得，，，，.

（1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合；

（2）求关于的线性回归方程，用所求回归方程预测该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨？

参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

【答案】（1）答案见解析；（2）252.5吨.

【分析】（1）利用相关系数，代入数据求出，相关系数绝对值越大，相关性越强即可判断.

（2）由，，代入系数即可求出回归直线方程，再将代入即可求解.

【详解】（1）由题意知，相关系数.

因为与的相关系数接近1，

所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.

（2）由题意可得，，

，

所以.

当时，，

所以该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为252.5吨.

20．已知等差数列的公差为，其前项和为，若，且是和的等比中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等差数列前项和公式、通项公式及等比数列性质列出方程组，求出首项与公差，由此能出数列的通项公式；

（2）求出，从而，由此利用裂项相消求和法可求得．

【详解】（1）根据题意，可得，解之得，

数列的通项公式为．

（2）由（1）可知，，

，

数列的前项和．

21．设等差数列的前项和为，且，．

(1)求数列的通项公式;

(2)设数列满足 ，求的前项和.

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由基本量法列方程组解得，得通项公式；

（2）求出通项公式，用错位相减法求和．

【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为.

由，得，

解得，

所以；

（2）由可得

当时，，

当时，

所以，，

又，

两式相减得

所以

22．已知数列中，，点在直线上，其中

(1)令，求证：数列是等比数列；

(2)求数列的通项公式；

(3)设数列的前项和为，是否存在实数，使得数列为等差数列?若存在，试求出，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)存在，

【分析】（1）先由题意得到，再由，得到，即可证明结论成立；

（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出数列的通项；

（3）求得数列的前项和，把代入，进而推断当且仅当时，数列是等差数列．

【详解】（1）由已知得，即，又，

又

数列是以－1为首项，以为公比的等比数列.

（2）由（1）知，，

将以上各式相加得：，

（3）存在，使数列是等差数列．

由（1）可知：．

，

当且仅当，即时，，数列为等差数列．