河南省南阳市南召县2022-2023学年高一下学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省南阳市南召县2022-2023学年高一下学期期中数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了答题前考生务必将自己的姓名等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前考生务必将自己的姓名．考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上
2．回答选择题时，选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回．
一、选择题（每题5分 共40分）
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式计算可得出的值.
【详解】，
故选：B.
2. 函数的最小正周期为π，将的图象向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最小正周期求出，写出平移后的解析式，根据其为偶函数得到，，根据的范围即可得到答案.
【详解】由最小正周期，可得，
的图象向左平移个单位长度后为偶函数的图象，
故，，，．
，，
故选：B．
3. 函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后利用特殊值及排除法判断即可.
【详解】因为，则，解得且，
所以函数的定义域为，
令，则，即为偶函数，
又为奇函数，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除D，
又，故排除B、C；
故选：A
4. 已知某摩天轮的半径为，其中心到地面的距离为，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（ ）
A. 分钟B. 分钟C. 分钟D. 分钟
【答案】B
【解析】
【分析】求出游客到地面的距离为关于转动时间（单位：分钟）的函数关系式，然后解不等式，可得出结果.
【详解】设游客到地面的距离为，设关于转动时间（单位：分钟）的函数关系式为，
则，，可得，
函数的最小正周期为，则，
当时，游客位于最低点，可取，
所以，，
由，即，可得，
所以，，解得，
因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有分钟.
故选：B.
5. 若，，，的夹角为，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积的定义，即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
故选：B.
6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论错误的是（ ）
A. B. 为直角三角形
C. 若，则外接圆半径为5D. 若P为内一点，满足，则与的面积相等
【答案】C
【解析】
【分析】AB选项，由正弦定理得到，并判断出三角形为直角三角形；C选项，由正弦定理求解外接圆半径；D选项，经过分析得到点在三角形的中线上，得到答案.
【详解】A选项，由正弦定理得，A正确；
B选项，由A知，故，故为直角三角形，B正确；
C选项，由B知，，因为，由正弦定理得，
故外接圆半径为，C错误；
D选项，取的中点，则，
因为，所以，
即点在三角形的中线上，故与的面积相等，D正确.
故选：C
7. 在中，的角平分线交于点，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先在中，由余弦定理求得，即可知为等腰三角形，再解出和，然后在中，由正弦定理求解即可.
【详解】
如图所示，在中，由余弦定理得
，
∴，∴等腰三角形，，，
又∵为角平分线，∴，
∴在中，，
由正弦定理得得，
.
故选：A．
8. 某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A，B，C三点恰好共线，则（ ）
A. 7B. C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示可得.
【详解】由图可知，
所以，，
因为，所以，解得.
故选：C
二、多选题（每题5分 共20分）
9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 该图象对应的函数解析式为B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称D. 函数在区间上单调递减
【答案】AB
【解析】
【分析】先依据图像求得函数的解析式，再去代入验证对称轴、对称中心、单调区间，即可判断.
【详解】由图象可知，，即，所以，
又，可得，又因为，所以，
所以，故A正确；
当时，，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
当时，，
故函数的图象不关于点对称，故C错误；
当时，则，因为在上不单调，
所以函数在上不单调递减，故D错误．
故选：AB
10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）
A. 筒车转动角速度
B. 当筒车旋转50秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为
C. 当筒车旋转50秒时，盛水筒M和初始点的水平距离为
D. 盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，
所以，因此A正确；
B：因为当时，盛水筒位于点，所以，
所以有，因为，所以，
即，
所以，因此B正确；
C：由B可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为，
所以有，因为筒车旋转秒时，所以此时盛水筒在第三象限，故，盛水筒和初始点的水平距离为，因此C错误；
D：因为，所以筒车在秒的旋转过程中，
盛水筒第一次到达最高点所需要的时间是，因此D正确.
故选：ABD.
11. 下列说法错误的是（ ）
A. 若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
B. 若，则一定有使得
C. 若，且，则和在上的投影向量相等
D. 若，则与的夹角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量共线，数量积的几何意义，以及向量夹角和模的公式，即可判断选项.
【详解】A. 若与是共线向量，则与方向相同或相反，点A，B，C，D不一定在同一条直线上，故A错误；
B. 若，，时，不存在使得，故B错误；
C.根据投影向量的定义和公式，可知C正确；
D.由，两边平方后得，且，两边平方后得，
，，
所以与的夹角为，故D错误.
故选：ABD
12. 如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH，其中，则以下结论正确的是（ ）
A. 与的夹角为B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量的夹角及向量的模的公式的坐标表示，结合向量的线性运算及向量的数量积的坐标表示即可求解.
【详解】由题意可知，分别以所在的直线为轴和轴，建立平面直角坐标系如图所示，
因为正八边形ABCDEFGH，
所以,
作,则,
因为，
所以，
所以，
同理可得其余各点坐标：, ,,,，
对于A，由，，得 ，
而，
所以与的夹角不为，故A错误
对于B，由，得，故B正确；
对于C，由，所以，故C正确；
对于D，由，得，故D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算即可.
三、填空题（每题5分 共20分）
13. 计算的结果为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用诱导公式化简，结合特殊角的三角函数值可得结论.
【详解】因为，
，
，
所以，
故答案为：.
14. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】由函数图象求得参数，可得的解析式，根据图象的平移变换即得的解析式，即可求得答案.
【详解】由的图象可知，
故，则，
则,即，
而，故，所以，
则，
故，
故答案为：
15. 已知向量，满足，，，则向量，的夹角为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】设与的夹角为，，得到，解得答案.
【详解】设与的夹角为，，
则，解得，
，故.
故答案为：
16. 设，，，为空间中4个单位向量，满足，，，且．则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设，得到，由题意求得，设，转化为且，进而求得，得到，即可求解.
【详解】设，且，
因为，可得，
又由，
因为，可得，
设，可得，
代入上式，可得且，
所以，所以，
即的最小值为.
故答案为：.
四、解答题（共70分）
17. 已知向量，，函数.
（1）求的最小正周期以及单调递增区间；
（2）将的图象向左平移单位后得到的图象，当，求的值域.
【答案】（1），增区间
（2）
【解析】
【分析】（1）求得，根据周期公式可求得最小正周期，令可求得单调递增区间；
（2）由求得，再根据正弦函数的性质即可求解.
【小问1详解】
由题意知：，
所以，
令，则
所以的最小正周期为，增区间为.
【小问2详解】
由题意知：
所以当时，
所以.即的值域为.
18. 在锐角中，角的对边分别是，，，若
（1）求角的大小；
（2）若，求中线长的范围（点是边中点）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理进行边角转化，可得到，从而求出结果；
（2）先利用向量的中线公式得到，再利用正、余弦定理及条件求出的范围，进而求出结果.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得：
即，所以，
因为，所以，所以，因为，所以.
【小问2详解】
由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，
因为点D是边BC中点，所以，两边平方可得:
，
所以，
因为，又，，
所以,
又因为为锐角三角形， 所以，，得到，
所以，由的图像与性质知，，
所以，所以，得到
故.
19. 如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．

（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量线性运算即可求解，
（2）利用向量垂直数量积为0即可求解.
【小问1详解】

在直角三角形中，，
，
,
，所以
；
【小问2详解】
所以，解得或，由于，故，
存在实数，使得.
20. 已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．
（1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数的图象经过点；
条件②：是的对称中心；
条件③：是的对称中心．
（2）根据（1）中确定，若的值域为，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到和，再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解；
（2）先求出所在的范围，正弦函数的性质得到，解得即可.
【小问1详解】
因为在区间上单调，所以，
因为，且，解得；
又因为是函数的对称轴，所以；
若选条件①：因为函数的图象经过点，所以，
因为，所以， 所以，，即，
当时，，满足题意，故.
若选条件②：因为是的对称中心，所以，
所以，，此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数解析式.
若条件③：因为是的对称中心，所以，
所以，，解得，所以.
【小问2详解】
由（1）知，
因为，所以，
又在上的值域为，
所以，解得，即.
21. 已知的内角的对边分别为，设.
（1）求；
（2）现给出三个条件：① ② ③.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的方案，并以此为依据求的面积（写出一种方案即可）
【答案】（1）
（2）选①②：；选①③：
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理求解即可；
（2）选①②：由正弦定理可得，再根据结合三角形面积公式求解即可；选①③：由余弦定理可得，再根据三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
由正弦定理可得，，即，由余弦定理，又，故.
【小问2详解】
选①②：由正弦定理，可得，又，故
选①③：
由余弦定理：，故，解得，此时，.
选②③：由可得，三角形不存在.
22. 若函数满足，且，，则称为“型函数”.
（1）判断函数是否为“型函数”，并说明理由；
（2）已知为定义域为的奇函数，当时，，函数为“型函数”，当时，，若函数在上的零点个数为9，求的取值范围.
【答案】（1）函数是“型函数”，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）判断出关于直线对称，且最小正周期为，由定义可判断出答案；
（2）由题意得到的零点为，0，1，即或或，由对称性和周期性画出在上的图象，数形结合求出.
【小问1详解】
由，得，所以的周期为，
由，，得的图象关于直线对称，
因为，所以的图象关于直线对称，
又的最小正周期为，所以函数是“型函数”.
【小问2详解】
令，得，因为是定义域为的奇函数，所以的零点为，0，1.
令，所以或0或1，即或或.
画出在上的图象，由的图象关于直线对称，
可画出在上图象.由的最小正周期为，
可画出在上的图象.
故在上的图象如图所示，
所以函数在上的零点个数等于在上的图象与直线，，的交点个数之和.
当，即时，在上的图象与直线，，的交点个数之和为9.
故的取值范围为
【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.