2022-2023学年河南省开封市杞县高中高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年河南省开封市杞县高中高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先设复数，再根据复数模的公式，以及复数相等，即可求解.

【详解】设，，

所以，所以，

解得：，

所以.

故选：C

2．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（    ）

A． B． C． D．4

【答案】C

【分析】由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再根据圆锥的母线、高和底面半径的关系求高.

【详解】因为底面半径，

所以母线长，

所以圆锥的高.

故选：C

3．复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】利用复数除法化简复数，再根据复数的几何意义即可得到答案．

【详解】，

所以复数对应的点坐标为，该点是第三象限点，

故选：C．

4．对于向量、，“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用向量平行和相等可以进行判断.

【详解】因为时一定有，

所以“”是“”的必要条件，

但时，两个向量不一定相等，

如零向量与任意非零向量都平行，但不相等，

所以“”是“”的不充分条件.

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B．

5．用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（　　）

A． B．2 C．4 D．

【答案】D

【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积.

【详解】根据斜二测画法的原则可知，

所以对应直观图的面积为.

故选：D.

6．设复数z的辐角的主值为，虚部为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出复数z，再求出.

【详解】由复数z的辐角的主值为可设复数.

因为虚部为，所以，解得：.

所以.

所以.

故选：A

7．已知向量，若三点不能构成三角形，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用向量共线的坐标表示列方程求参数k.

【详解】若三点不能构成三角形，则三点共线，即，

所以，得1.

故选：D

8．已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（    ）

A．30 B．15 C．10 D．60

【答案】B

【分析】通过补体，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，求四棱柱的体积，斜三棱柱的体积是四棱柱的体积的一半.

【详解】如图，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，以斜三棱柱的一个侧面为四棱柱的底面，面积为，高，四棱柱的体积，

则此斜三棱柱的体积为.

故选：B.

二、多选题

9．下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（    ）

A．|z|＝ B．z2＝2i

C．z的共轭复数为 D．z是关于x的方程的一个根

【答案】ABD

【分析】利用复数的相关概念以及复数的运算进行计算求解.

【详解】因为，所以，故A正确；

因为，故B正确；

因为z的共轭复数为，故C错误；

因为方程，所以，

所以方程的根为，故D正确.

故选：ABD.

10．已知向量满足，，且，则（    ）

A． B．

C．与的夹角为 D．与的夹角为

【答案】AC

【分析】根据数量积的运算律，结合已知即可推出，得出A项；进而即可根据数量积的运算律，判断B、C、D项.

【详解】由已知可得，.

又，，

所以，所以.

对于A项，因为，故A正确；

对于B项，因为，故B项错误；

因为，所以与的夹角为，故C正确，D错误.

故选：AC.

11．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则下列说法正确的是（    ）

A．圆锥的高是 B．圆锥的母线长是4

C．圆锥的表面积是 D．圆锥的体积是

【答案】BD

【分析】根据圆锥侧面展开图可求得圆锥母线和高，进而得到其体积和表面积，即可判断出正确选项.

【详解】设圆锥母线为，高为，

侧面展开图的弧长与底面圆周长相等，由弧长公式得，即；

所以圆锥的母线长是4，即B正确；

高为，所以选项A错误；

圆锥的表面积是，故C错误；

圆锥的体积是，即D正确.

故选：BD

12．在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（    ）

A．若，则只有一解

B．若，则是锐角三角形

C．若，则.

D．若，则的形状是等腰或直角三角形

【答案】ACD

【分析】对于A，利用正弦定理及特殊角三角函数值直接求解即可；对于B，利用向量的数量积的定义即可求解；对于C，利用正弦定理直接进行判断；对于D，利用正弦定理及两角和的正弦展开式化简计算求解.

【详解】对于A，由正弦定理，则，因为，所以，只有一解，故A正确；

对于B，若，则，则为锐角，无法确定，不一定是锐角三角形，故B错误；

对于C，由正弦定理，又，可得，故C正确；

对于D，已知，

由正弦定理可得，

因为，所以，

即，

则，解得或，

所以，或，

所以的形状是等腰或直角三角形，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知非零向量满足，且，则____.

【答案】4

【分析】根据向量加减运算及向量的模长可得出平行四边形OACB是矩形，由矩形对角线相等得解.

【详解】如图所示，设，，

则，

以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则，

由于，

故，

所以是直角三角形，，

从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形，

根据矩形的对角线相等得，即.

故答案为：4

14．已知复数是方程的两个根，则__________．

【答案】

【分析】由题意求出，代入化简，可得答案.

【详解】由复数是方程的两个根，则不妨取，

故，

故答案为：

15．在中，角所对的边分别为，，，，且面积为，若，则______．

【答案】3

【分析】根据三角形面积解得，代入解得或；然后根据余弦定理求得.

【详解】解得：；

又，代入得：或；

根据余弦定理得：，

解得：；

故答案为：3

16．已知圆柱的全面积为，圆柱内有一平行于圆柱轴的截面，截面面积为，且截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为，则圆柱的体积是______.

【答案】

【分析】依题意画出图形，根据面积之比求出弦所对的圆心角，从而求出，设底面半径为、圆柱的高为，根据面积公式得到方程组，解得、，最后根据体积公式计算可得.

【详解】解：因为截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为，

可知由圆柱底面圆心向截面与底面的两个交点连线形成的圆心角，即弦所对的圆心角为，

设底面半径为，则弦，

设圆柱的高为，则，

解得或（舍去），

所以圆柱的体积.

故答案为：

四、解答题

17．如图，在菱形中，.

(1)若，求的值；

(2)若，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知，即可求解；

（2），从而即可求解.

【详解】（1）因为在菱形中，.

故，

故，所以.

（2）显然，

所以

①，

因为菱形，且，，

故，.

所以.

故①式.

故.

18．已知复数，其中i为虚数单位，.

(1)若z是纯虚数，求m的值；

(2)z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）z是纯虚数需要满足实部等于0，虚部不等于0，即可求出结果；

（2）z在复平面内对应的点在第二象限，需要满足实部小于0，虚部大于0.

【详解】（1）因为z是纯虚数，

所以，

解得.

（2）因为z在复平面内对应的点在第二象限，

所以，

解得，

所以m的取值范围为.

19．在中,角的对边分别为,且满足.

(1)求角;

(2)若为边的中点,且,,求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由正弦定理将边化角,然后利用内角和定理将转化成即可求解;(2)分别在两个三角形中用余弦定理即可求解出各边长,从而求出周长.

【详解】（1）在中因为,

由正弦定理得,

所以,

即,

又因为,,所以,

所以.

（2）取边的中点,连接,则，

且,，

在中,由余弦定理得:

,

解得,所以.

在中,由余弦定理得:

所以的周长为.

20．如图，正三棱锥中，，点分别为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿三棱锥侧面爬行到点，求：

(1)该三棱锥的体积与表面积；

(2)蚂蚁爬行的最短路线长.

【答案】(1)体积为，表面积为；

(2).

【分析】（1）将△当作底面，将当作三棱锥的高，由三棱锥体积公式即可求得三棱锥的体积；再由求出各个面的面积，由面积公式可得三棱锥的表面积；

（2）将△与延展开，使得两个三角形在同一个平面上，连接，再由余弦定理即可求得最短值.

【详解】（1）因为，

所以，即，

又，VB、VC在面VBC内，得面，

，

（2）情况一，如下图：连接，线段的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，

△中，，

由余弦定理可得：，

即；

情况二，如下图：连接，线段的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，

所以，

由余弦定理可得：，

又，

所以，则；

综上，，因此，蚂蚁爬行的最短路线长为.

21．已知向量，．

(1)若，求的值；

(2)若，求与的夹角的余弦值．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据向量平行列方程，即可求得的值；

（2）根据平面向量垂直列方程，求出的值，再结合坐标运算求与的夹角的余弦值即可．

【详解】（1）因为，，，所以，            

即，所以或．

（2）因为，所以，即

所以，

所以，即，                      

所以,，则，

所以.

22．记的内角，，的对边分别为，，，已知.

(1)求；

(2)若，求周长的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）已知等式结合倍角公式和余弦定理，化简得，可求；

（2）结合正弦定理表示出a和c，进而将周长表示为关于角A的正弦函数，利用正弦函数性质以及A的范围即可求得答案．

【详解】（1），由倍角公式得，

由余弦定理，，化简得，

则，由，得.

（2）由正弦定理得︰ ，

∴ ， ，，

 ，

 由， ，∴， 即（当且仅当时，等号成立），

从而周长的取值范围是