河南省开封市杞县高中2022-2023学年高一下学期第三次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省开封市杞县高中2022-2023学年高一下学期第三次月考数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知复数，i为虚数单位，则复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据可得，再由复数的乘除运算求出，由共轭复数的概念即可求解.
【详解】，
所以.
所以复数的共轭复数为.
故选:C.
2. 圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由球的表面积公式得出其表面积，再由圆锥的展开图求出圆锥的表面积，即可得出答案.
【详解】设球的半径为，则球的表面积为
圆锥的底面圆的周长为，母线长为
则圆锥的表面积为
即圆锥与球的表面积之比为
故选：C
3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照斜二测画法的规则画出原图，计算原图的面积即可求解.
【详解】由题意知：，，
所以，
将直观图还原成平面图形如图所示，
在平面直角坐标系中，在轴上截取，
在轴上截取，过点作轴的平行线，截取，
顺次连接各点可得：
平面图形是上底长为2，下底长为，高为的直角梯形，
所以其面积为.
故选：C.
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若、都是单位向量，则 ＝
B. 若=， 则A、B、C、D四点构成平行四边形
C. 若∥，且∥，则∥
D. 与是两平行向量
【答案】D
【解析】
【分析】按照向量的概念及共线向量依次判断四个选项即可.
【详解】选项A中单位向量方向可以不同，故不一定成立；选项B中A、B、C、D四点可能共线，不能组成四边形；
选项C中当时，、为任意向量；选项D正确，相反向量一对平行向量.
故选：D.
5. 为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：
①样本数据落在区间的频率为0.45；
②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；
③样本的中位数为480万元.
其中正确结论的个数为
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直方图求出，求出的频率，可判断①；求出的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③.
【详解】由，，
的频率为，①正确；
的频率为，②正确；
的频率为，的频率为，
中位数在且占该组的，
故中位数为，③正确.
故选:D.
【点睛】本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题
6. 若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取AC的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量法求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法即得.
【详解】取AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设三棱柱的棱长为2，则，，
所以,，，
设为平面的法向量，由，得，
令，得，
设直线AD与平面所成角为，则
，
所以直线AD与平面所成角的正弦值为．
故选：D.
7. 设向量，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，再根据数量积求解.
【详解】，，，，
设向量与的夹角为，，
则=，；
故选：D.
8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先过点画出与平面平行的平面，然后得出点的轨迹，最后计算的长度取值范围即可.
【详解】如图，分别作的中点，连接，如图，

易得，又平面，平面，故平面，
在正方体中，易得，
所以四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，故平面，
又，平面，所以平面平面，
因为面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，
所以动点在正方形的轨迹为线段，
在三角形中，，，
所以点到点的最大距离为，
最小距离为等腰三角形在边上高为，
所以线段的长度范围为.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是过作出面的平行面，从而求得的运动轨迹，由此得解.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过倍．某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对头生猪的体重（单位：）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A. 这头生猪体重的众数为
B. 这头生猪中体重不低于的有头
C. 这头生猪体重的中位数落在区间内
D. 这头生猪体重的平均数为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用最高矩形底边的中点值作为众数可判断A选项的正误；计算出生猪中体重不低于所占的频率，乘以可判断B选项的正误；根据中位数左边的矩形面积之和为可判断C选项的正误；根据频率分布直方图计算出样本数据的平均数，可判断D选项的正误.
【详解】由频率分布直方图可知，这一组的数据对应的小长方形最高，所以这头生猪的体重的众数为，A错误；
这头生猪中体重不低于的有（头），B正确；
因为生猪的体重在内的频率为，
在内的频率为，且，
所以这头生猪体重的中位数落在区间内，C正确；
这头生猪体重的平均数为，
D正确．
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法
（1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示，频率=组距，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率．
（2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标．
（3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．
（4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和．
10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点、，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 平面ABCD
C. 三棱锥的体积为定值D. 的面积与的面积相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】证明平面，可判断A选项的正误；利用面面平行的性质可判断B选项的正误；利用锥体的体积公式可判断C选项的正误；判断到线段的距离与到线段的距离的关系，即可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，连接、，
因为四边形为正方形，则，
平面，平面，，
平面，，
所以平面，
因为平面，因此，A选项正确；
对于B选项，因为平面平面，平面，
所以平面，B选项正确；
对于C选项，因为面积为，
点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，C选项正确；
对于D选项，设，取的中点，连接、，
由A选项可知，平面，即平面，
平面，则，
因为且，故四边形为平行四边形，
则且，
因为、分别为、的中点，故且，
所以四边形为平行四边形，
平面，平面，所以，
故四边形为矩形，所以，
平面，所以平面，
平面，，，
所以，D选项错误.
故选：ABC.
11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=4，sinA=，tanC=7，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. △ABC中的面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，由tanC=7可求出，，再结合sinA=，可得角为锐角，从而可求出的值，对于B，利用两角和的余弦公式可求得的值，从而可求出角，对于C，利用正弦定理求解即可，对于D，利用三角形的面积公式直接求解即可
【详解】对于A，由题意得，所以，因为，所以，，因为，所以，由正弦定理得，所以，所以，所以，所以A错误，
对于B，
，
因为，所以，所以B正确，
对于C，由正弦定理，得，所以C正确，
对于D，，所以D错误，
故选：BC
12. 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 点的坐标为B.
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用复数的几何意义可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数模的三角不等式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，因为，则，A对；
对于B选项，由共轭复数的定义可得，B对；
对于C选项，，则，
，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为，C对；
对于D选项，，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为，D错.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若复数满足，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求得复数，根据复数模的计算即可求得答案.
【详解】由复数满足可得，
所以,
故答案为：.
14. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为_________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用标准差的计算公式，求解即可
【详解】因为，
所以
，所以.
故答案为：
15. 已知，，，，，，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】依题意得到，从而利用向量数量积的运算即可得解．
【详解】因为，所以，则，
又，，，
所以，即，故.
故答案为：．
16. 正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为______．

【答案】##
【解析】
【分析】在正方体右侧作出一个全等的正方体，从而得到与所成角，再利用余弦定理即可得解.
【详解】在正方体右侧作出一个全等的正方体，连接，如图，

易知，所以四边形是平行四边形，则，
所以是与所成角的平面角或补角，
不妨设正方体的棱长为，
则在正方体中，，
在中，，
在中，，
所以在中，，
所以与所成角的余弦值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到与所成角的平面角，解决方法是在正方体右侧作出一个全等的正方体，由此得解.
四、解答题：本题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，.
（1）用、表示向量、；
（2）若向量与共线，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知为的中点，利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式；
（2）分析可知，存在，使得，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.
【小问1详解】
解：因为，结合图形可知为的中点，
所以，，
因为，则，
所以，.
【小问2详解】
解：因为，
因为向量与共线，则存在，使得，
即，所以，，解得
18. 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．
(1)求直方图中x的值；
(2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若该学校有600名新生，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
(3)由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值．
【答案】(1) (2) 72名(3) 33.6分钟.
【解析】
【分析】（1）利用概率和为列方程即可得解．
（2）计算出新生上学时间不少于1小时的频率为，问题得解．
（3）直接利用均值计算公式求解即可．
【详解】解：（1）由直方图可得：，解得.
（2）新生上学时间不少于1小时的频率为，
因为，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.
（3）由题可知 分钟.
故该校新生上学所需时间的平均值为33.6分钟.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的知识，考查了概率的应用，还考查了平均值的计算公式，属于中档题．
19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是正三角形，是的中点．
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】(1)见证明(2)
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求得的长，利用勾股定理证得，结合，证得平面，由此证得.(2) 连接，利用等体积法进行转化，即，根据（1）得到是三棱锥的高，由此计算出几何体的体积.
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，
由余弦定理得：，
∴，∴，
∵，∴平面，
∴；
（2）
连接，由（1）得平面，，
∵是的中点，，
∴
．
【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查余弦定理解三角形，考查等体积法求几何体的体积，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
20. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin B＝－bsin.
(1)求A；
(2)若△ABC的面积S＝c2，求sin C的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=.(2)先根据△ABC的面积S＝c2得到b＝c，
再利用余弦定理得到a＝c，再利用正弦定理求出sin C的值．
【详解】(1)因为asin B＝－bsin，所以由正弦定理得sin A＝－sin，
即sin A＝－sin A－cs A，化简得tan A＝－，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为A＝，所以sin A＝，由S＝c2＝bcsin A＝bc，得b＝c，
所以a2＝b2＋c2－2bccs A＝7c2，则a＝c，由正弦定理得sin C＝.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
21.
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
【答案】见详解.
【解析】
【详解】（I）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
=
=，
故当时，，此时，
即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

（II）设小艇与轮船在B处相遇，则
，
故，
，，
即，解得，
又时，，
故时，t取最小值，且最小值等于，
此时，在中，有，故可设计方案如下：
航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.
22. 如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).
（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，N为BC的中点.
【解析】
【分析】（1）根据题意，先证明EM⊥平面PBC，再利用面面垂直的判定定理，证明结论；
（2）以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE=EB=2，设N(2，m，0)，求出平面EMN的法向量，利用夹角公式求出m，得到结论.
【详解】解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，
所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD，
故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，
EM⊂平面PEB，故EM⊥BC，
又等腰三角形PEB，EM⊥PB，
BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，
EM⊂平面EMN，
故平面EMN⊥平面PBC；
（2）假设存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值.
以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，
P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，
，，，
设平面EMN的法向量为，
由，令，得，
平面BEN的一个法向量为，
故，
解得：m=1，
故存在N为BC的中点.
【点睛】立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10