2022-2023学年河南省开封市杞县第一高级中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年度高中数学期末考试卷

考试范围：必修一；考试时间：120分钟；总分150

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（共12小题，每题5分，总分60分）

1. 已知全集，集合，集合，则集合的真子集的个数为（）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 7个

【答案】B

【解析】

【分析】先求出，再计算真子集个数即可.

【详解】由题意知：，则，则的真子集的个数为.

故选：B.

2. 设为实数，则““是”“的（）

A充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】分别举出反例否定充分性和必要性，得到答案.

【详解】取，，则，但，不具有充分性；

取，，则，但，不具有必要性；

故选：D.

3. 下列结论中正确的个数是（）

①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；

②命题“”是全称量词命题；

③命题“”的否定为“”；

④命题“是必要条件”是真命题；

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.

【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；

对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；

对于③：命题，则，故③错误；

对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；

所以正确的命题为②④，

故选：C

4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意列出不等式组，求解即可．

【详解】要使有意义，则，即，解得，

所以函数的定义域为．

故选：D．

5. 已知，则的值为（）

A B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出的值，利用两角和的正切公式可求得结果.

【详解】因为，则，因此，.

故选：D.

6. 函数的值域是（）

A. R B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】令，则可得,根据函数为单调减函数，结合，即可确定函数的值域，即得答案.

【详解】令，则,且该函数为单调减函数，

而，

所以，即函数的值域是，

故选：.

7. 化简的结果是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由正切的和角公式得，进而将分子化简整理为，再带入即可得答案.

【详解】解:由得,

所以

,

所以.

故选：B

8. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为（）

A. 15 B. 40 C. 25 D. 13

【答案】C

【解析】

【分析】

这是已知函数值求自变量的问题，又是分段函数，所以分类讨论求解即可．

【详解】解：令，若，则，不合题意；

若，则，满足题意；

若，则，不合题意．

故拟录用人数为25．

故选：．

【点睛】本题考查的是分段函数问题，在解答的过程当中充分体现了应用题的特性、分段函数的知识以及问题转化的思想，属于基础题．

9. 从2015年到2022年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2022年该企业单位生产总值能耗降低了30％．如果这7年平均每年降低的百分率为，那么满足的方程是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设2015年该企业单位生产总值能耗为，根据题意列出2022年该企业单位生产总值能耗得到方程即可.

【详解】设2015年该企业单位生产总值能耗为，

则到2022年该企业单位生产总值能耗为，

由题设可得，即，

故选：D.

10. 已知函数对任意实数都有，并且对任意，总有，则下列不等式正确的是（）

A.  B.  C.  D. 无法确定

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意结合函数单调性的定义和性质运算分析.

【详解】∵对任意，总有，

∴在上单调递增，

故，A错误；

对于，分别令，可得，

故，即，B正确；

，即，C、D错误.

故选：B.

11. 设，则a，b，c的大小关系为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用对数指数的运算性质与中间值比较大小，即可求得结果.

【详解】即；

即；

即.

所以.

故选：D

12. 与图中曲线对应的函数可能是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】判断各选项中函数在区间或上的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，当时，，A选项不满足条件；

对于B选项，当时，，，B选项不满足条件；

对于C选项，当时，，C选项不满足条件；

对于D选项，令，该函数的定义域为，

，故函数为偶函数，

当时，，D选项满足条件.

故选：D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（共4小题，每题5分，总分20分）

13. 命题“，”的否定是_____________．

【答案】“，”

【解析】

【分析】原命题为特称命题，其否定为全称命题.

【详解】“，”的否定是，

故答案为：，

14. 已知，则的值为______.

【答案】##

【解析】

【分析】切化弦展开后化简代入计算即可.

【详解】∵

故答案为：.

15. 已知函数，，，用表示，中的较小者，记为，则函数的最大值为______．

【答案】－4

【解析】

【分析】画出函数图像，找较低图像的最高点.

【详解】画出两函数图像可得，函数与的交点为，

所以，

所以，

故答案为：

16. 下列不等式中，正确的是______．（填序号）

①；②；③；④．

【答案】④

【解析】

【分析】取可判断①；取可判断②；取可判断③；利用基本不等式可判断④.

【详解】对于①，取,则，,不满足，故①错误；

对于②，若,则,不满足，故②错误；

对于③，取，则，故③错误；

对于④，因为，所以，当且仅当时等号成立，故④正确.

故答案为:④.

三、解答题（共6小题，17题10分，其余5题各12分）

17. 已知集合.

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据集合的并集运算即可求得；（2）由可知，对集合是否为空集进行分类讨论，即可求得实数的取值范围.

【小问1详解】

∵集合，，

∴；

【小问2详解】

因为，所以，

当时，则，即；

当时，则，解得；

综上，实数m的取值范围为.

18. （1）已知，求的最小值；

（2）已知，求的最大值．

【答案】（1）4；（2）4.

【解析】

【分析】利用基本不等式结合条件即得.

【详解】（1）由题可知，

所以，，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为4；

（2）因，所以，

所以，当且仅当，即时取等号，

故的最大值为4.

19. 已知函数是偶函数.当时，.

（1）求函数在上的解析式；

（2）若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由函数的奇偶性即可求出函数在上的解析式

（2）由函数在区间上具有单调性，结合函数图像即可求出实数a的取值范围.

【小问1详解】

由题意

在中，当时，

设，则，

∴，

∵为偶函数，

∴，

综上，有

；

【小问2详解】

由题意及（1）得

作出的图像如下图所示：

∵函数在区间上具有单调性，

由图可得或，

解得或；

∴实数a的取值范围是

20. 计算下列各式.

（1）

（2）.

【答案】（1）110（2）3

【解析】

【分析】（1）利用指数幂的运算法则进行求解；

（2）利用对数的运算法则进行求解.

【小问1详解】

原式=.

【小问2详解】

原式

.

21. 已知.

（1）若是第三象限角，且，求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）

（2）3

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式化简得到，根据第三象限角，且求出，代入即可；

（2）根据得到，再利用同角三角函数关系变形得到.

【小问1详解】

,

因为是第三象限角，且，

所以，

故

【小问2详解】

，

故，

由于位于分母的位置，故，故，

故.

22. 已知函数

（1）求的最小值及对应的的集合；

（2）求在上的单调递减区间；

【答案】（1），

（2）

【解析】

【分析】（1）根据正弦函数的最值结合整体思想即可得解；

（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得出答案.

【小问1详解】

解：当，即时，

，

所以，此时的集合为；

【小问2详解】

解：令，

则，

又因，

所以在上的单调递减区间为.