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2021-2022学年河南省开封市杞县宇华实验高中高二(下)期末数学试卷(文科)(含解析)
展开2021-2022学年河南省开封市杞县宇华实验高中高二(下)期末数学试卷(文科)
一、单选题(本大题共12小题,共60.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 设集合A={ y|y=lg|x|},B={x|y= 1−x},则A∩B=( )
A. [0,1] B. (0,1) C. (−∞,1] D. [0,+∞]
2. 已知复数z满足(z−−i)i=4+3i,则|z|=( )
A. 2 5 B. 3 C. 2 3 D. 3 2
3. 某班举行了一次有意思的智力竞猜游戏,首先老师将三只冬奥会吉祥物冰墩墩进行了1、2、3三个数字的标号,然后将它们放入不透明的箱子中,甲、乙、丙三名同学分别进行抽取,并将抽到的冰墩墩的标号告知老师,老师根据三人抽取的号码情况给出了三种说法:
①甲抽取的是1号冰墩墩;
②乙抽取的不是2号冰墩墩;
③丙抽取的不是1号冰墩墩.
若三种说法中只有一个说法正确,则抽取2号冰墩墩的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法判定
4. 下列函数中在(0,+∞)上是单调递增的是( )
A. y=−x+1 B. y=1x C. y=−x2 D. y=|x|
5. 已知x,y,z∈R,且a=x2+2y,b=y2+2z,c=z2+2x,则a,b,c三个数( )
A. 都小于−1 B. 至少有一个不小于−1
C. 都大于−1 D. 至少有一个不大于−1
6. 设m,n为实数,则“0.1m>0.1n”是“lg1m
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 在极坐标系中,曲线C1:ρ=2sinθ,曲线C2:ρ=4cosθ,过极点的直线与曲线C1,C2分别交于异于极点的A,B两点,则|AB|的最大值为( )
A. 5 B. 4 C. 2 5 D. 5
8. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18,且当训练法代轮数为18时,学习率衰减为0.4,则学习率衰减到0.1以下(不含0.1)所需的训练迭代轮数至少为( )
(参考数据:lg2≈0.3010.)
A. 128 B. 130 C. 132 D. 134
9. 已知a,b∈[0,2],则a2−a+|b−a|的最大值与最小值的和为( )
A. 154 B. 4 C. 0 D. 72
10. 定义在R上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)=0,f(x)=f(2−x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x2.则函数y=7f(x)−x+2的所有零点之和为( )
A. 7 B. 14 C. 21 D. 28
11. 已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(12)=1,如果对于0
A. [−1,0)∪(3,4] B. [−1,−12] C. [−4,−3) D. [−1,0)
12. 定义在R上的函数f(x)满足f(−x)=f(x),且当x≥0时,f(x)=−x2+1,0≤x<12−2x,x≥1,若对任意的x∈[m−1,m],不等式f(2−x)≤f(x+m)恒成立,则实数m的最大值是( )
A. −1 B. −2 C. 23 D. 2
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13. 已知函数f(x)=a−x,x<−1(1−2a)x+3a,x≥−1在定义域上是增函数,则实数a的取值范围是______.
14. 如图所示,有三根针和套在一根针上的n个金属片,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
(1)每次只能移动一个金属片;
(2)在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n),则f(n)= ______ .
15. 已知a,b,c∈(0,1),且4+lna=a+2ln2,e+lnb=1+b,2+lnc=c+ln2,则a,b,c的大小关系是______ .
16. 已知f(x)=|x+2|,x≤0|log3x|,x>0,若方程f(x)−a=0有四个根x1,x2,x3,x4,且x1
17. (本小题10.0分)
(1)已知a>b>0,m>0,求证:b+ma+m>ba;
(2)已知a>0,b>0,且a+b=1a+1b,求证:a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
18. (本小题12.0分)
不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x恒成立的k的取值集合为A,集合B={x|x2−mx−3<0}.
(1)求集合A;
(2)若__________,求实数m的取值范围.
在①A∪B=B;②“x∈A”是“x∈B”的充分条件;③“x∈∁RA”是“∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个补充在第(2)问中,并给出解答.
19. (本小题12.0分)
孔子曰:温故而知新.数学学科的学习也是如此,为了调查数学成绩与及时复习之间的关系,某校志愿者展开了积极的调查活动:从高三年级1500名学生中随机抽取50名学生进行问卷调查,所得信息如下:
数学成绩优秀(人数)
数学成绩合格(人数)
及时复习(人数)
20
5
不及时复习(人数)
10
15
(1)根据以上数据,判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为数学成绩优秀与及时复习有关?
(2)用分层抽样的方法,从数学成绩优秀的人中抽取6人,再在这6人中随机抽取2人进行更详细的调查,求这2人都是来自及时复习的概率.
下面的临界值表供参考:
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d)
20. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cosαy=sinα(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程是ρcosθ+2 3ρsinθ+9=0.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)若P是曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值,并求此时点P的坐标.
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=|x+a|+|x+1|.
(Ⅰ)当a=−1时,求f(x)<3x的解集;
(Ⅱ)g(x)=x2−2x+2+a2,若对∃x1∈R,∀x2∈[0,+∞)使得f(x1)≤g(x2)成立,求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:由A中y=lg|x|∈R,得到A=R,
由B中y= 1−x,得到1−x≥0,
解得:x≤1,即B=(−∞,1],
则A∩B=(−∞,1],
故选:C.
求出A中y的范围确定出A,求出B中x的范围确定出B,找出A与B的交集即可.
此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2.【答案】D
【解析】解:(z−−i)i=4+3i,
则z−−i=4+3ii=(4+3i)ii2=3−4i,解得z−=3−3i,
故z=3+3i,
所以|z|= 32+32=3 2.
故选:D.
根据已知条件,结合共轭复数的定义,复数的四则运算,求出z,再结合复数模公式,即可求解.
本题主要考查共轭复数的定义,复数的四则运算,属于基础题.
3.【答案】A
【解析】解:若①正确,则甲抽取的是1号冰墩墩,乙抽取的是2号,丙抽取的是3号,所以③也正确,故①说法不正确;
若②正确,则丙抽取的是1号,乙抽取的是3号,甲抽取的是2号,成立.
故选:A.
分别假设①正确,②正确时,甲乙丙三人抽取的号码,若无矛盾,则可得解.
本题考查合情推理,考查逻辑推理能力,属于基础题.
4.【答案】D
【解析】解:选项A,函数y=−x+1在整个定义域R上为减函数,故不可能在(0,+∞)上单调递增,故错误;
选项B,函数y=1x在(−∞,0)和(0,+∞)上均单调递减,故不可能在(0,+∞)上单调递增,故错误;
选项C,函数y=−x2,在(−∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,故错误;
选项D,函数y=|x|=x x≥0−x x<0,显然在(0,+∞)上单调递增,
故选:D.
选项A,函数y=−x+1在整个定义域R上为减函数;选项B,函数y=1x在(−∞,0)和(0,+∞)上均单调递减;选项C,函数y=−x2在(0,+∞)上单调递减;选项D,函数y=|x|=x x≥0−x x<0,可得在(0,+∞)上单调递增.
本题考查函数的单调性的判断与证明,属基础题.
5.【答案】B
【解析】解:a+b+c=x2+y2+z2+2x+2y+2z
=(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2−3≥−3,
∴a,b,c三个数中至少有一个不小于−1.
故选:B.
求出a+b+c的范围,再结合选项判断即可.
本题考查不等式的性质,考查逻辑推理能力及运算求解能力,属于基础题.
6.【答案】D
【解析】解:0.1m>0.1n时,m
所以“0.1m>0.1n”是“lg1m
分别判断充分性与必要性是否成立即可.
本题考查了充分与必要条件的判断问题,是基础题.
7.【答案】C
【解析】解:利用|AB|=ρ1−ρ2|=2sinθ−4cosθ|=2 5|sin(θ−α)|,当θ−α=π2时,
|AB|的最大值为2 5.
故选:C.
直接利用极径的关系式和三角函数的关系式的变换的应用求出结果.
本题考查的知识要点极径的应用和三角函数的关系式的变换的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.
8.【答案】B
【解析】解:由题设,0.5D1818=0.4,则D=45,
所以0.5×(45)G18<0.1,即G>18log4515=18lg5lg5−2lg2=18(1−lg2)1−3lg2≈129.7,
所以所需的训练迭代轮数至少为130次.
故选:B.
由已知可得D=45,再由0.5×(45)G18<0.1,结合指对数关系及对数函数的性质求解即可.
本题主要考查函数模型及其应用,属于基础题.
9.【答案】A
【解析】解:令f(a)=a2−a,a∈[0,2],g(a)=a2−a+|b−a|,
易知函数f(a)在[0,12]上单调递减,在(12,2]上单调递增,
∴f(a)min=f(12)=−14,则当a=b=12时,g(a)min=−14;
f(a)max=f(2)=2,则当a=2,b=0时,g(a)max=2+2=4;
∴g(a)max+g(a)min=4−14=154.
故选:A.
令f(a)=a2−a,a∈[0,2],g(a)=a2−a+|b−a|,判断函数f(a)的单调性,得到其最大值和最小值,再根据绝对值的性质可得到g(a)的最值,进而得解.
本题考查函数最值的求解,考查函数思想及转化思想,属于中档题.
10.【答案】B
【解析】解:因为f(−x)+f(x)=0,
所以f(x)=−f(−x),
所以f(x)为奇函数,
因为f(x)=f(2−x),
所以f(x)的对称轴为x=1,且−f(−x)=f(2−x),
令t=−x,则f(2+t)=−f(t),
所以f(4+t)=−f(2+t)=−[−f(t)]=f(t),
所以f(x)的周期为T=4,
函数y=7f(x)−x+2零点为方程f(x)=x−27的根,
即y=f(x)与y=x−27的交点横坐标,
由图像可得交点关于(2,0)对称,
所以x1+x7=4,x2+x6=4,x3+x5=4,x4=2,
所以零点和为3×4+2=14,
故选:B.
由f(−x)+f(x)=0,得f(x)为奇函数,又f(x)=f(2−x),则f(x)的对称轴为x=1,且−f(−x)=f(2−x),进而可得f(x)的周期为4,函数y=7f(x)−x+2零点为方程f(x)=x−27的根,即y=f(x)与y=x−27的交点横坐标,结合图像,即可得出答案.
本题考查函数的对称性,函数与方程之间的关系,解题中注意数形结合思想的应用,属于中档题.
11.【答案】D
【解析】解:函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y),
令x=y=1,可得f(1)=2f(1),
∴f(1)=0,
令x=2,y=12,可得f(1)=f(2)+f(12),
∴f(2)=−1,
那么f(2)+f(2)=f(4)=−2.
由不等式f(−x)+f(3−x)≥−2,可得:f(x2−3x)≥f(4),
∵对于0
∴f(x)是递减函数,
∴−x>03−x>0x2−3x≤4,
解得:−1≤x<0.
故选:D.
判断f(x)的单调性即可去掉“f”,转化为不等式即可求解;
本题主要考查抽象函数中的赋值法和单调性定义的应用,考查运算求解能力,属于中档题.
12.【答案】C
【解析】解:f(−x)=f(x),可得f(x)为偶函数,
当x≥0时,f(x)=−x2+1,0≤x<12−2x,x≥1,
可得0≤x<1时,f(x)=1−x2递减,
f(x)∈(0,1];
当x≥1时,f(x)递减,且f(1)=0,f(x)∈(−∞,0],
f(x)在x≥0上连续,且为减函数,
对任意的x∈[m−1,m],不等式f(2−x)≤f(x+m)恒成立,
可得f(|2−x|)≤f(|x+m|),
即为|x−2|≥|x+m|,
平方得到(2m+4)x≤4−m2,
①当2m+4>0即m>−2时,得到x≤2−m2任意的x∈[m−1,m]成立,
∴2−m2≥m,得到m≤23,
∴−2
③当2m+4<0即m<−2时,得到x≥2−m2任意的x∈[m−1,m]成立,
∴2−m2≤m−1,得到m≥43,不满足题意;
综上,−2
由题意可得f(x)为偶函数,求得f(x)在x≥0上连续,且为减函数,f(|2−x|)≤f(|x+m|),即为|x−2|≥|x+m|,即有(2x−2+m)m≤0,由一次函数的单调性,解不等式即可得到所求最大值.
本题考查不等式恒成立问题解法,注意运用偶函数的性质和单调性,考查转化思想和运算能力,属于中档题.
13.【答案】[14,12)
【解析】解:因为函数f(x)=a−x,x<−1(1−2a)x+3a,x≥−1是R上的增函数,
所以1a>11−2a>02a−1+3a≥a,
解得14≤a<12.
故答案为:[14,12).
由已知结合分段函数的单调性建立关于a的不等式组,解不等式可求.
本题主要考查了分段函数单调性的应用,属于基础题.
14.【答案】2n−1
【解析】解:设h(n)是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数,
n=1时,f(1)=1;
n=2时,小盘→2柱,大盘→3柱,小柱从2柱→3柱,完成,即f(2)=3=22−1;
n=3时,小盘→3柱,中盘→2柱,小柱从3柱→2柱,
[用f(2)种方法把中、小两盘移到2柱,大盘3柱;再用f(2)种方法把中、小两盘从2柱3柱,完成],
f(3)=f(2)×2+1=3×2+1=7=23−1,
f(4)=f(3)×2+1=7×2+1=15=24−1,
…
以此类推,f(n)=f(n−1)×2+1=2n−1,
故答案为:2n−1.
根据移动方法与规律发现,随着盘子数目的增多,都是分两个阶段移动,用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱,然后把最大的盘子移动到3柱,再用同样的次数从2柱移动到3柱,从而完成,然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可.
本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题,根据题目信息,得出移动次数分成两段计数是解题的关键.
15.【答案】c>b>a
【解析】解:a,b,c∈(0,1),且4+lna=a+2ln2,e+lnb=1+b,2+lnc=c+ln2,
在同一坐标系中作出y=lna,y=x+2lnx−4,y=1+x−e,y=x+ln2−2的图象,如图,
由图象知a,b,c的大小关系是c>b>a.
故答案为:c>b>a.
在同一坐标系中,作出函数y=lna,y=x+2ln2−4,y=1+x−e,y=x+ln2−2的图象求解.
本题考查三个数的大小的判断,考查函数的图象与性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
16.【答案】(−2,469]
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数与方程的综合应用,其中解答中作出函数的图象,结合图象和指数函数的性质求解是解答的关键,着重考查数形结合思想,以及推理与运算能力.
作出函数f(x)的图象,结合图象得出x1+x2=−4,−log3x3=log3x4,可得x3x4=1,结合指数函数的性质,即可求解.
【解答】
解:由题意,作出函数f(x)=|x+2|,x≤0|log3x|,x>0,的图象,如图所示,
因为方程f(x)−a=0有四个根x1,x2,x3,x4,且x1
则x1+x2+x3+x4=−4+x3+x4,
设log3x3=−t,log3x4=t,
所以x3+x4=3−t+3t,
因为0
所以−2<−4+3−t+3t≤469,
即−2
故答案为:(−2,469].
17.【答案】证明:(1)b+ma+m−ba=a(b+m)−b(a+m)a(a+m)=(a−b)ma(a+m),
∵a>b>0,m>0,∴(a−b)ma(a+m)>0,可得b+ma+m−ba>0,
则b+ma+m>ba;
(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0,得0 同理0 而1a+1b=a+bab>a+b,与a+b=1a+1b矛盾,
∴假设错误,故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
【解析】(1)直接利用作差法证明;(2)利用反证法证明.
本题考查不等式的证明,训练了利用作差法与反证法证明不等式,是中档题.
18.【答案】解:(1)当k=0时,−38<0显然恒成立,
当k≠0时不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立,
则k<0k2−4×2k×(−38)<0,解得−3
即x2−mx−3<0在(−3,0]上恒成立,
令f(3)=x2−mx−3,则f(−3)≤0f(0)<0,解得m≤−2,
所以m的取值范围为(−∞,−2];
选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则有A⊆B,同理得m的取值范围为(−∞,−2];
选③“x∈∁RA”是“∁RB”的必要条件,则有A⊆B,同理得m的取值范围为(−∞,−2].
【解析】(1)由不等式2kx2+kx−38<0对一切实数恒成立,分k=0和k≠0两种情况讨论,当k≠0时可得k<0Δ<0,再求解即可;
(2)选①②③都有A⊆B,即x2−mx−3<0在(−3,0]恒成立,得不等式组f(−3)≤0f(0)<0,再求解即可.
本题考查了不等式恒成立问题,重点考查了充分必要条件,属基础题.
19.【答案】解:(1)∵K2=50(20×15−10×5)230×20×25×25≈8.333>7.879,
∴由独立性定义可知,在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为数学成绩优秀与及时复习有关.
(2)由题知,6人中有4人来自及时复习记为1,2,3,4,2人来自不及时复习记为A,B,
则6人中抽取2人共有12,13,14,1A,1B,23,24,2A,2B,34,3A,3B,4A,4B,AB共15种,
其中都来自及时复习的有12,13,14,23,24,34共6种,
故2人都是来自及时复习的概率P=615=25.
【解析】(1)根据已知条件,结合独立性检验公式,即可求解.
(2)根据已知条件,结合列举法和古典概型的概率公式,即可求解.
本题主要考查独立性检验公式,以及列举法和古典概型的概率公式,属于基础题.
20.【答案】解:(1)由曲线C的参数方程为x=2cosαy=sinα(α为参数),得x24+y2=1,故曲线C的普通方程为x24+y2=1,
由ρcosθ+2 3ρsinθ+9=0,得x+2 3y+9=0,
故直线l的直角坐标方程为x+2 3y+9=0.---------(5分)
(2)设点P(2cosα,sinα),
则点P到直线l的距离d=|2cosα+2 3sinα+9| 1+12=4sin(α+π6)+9 13.
故当sin(α+π6)=1时,点P到直线l的距离取得最大值 13,α=π3,
此时,点P的坐标为(1, 32).------(10分)
【解析】(1)结合cos2α+sin2α=1消元即可得出曲线C的普通方程;由x=ρcosθ,y=ρsinθ即可得出直线的直角坐标方程;
(2)设点P(2cosα,sinα),结合点线距离公式,讨论最大值即可.
本题考查了参数方程与普通方程的互化以及参数方程的应用,属于基础题.
21.【答案】解:(Ⅰ)当a=−1时,f(x)=−2x,x<−12,−1≤x≤12x,x>1,
当x<−1时,−2x<3x,解得x∈⌀,……………………………(3分)
当−1≤x≤1时,2<3x,解得23
综上,原不等式的解集为{x|x>23};.……………………………(5分)
(Ⅱ)因为x∈R 时,f(x)=|x+a|+|x+1|≥|x+a−x−1|=|a−1|,
当且仅当(x+a)(x+1)≤0时等号成立,即f(x)min=|a−1|,……………………………(7分)
因为g(x)=x2−2x+2+a2,所以g(x)min=g(1)=a2+1,……………………………(8分)
因为对∃x1∈R,∀x2∈[0,+∞)使得f(x1)≤g(x2)成立,
等价于f(x)min≤g(x)min,所以|a−1|≤a2+1,……………………………(10分)
因为a2+1>0,所以−a2−1≤a−1≤a2+1,解得a≤−1或a≥0,
所以实数a的取值范围为(−∞,−1]∪[0,+∞).……………………………(12分)
【解析】(Ⅰ)代入a的值,将函数f(x)化为分段函数的形式,然后再分类讨论解不等式即可;
(Ⅱ)依题意,f(x)min≤g(x)min,求出函数f(x)和g(x)在定义域上的最小值,解不等式即可.
本题考查绝对值不等式的解法及其性质,考查分类讨论思想及运算求解能力,属于中档题.
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