2021-2022学年河南省开封市杞县宇华实验高中高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

这是一份2021-2022学年河南省开封市杞县宇华实验高中高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年河南省开封市杞县宇华实验高中高二（下）期末数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合A={ y|y=lg|x|}，B={x|y= 1−x}，则A∩B=(    )
A. [0,1] B. (0,1) C. (−∞,1] D. [0,+∞]
2. 已知复数z满足(z−−i)i=4+3i，则|z|=(    )
A. 2 5 B. 3 C. 2 3 D. 3 2
3. 某班举行了一次有意思的智力竞猜游戏，首先老师将三只冬奥会吉祥物冰墩墩进行了1、2、3三个数字的标号，然后将它们放入不透明的箱子中，甲、乙、丙三名同学分别进行抽取，并将抽到的冰墩墩的标号告知老师，老师根据三人抽取的号码情况给出了三种说法：
①甲抽取的是1号冰墩墩；
②乙抽取的不是2号冰墩墩；
③丙抽取的不是1号冰墩墩．
若三种说法中只有一个说法正确，则抽取2号冰墩墩的是(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法判定
4. 下列函数中在(0,+∞)上是单调递增的是(    )
A. y=−x+1 B. y=1x C. y=−x2 D. y=|x|
5. 已知x，y，z∈R，且a=x2+2y，b=y2+2z，c=z2+2x，则a，b，c三个数(    )
A. 都小于−1 B. 至少有一个不小于−1
C. 都大于−1 D. 至少有一个不大于−1
6. 设m，n为实数，则“0.1m>0.1n”是“lg1m A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 在极坐标系中，曲线C1：ρ=2sinθ，曲线C2：ρ=4cosθ，过极点的直线与曲线C1，C2分别交于异于极点的A，B两点，则|AB|的最大值为(    )
A. 5 B. 4 C. 2 5 D. 5
8. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练法代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下(不含0.1)所需的训练迭代轮数至少为(    )
(参考数据：lg2≈0.3010.)
A. 128 B. 130 C. 132 D. 134
9. 已知a，b∈[0,2]，则a2−a+|b−a|的最大值与最小值的和为(    )
A. 154 B. 4 C. 0 D. 72
10. 定义在R上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)=0，f(x)=f(2−x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=x2.则函数y=7f(x)−x+2的所有零点之和为(    )
A. 7 B. 14 C. 21 D. 28
11. 已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(12)=1，如果对于0f(y)，不等式f(−x)+f(3−x)≥−2的解集为(    )
A. [−1,0)∪(3,4] B. [−1,−12] C. [−4,−3) D. [−1,0)
12. 定义在R上的函数f(x)满足f(−x)=f(x)，且当x≥0时，f(x)=−x2+1,0≤x<12−2x,x≥1，若对任意的x∈[m−1,m]，不等式f(2−x)≤f(x+m)恒成立，则实数m的最大值是(    )
A. −1 B. −2 C. 23 D. 2
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f(x)=a−x,x<−1(1−2a)x+3a,x≥−1在定义域上是增函数，则实数a的取值范围是______．
14. 如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
(1)每次只能移动一个金属片；
(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n)，则f(n)= ______ ．
15. 已知a，b，c∈(0,1)，且4+lna=a+2ln2，e+lnb=1+b，2+lnc=c+ln2，则a，b，c的大小关系是______ ．
16. 已知f(x)=|x+2|,x≤0|log3x|,x>0，若方程f(x)−a=0有四个根x1，x2，x3，x4，且x1 三、解答题（本大题共5小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(1)已知a>b>0，m>0，求证：b+ma+m>ba；
(2)已知a>0，b>0，且a+b=1a+1b，求证：a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立．
18. (本小题12.0分)
不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合B={x|x2−mx−3<0}．
(1)求集合A；
(2)若__________，求实数m的取值范围．
在①A∪B=B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并给出解答．
19. (本小题12.0分)
孔子曰：温故而知新．数学学科的学习也是如此，为了调查数学成绩与及时复习之间的关系，某校志愿者展开了积极的调查活动：从高三年级1500名学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，所得信息如下：

数学成绩优秀(人数)
数学成绩合格(人数)
及时复习(人数)
20
5
不及时复习(人数)
10
15
(1)根据以上数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为数学成绩优秀与及时复习有关？
(2)用分层抽样的方法，从数学成绩优秀的人中抽取6人，再在这6人中随机抽取2人进行更详细的调查，求这2人都是来自及时复习的概率．
下面的临界值表供参考：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)
20. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosαy=sinα(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρcosθ+2 3ρsinθ+9=0．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若P是曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值，并求此时点P的坐标．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=|x+a|+|x+1|．
(Ⅰ)当a=−1时，求f(x)<3x的解集；
(Ⅱ)g(x)=x2−2x+2+a2，若对∃x1∈R，∀x2∈[0,+∞)使得f(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：由A中y=lg|x|∈R，得到A=R，
由B中y= 1−x，得到1−x≥0，
解得：x≤1，即B=(−∞,1]，
则A∩B=(−∞,1]，
故选：C．
求出A中y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2.【答案】D 
【解析】解：(z−−i)i=4+3i，
则z−−i=4+3ii=(4+3i)ii2=3−4i，解得z−=3−3i，
故z=3+3i，
所以|z|= 32+32=3 2．
故选：D．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，求出z，再结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，复数的四则运算，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：若①正确，则甲抽取的是1号冰墩墩，乙抽取的是2号，丙抽取的是3号，所以③也正确，故①说法不正确；
若②正确，则丙抽取的是1号，乙抽取的是3号，甲抽取的是2号，成立．
故选：A．
分别假设①正确，②正确时，甲乙丙三人抽取的号码，若无矛盾，则可得解．
本题考查合情推理，考查逻辑推理能力，属于基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：选项A，函数y=−x+1在整个定义域R上为减函数，故不可能在(0,+∞)上单调递增，故错误；
选项B，函数y=1x在(−∞,0)和(0,+∞)上均单调递减，故不可能在(0,+∞)上单调递增，故错误；
选项C，函数y=−x2，在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，故错误；
选项D，函数y=|x|=x     x≥0−x    x<0，显然在(0,+∞)上单调递增，
故选：D．
选项A，函数y=−x+1在整个定义域R上为减函数；选项B，函数y=1x在(−∞,0)和(0,+∞)上均单调递减；选项C，函数y=−x2在(0,+∞)上单调递减；选项D，函数y=|x|=x     x≥0−x    x<0，可得在(0,+∞)上单调递增．
本题考查函数的单调性的判断与证明，属基础题．

5.【答案】B 
【解析】解：a+b+c=x2+y2+z2+2x+2y+2z
=(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2−3≥−3，
∴a，b，c三个数中至少有一个不小于−1．
故选：B．
求出a+b+c的范围，再结合选项判断即可．
本题考查不等式的性质，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．

6.【答案】D 
【解析】解：0.1m>0.1n时，m lg1m0.1n，必要性不成立；
所以“0.1m>0.1n”是“lg1m 故选：D．
分别判断充分性与必要性是否成立即可．
本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．

7.【答案】C 
【解析】解：利用|AB|=ρ1−ρ2|=2sinθ−4cosθ|=2 5|sin(θ−α)|，当θ−α=π2时，
|AB|的最大值为2 5．
故选：C．
直接利用极径的关系式和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点极径的应用和三角函数的关系式的变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

8.【答案】B 
【解析】解：由题设，0.5D1818=0.4，则D=45，
所以0.5×(45)G18<0.1，即G>18log4515=18lg5lg5−2lg2=18(1−lg2)1−3lg2≈129.7，
所以所需的训练迭代轮数至少为130次．
故选：B．
由已知可得D=45，再由0.5×(45)G18<0.1，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可．
本题主要考查函数模型及其应用，属于基础题．

9.【答案】A 
【解析】解：令f(a)=a2−a，a∈[0,2]，g(a)=a2−a+|b−a|，
易知函数f(a)在[0,12]上单调递减，在(12,2]上单调递增，
∴f(a)min=f(12)=−14，则当a=b=12时，g(a)min=−14；
f(a)max=f(2)=2，则当a=2，b=0时，g(a)max=2+2=4；
∴g(a)max+g(a)min=4−14=154．
故选：A．
令f(a)=a2−a，a∈[0,2]，g(a)=a2−a+|b−a|，判断函数f(a)的单调性，得到其最大值和最小值，再根据绝对值的性质可得到g(a)的最值，进而得解．
本题考查函数最值的求解，考查函数思想及转化思想，属于中档题．

10.【答案】B 
【解析】解：因为f(−x)+f(x)=0，
所以f(x)=−f(−x)，
所以f(x)为奇函数，
因为f(x)=f(2−x)，
所以f(x)的对称轴为x=1，且−f(−x)=f(2−x)，
令t=−x，则f(2+t)=−f(t)，
所以f(4+t)=−f(2+t)=−[−f(t)]=f(t)，
所以f(x)的周期为T=4，
函数y=7f(x)−x+2零点为方程f(x)=x−27的根，
即y=f(x)与y=x−27的交点横坐标，

由图像可得交点关于(2,0)对称，
所以x1+x7=4，x2+x6=4，x3+x5=4，x4=2，
所以零点和为3×4+2=14，
故选：B．
由f(−x)+f(x)=0，得f(x)为奇函数，又f(x)=f(2−x)，则f(x)的对称轴为x=1，且−f(−x)=f(2−x)，进而可得f(x)的周期为4，函数y=7f(x)−x+2零点为方程f(x)=x−27的根，即y=f(x)与y=x−27的交点横坐标，结合图像，即可得出答案．
本题考查函数的对称性，函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．

11.【答案】D 
【解析】解：函数f(x)的定义域是(0,+∞)，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，
令x=y=1，可得f(1)=2f(1)，
∴f(1)=0，
令x=2，y=12，可得f(1)=f(2)+f(12)，
∴f(2)=−1，
那么f(2)+f(2)=f(4)=−2．
由不等式f(−x)+f(3−x)≥−2，可得：f(x2−3x)≥f(4)，
∵对于0f(y)，
∴f(x)是递减函数，
∴−x>03−x>0x2−3x≤4，
解得：−1≤x<0．
故选：D．
判断f(x)的单调性即可去掉“f”，转化为不等式即可求解；
本题主要考查抽象函数中的赋值法和单调性定义的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

12.【答案】C 
【解析】解：f(−x)=f(x)，可得f(x)为偶函数，
当x≥0时，f(x)=−x2+1,0≤x<12−2x,x≥1，
可得0≤x<1时，f(x)=1−x2递减，
f(x)∈(0,1]；
当x≥1时，f(x)递减，且f(1)=0，f(x)∈(−∞,0]，
f(x)在x≥0上连续，且为减函数，
对任意的x∈[m−1,m]，不等式f(2−x)≤f(x+m)恒成立，
可得f(|2−x|)≤f(|x+m|)，
即为|x−2|≥|x+m|，
平方得到(2m+4)x≤4−m2，
①当2m+4>0即m>−2时，得到x≤2−m2任意的x∈[m−1,m]成立，
∴2−m2≥m，得到m≤23，
∴−2 ②当2m+4=0，不满足题意；
③当2m+4<0即m<−2时，得到x≥2−m2任意的x∈[m−1,m]成立，
∴2−m2≤m−1，得到m≥43，不满足题意；
综上，−2 故选：C．
由题意可得f(x)为偶函数，求得f(x)在x≥0上连续，且为减函数，f(|2−x|)≤f(|x+m|)，即为|x−2|≥|x+m|，即有(2x−2+m)m≤0，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求最大值．
本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．

13.【答案】[14,12) 
【解析】解：因为函数f(x)=a−x,x<−1(1−2a)x+3a,x≥−1是R上的增函数，
所以1a>11−2a>02a−1+3a≥a，
解得14≤a<12．
故答案为：[14,12).
由已知结合分段函数的单调性建立关于a的不等式组，解不等式可求．
本题主要考查了分段函数单调性的应用，属于基础题．

14.【答案】2n−1 
【解析】解：设h(n)是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数，
n=1时，f(1)=1；
n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即f(2)=3=22−1；
n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，
[用f(2)种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用f(2)种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，
f(3)=f(2)×2+1=3×2+1=7=23−1，
f(4)=f(3)×2+1=7×2+1=15=24−1，
…
以此类推，f(n)=f(n−1)×2+1=2n−1，
故答案为：2n−1．
根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．
本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数是解题的关键．

15.【答案】c>b>a 
【解析】解：a，b，c∈(0,1)，且4+lna=a+2ln2，e+lnb=1+b，2+lnc=c+ln2，
在同一坐标系中作出y=lna，y=x+2lnx−4，y=1+x−e，y=x+ln2−2的图象，如图，

由图象知a，b，c的大小关系是c>b>a．
故答案为：c>b>a．
在同一坐标系中，作出函数y=lna，y=x+2ln2−4，y=1+x−e，y=x+ln2−2的图象求解．
本题考查三个数的大小的判断，考查函数的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

16.【答案】(−2,469] 
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和指数函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力．
作出函数f(x)的图象，结合图象得出x1+x2=−4，−log3x3=log3x4，可得x3x4=1，结合指数函数的性质，即可求解．
【解答】
解：由题意，作出函数f(x)=|x+2|,x≤0|log3x|,x>0，的图象，如图所示，

因为方程f(x)−a=0有四个根x1，x2，x3，x4，且x1 由图象可知x1+x2=−4，−log3x3=log3x4，可得x3x4=1，
则x1+x2+x3+x4=−4+x3+x4，
设log3x3=−t，log3x4=t，
所以x3+x4=3−t+3t，
因为0 所以2<3−t+3t≤829，
所以−2<−4+3−t+3t≤469，
即−2 即x1+x2+x3+x4的取值范围是(−2,469].
故答案为：(−2,469].
  
17.【答案】证明：(1)b+ma+m−ba=a(b+m)−b(a+m)a(a+m)=(a−b)ma(a+m)，
∵a>b>0，m>0，∴(a−b)ma(a+m)>0，可得b+ma+m−ba>0，
则b+ma+m>ba；
(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立，则由a2+a<2及a>0，得0 同理0 而1a+1b=a+bab>a+b，与a+b=1a+1b矛盾，
∴假设错误，故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立． 
【解析】(1)直接利用作差法证明；(2)利用反证法证明．
本题考查不等式的证明，训练了利用作差法与反证法证明不等式，是中档题．

18.【答案】解：(1)当k=0时，−38<0显然恒成立，
当k≠0时不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，
则k<0k2−4×2k×(−38)<0，解得−3 (2)若选①A∪B=B，则A⊆B，又B={x|x2−mx−3<0}，
即x2−mx−3<0在(−3,0]上恒成立，
令f(3)=x2−mx−3，则f(−3)≤0f(0)<0，解得m≤−2，
所以m的取值范围为(−∞,−2]；
选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则有A⊆B，同理得m的取值范围为(−∞,−2]；
选③“x∈∁RA”是“∁RB”的必要条件，则有A⊆B，同理得m的取值范围为(−∞,−2]． 
【解析】(1)由不等式2kx2+kx−38<0对一切实数恒成立，分k=0和k≠0两种情况讨论，当k≠0时可得k<0Δ<0，再求解即可；
(2)选①②③都有A⊆B，即x2−mx−3<0在(−3,0]恒成立，得不等式组f(−3)≤0f(0)<0，再求解即可．
本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了充分必要条件，属基础题．

19.【答案】解：(1)∵K2=50(20×15−10×5)230×20×25×25≈8.333>7.879，
∴由独立性定义可知，在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为数学成绩优秀与及时复习有关．
(2)由题知，6人中有4人来自及时复习记为1，2，3，4，2人来自不及时复习记为A，B，
则6人中抽取2人共有12，13，14，1A，1B，23，24，2A，2B，34，3A，3B，4A，4B，AB共15种，
其中都来自及时复习的有12，13，14，23，24，34共6种，
故2人都是来自及时复习的概率P=615=25． 
【解析】(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
(2)根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，以及列举法和古典概型的概率公式，属于基础题．

20.【答案】解：(1)由曲线C的参数方程为x=2cosαy=sinα(α为参数)，得x24+y2=1，故曲线C的普通方程为x24+y2=1，
由ρcosθ+2 3ρsinθ+9=0，得x+2 3y+9=0，
故直线l的直角坐标方程为x+2 3y+9=0.---------(5分)
(2)设点P(2cosα,sinα)，
则点P到直线l的距离d=|2cosα+2 3sinα+9| 1+12=4sin(α+π6)+9 13．
故当sin(α+π6)=1时，点P到直线l的距离取得最大值 13，α=π3，
此时，点P的坐标为(1, 32).------(10分) 
【解析】(1)结合cos2α+sin2α=1消元即可得出曲线C的普通方程；由x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直线的直角坐标方程；
(2)设点P(2cosα,sinα)，结合点线距离公式，讨论最大值即可．
本题考查了参数方程与普通方程的互化以及参数方程的应用，属于基础题．

21.【答案】解：(Ⅰ)当a=−1时，f(x)=−2x,x<−12,−1≤x≤12x,x>1，
当x<−1时，−2x<3x，解得x∈⌀，……………………………(3分)
当−1≤x≤1时，2<3x，解得23 当x>1时，2x<3x，解得x>1，……………………………(5分)
综上，原不等式的解集为{x|x>23}；.……………………………(5分)
(Ⅱ)因为x∈R 时，f(x)=|x+a|+|x+1|≥|x+a−x−1|=|a−1|，
当且仅当(x+a)(x+1)≤0时等号成立，即f(x)min=|a−1|，……………………………(7分)
因为g(x)=x2−2x+2+a2，所以g(x)min=g(1)=a2+1，……………………………(8分)
因为对∃x1∈R，∀x2∈[0,+∞)使得f(x1)≤g(x2)成立，
等价于f(x)min≤g(x)min，所以|a−1|≤a2+1，……………………………(10分)
因为a2+1>0，所以−a2−1≤a−1≤a2+1，解得a≤−1或a≥0，
所以实数a的取值范围为(−∞,−1]∪[0,+∞).……………………………(12分) 
【解析】(Ⅰ)代入a的值，将函数f(x)化为分段函数的形式，然后再分类讨论解不等式即可；
(Ⅱ)依题意，f(x)min≤g(x)min，求出函数f(x)和g(x)在定义域上的最小值，解不等式即可．
本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．