2022-2023学年广东省深圳市翠园中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年广东省深圳市翠园中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数（i为虚数单位）的虚部为（    ）

A． B．6 C．3 D．

【答案】B

【分析】利用复数的概念进行判断.

【详解】因为复数（i为虚数单位）

所以其虚部为6.

故选：B.

2．已知向量，，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】求出，求模即可.

【详解】∵，，∴，

∴.

故选：C.

3．已知空间三条直线，若l与m异面,且l与n异面,则（    ）

A．m与n异面 B．m与n相交

C．m与n平行 D．m与n异面、相交、平行均有可能

【答案】D

【分析】根据题意作出图形，进行判断即可.

【详解】解：空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，

则可能平行（图1），也可能相交（图2），也m与n可能异面（如图3），

故选D．

【点睛】本题考查空间直线的位置关系，着重考查学生的理解与转化能力，考查数形结合思想，属于基础题．

4．已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依题意画出图形，结合图形利用斜二测画法规则可得结果.

【详解】如图，是边长为2的正的直观图，则，，则高，故的面积.

故选：C.

5．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可得，再结合正弦定理整理计算．

【详解】∵，，则

根据正弦定理，则

故选：A．

6．如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】利用等体积法，由求解即可.

【详解】由直三棱柱的体积为6，可得，

设到平面的距离为，由，

，，解得，

即到平面的距离为.

故选：B.

7．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中正确的是（    ）

A．对应的点位于第二象限 B．为实数

C．的共轭复数为 D．的模长等于

【答案】D

【分析】根据欧拉公式结合复数在复平面内对应的点的特征、纯虚数的概念、复数的模长公式、以及共轭复数的概念逐项分析即可得出结论.

【详解】对于A：，对应的点位于第一象限，故A不正确；

对于B：，为纯虚数，故B不正确；

对于C：，所以的共轭复数为，故C错误.

对于D：，故D正确.

故选：D.

8．如图，在△ABC中，点P在边BC上，且，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若，，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合向量的运算可得，然后由三点共线得，可得答案.

【详解】由题意知：，

又，，即，

由三点共线，可得，即.

故选：B.

二、多选题

9．已知复数则（    ）

A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限

C． D．

【答案】AD

【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C、D是否正确.

【详解】利用复数的相关概念可判断A正确；

对于B选项，对应的点位于第四象限，故B错；

对于C选项，，则，故C错；

对于D选项，，则，故D正确.

故选：AD

【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.

10．在中，已知，，，则角的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据正弦定理求出，根据可得或.

【详解】由正弦定理得，得，

因为，且，所以或.

故选：AC.

11．如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有（    ）

A．异面直线与的夹角的正弦为

B．二面角的平面角的正切值为

C．正方体的外接球体积为

D．三棱锥与三棱锥体积相等

【答案】ACD

【分析】由知就是异面直线所成的角，求解即可判断A；连接交于点O，由题意得BD⊥平面，为二面角的平面角，求解可B；正方体外接球的半径，求出外接球体积可判断C；由，及三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，可判断D.

【详解】对于A，∵，中，就是异面直线所成的角，

，则，A正确；

对于B，连接交于点O，连接，

∵平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD，

又BD⊥AO，，平面，∴BD⊥平面

∵平面，∴BD⊥，∴为二面角的平面角，

在中，，B不正确；

对于C，∵正方体外接球的半径，

∴正方体的外接球体积为，C正确；

对于D，∵，

三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，

故三棱锥与三棱锥体积相等，D正确.

故选：ACD.

12．在给出的下列命题中，正确的是（    ）

A．在中， 若，则一定是等腰三角形

B．在中，若为锐角三角形，则

C．已知平面向量满足则为等腰三角形

D．已知平面向量满足，且，则是等边三角形

【答案】BCD

【分析】由可得，所以或，即可判断A；由结合三角函数单调性可判断B；由条件得OA为BC的垂线，且OA在的角平分线上，得为等腰三角形，即可判断C；由条件结合向量的数量积运算得与的夹角为，同理与的夹角为，与的夹角为，是等边三角形，即可判断D.

【详解】对于A，若，则,

展开整理得，又，

所以或，则是等腰三角形或直角三角形，命题A错误；

对于B，若为锐角三角形，则，所以，且，

由于在上单调递增，所以，即，命题B正确；

对于C，由于，即，，

得，即OA为BC的垂线，

又由于，可得OA在的角平分线上，

综合得为等腰三角形，故C正确；

对于D，平面向量、、满足，且，

∴，∴，

即，∴，

∵向量夹角的范围是，

∴与的夹角为，同理与的夹角为，与的夹角为，

∴是等边三角形，故D正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．已知向量，.若向量与垂直，则的值为________.

【答案】/

【分析】首先求出与的坐标，依题意，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可.

【详解】因为，

所以，

因为向量与垂直，

则，解得.

故答案为：

14．若一个圆锥的侧面展开图是中心角为且面积为的扇形面，则该圆锥的底面半径为________.

【答案】/0.5

【分析】根据扇形的面积计算出扇形的半径，即圆锥的母线长，由此可计算出扇形的弧长，即为圆锥的底面圆周长，进而可计算出该圆锥的底面半径.

【详解】设扇形的半径，即圆锥的母线长为，圆锥的底面半径为，

由圆锥的侧面展开图是中心角为且面积为的扇形面，得，则，

从而扇形的半径为2，即圆锥的母线长为2.

扇形的弧长，即圆锥的底面周长为，即，解得，

所以该圆锥的底面半径为.

故答案为：.

15．设A，B，C，D是同一个半径为5的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为___________.

【答案】

【分析】是外心，是球心，求出，当是的延长线与球面交点时，三棱锥体积的最大，由此求得最大体积即可.

【详解】如图，是外心，即所在截面圆圆心，设圆半径为是球心，

因为，，

由余弦定理得，

因为，则，所以，

所以由正弦定理得，则，则，，

平面，平面，则，所以，

当是的延长线与球面交点时，三棱锥体积的最大，

此时棱锥的高为，，

所以棱锥体积为.

故答案为：.

16．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点D为AC边的中点，已知，则当角C取到最大值时等于___________.

【答案】/

【分析】利用向量的数量积求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，此时角C取到最大值，求解得出结果.

【详解】点D为AC边的中点，，

则，即，

因为，所以，

由知，角C为锐角，故，

因为，所以由基本不等式得：，

当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，

所以，

故答案为：.

四、解答题

17．已知向量与的夹角为，且，是单位向量.

(1)分别求和的值；

(2)若与共线，求.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用数量积的定义求解，根据求解；

（2）由向量共线，结合平面向量基本定理列出方程组求解.

【详解】（1），

.

（2）若与共线，则存在，使得，

即，又因为向量与不共线，

所以，解得，所以.

18．已知复数（i为虚数单位，），

(1)若复平面内表示的点在第一象限，求实数m的取值范围；

(2)若，（说明：复数是的共轭复数），求实数m和a的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据复数的运算及复数的几何意义，列出不等式组求解；

（2）根据复数的运算及复数相等，列出方程组求解.

【详解】（1）由题意知：，

又表示的点在第一象限，所以 ，

解得.

（2）由题意知：，

所以，解得 .

19．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．

求证：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BE⊥C1E．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；

(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.

【详解】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，

所以ED∥AB.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，

所以A1B1∥ED.

又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，

所以A1B1∥平面DEC1.

（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.

因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.

又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.

因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，

所以BE⊥平面A1ACC1.

因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.

【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

20．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.

(1)求的值；

(2)若为边所在线段上一点，且，，，求b的值；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1） 由余弦定理求出，进而得；

（2） 在中，由余弦定理得，进而求得，在中，由正弦定理求得．

【详解】（1）由，可得，

于是得，又，则，

所以；

（2）在中，，

由余弦定理得，所以，

则，

在中，由正弦定理有，即，解得.

21．如图，在平面五边形ABCDE中，AB//DC，∠BCD＝90°，，，，，，，垂足为H，将△ADE沿折起（如图），使得平面ADE⊥平面ABCD．

(1)求证：⊥平面ABCD；

(2)求三棱锥的体积；

(3)在线段BE上是否存在点M，使得//平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)存在，

【分析】（1）由面面垂直的性质证明即可；

（2）利用等体积法，由求解即可；

（3）过点H作平行线得出与平面CDE平行的平面，然后利用三角形一边平行线的性质求解.

【详解】（1）因为，平面平面ABCE，平面平面，平面ADE，

所以⊥平面ABCD；

（2）在直角三角形ADE中，∵，，∴，

，∴，

∠BCD＝90°，，

的面积，

所以三棱锥C－ADE的体积为；

（3）方法一：过点H作HN∥DE交AE于点N，过点N作NM∥AB交EB于点M，连接．

又因为AB∥DC，所以∥，又平面CDE，平面CDE，

所以∥平面CDE，同理∥平面CDE，

又因为，平面，平面，

所以平面//平面CDE．

因为平面，所以//平面CDE．

在中，，，

又，，，

，

又，

所以在线段BE上是否存在点M，使得∥平面，且.

方法二：过点H作//交于点G，过点G作//交EB于点M，连接．

又因为∥，平面，平面，

所以∥平面，同理∥平面．

又因为，平面，平面，

所以平面∥平面．

因为平面，所以∥平面．

在中，，，

又，，，

，，

又，，

所以在线段BE上是否存在点M，使得∥平面，且．

22．如图所示，中，，，点、是线段（含端点）上的动点，始终保持不变，设.

(1)当时，求线段和的长以及的周长；

(2)问为何值时，的面积最小？最小面积是多少？

(3)求线段长的最小值.

【答案】(1)，，

(2)，

(3)

【分析】（1）在中，由正弦定理求得，在中，，可得，在中，由余弦定理求得，即可得出的周长；

（2）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，利用三角形的面积公式得，结合三角函数的性质可得答案；

（3）在中求得边上的高，而，结合（2）中结论即可得出的最小值.

【详解】（1）在中，，，,

，

由正弦定理，得，所以，

在中，，

，所以，

在中，由余弦定理，得

，

，则的周长为 .

（2）在中，由正弦定理，得，所以，

在中，由正弦定理，得，所以，

在中，已知，

∴当时，取得最小值，此时

（3）在中，，，易求得边上的高，

，由（2）知，，

，当时取等号，所以的最小值为.