2022-2023学年河南省南阳市六校高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省南阳市六校高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知等差数列的前项和为，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知函数的图象在点处的切线经过点，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

5.  观察变量与的散点图发现可以用指数型模型拟合其关系，为了求出回归方程，设，求得关于的线性回归方程为，则与的值分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  已知两个分类变量，的可能取值分别为和，通过随机调查得到样本数据，再整理成如下的列联表：

若样本容量为，且，则当判断与有关系的把握最小时，的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  现有个圆的圆心排列在同一条直线上，它们的半径由左至右依次构成首项为，公比为的等比数列，从第个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，若，分别为第个圆与第个圆上任意一点，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知数列的前项和，设，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  对于样本相关系数，下列说法正确的是(    )

A. 若两个随机变量线性不相关，则
B. 若，则两个随机变量没有任何相关性
C. 的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱
D. 成对样本数据线性相关的正负性与的符号正负相同

10.  已知等差数列的前项和为，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称在区间上为凸函数则下列函数中，为区间上的凸函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  对于正整数，用表示不大于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如与互质，则(    )

A.
B. 数列是等差数列
C.
D. 数列的前项和等于

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  设函数满足，则 ______ ．

14.  已知两个随机变量和的一组成对样本数据为，，，，若用最小二乘法求出回归方程为，则 ______ ．

15.  牛顿迭代法又称牛顿一拉夫逊方法，它是牛顿在世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，作曲线在点处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；作曲线在点处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值一般地，作曲线不在点处的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值设函数的零点为，取，则的次近似值为______ ．

16.  若正项递增等比数列满足，则的最小值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
清明节是我国的传统节日，某企业计划在清明节组织员工活动，准备从“参观烈士陵园”和“植树”两个活动方案中确定一个，为此随机调查了名员工，让他们选择自己倾向的活动方案，调查结果按照员工的年龄分类，得到下面的列联表：

Ⅰ求倾向植树的员工中年龄在岁以下的概率；
Ⅱ是否有的把握认为该公司员工对清明节活动的倾向与年龄有关？
附．

18.  本小题分
已知正项等比数列满足条件，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ设，求的最大值．

19.  本小题分
某冷饮店为了解每天的用电量千瓦时与销售额千元之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天的销售额，并制作了对照表：

Ⅰ已知与线性相关，求关于的线性回归方程；
Ⅱ若某天的销售额为万元，利用Ⅰ中所得的线性回归方程，预测这一天的用电量附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．

20.  本小题分
已知函数．
Ⅰ若曲线在其上一点处的切线与直线平行，求的坐标；
Ⅱ求曲线的过坐标原点的切线的方程．

21.  本小题分
已知等差数列的前项和为，，且，数列的前项和为，，且．
Ⅰ求数列，的通项公式；
Ⅱ若，求数列的前项和．

22.  本小题分
设正项数列的前项和为，已知，且．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ若，求数列的前项和．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
先求出导函数，再令即可求出的值．
本题主要考查了导数的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为等差数列中，，
则．
故选：．
由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
则，即，
所以，
则．
故选：．
先对函数的求导，然后求出及，进而可求．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由，得，
，又，
函数的图象在点处的切线方程为，
把代入，可得，即．
故选：．
利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点的坐标求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，且关于的线性回归方程为，
所以，则，．
故选：．
根据题意得到求解．
本题考查了回归方程的计算，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：在两个分类变量的列联表中，当的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小，
令，得，
又样本容量为，
，则，
，化简得，解得：，，
又，
．
故选：．
利用分类变量的相关性进行计算求解即可．
本题考查独立性检验的性质，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：的最大值为这个圆的直径之和，
即．
故选：．
的最大值为这个圆的直径之和，然后结合等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：数列的前项和，，
当时，解得；
当时，，，
得：，故常数，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
所以．
故，
故，
所以．
故选：．
首先利用数列的递推关系求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：若两个随机变量不相关，则，故A正确；
若，两个随机变量不线性相关，可能有其它相关性，故B错误；
的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱，故C错误；
成对样本数据线性相关的正负性与的符号正负相同，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合相关系数的定义，即可求解．
本题主要考查相关系数的定义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列的性质，属于基础题．
由等差数列性质代入化简可求出，然后逐项判断即可．

【解答】

解：数列是等差数列，
，
故，，，故ABC正确；
，且无法求出，所以无法判断与的大小关系，故D错误，
故选ABC．

11.【答案】 

【解析】解：对选项，，，
，，，
不是凸函数，选项错误；
对选项，，，
，，，
是凸函数，选项正确；
对选项，，，
，，，
不是凸函数，选项错误；
对选项，，，
，，，
是凸函数，选项正确．
故选：．
根据题意，求出的二阶导函数，再判断二阶导函数的符号，即可求解．
本题考查新定义的应用，导数的基本运算，属基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，以下的正整数与互质的有，，，，，，，，，，共个数，A正确；
对于，，，，显然不是等差数列，B错误；
对于，不大于的正整数共个，其中是的整数倍的有，，，，共个，
所以，C正确，
对于，数列首项为，不满足前项和公式，D错误，
故选：．
对函数的值进行列举，并结合选项的反例进行排除即可．
本题主要考查对数列的推理，可通过列举和排除解决问题，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：该组数据中，，
则样本点中心为，
又回归方程为，
则，解之得，．
故答案为：．
利用回归方程经过样本点中心，列方程即可求得的值．
本题考查了回归方程经过样本点中心的性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：函数，，
所以，，
所以曲线在点处的切线为，即，
令，得，
，，
所以曲线在点处的切线为，
即，
令，得．
故答案为：．
先求处的切线方程，再求，再求切线可得答案．
本题主要考查导数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为，由于数列是正项递增等比数列，则，
由于，则有，
变形可得，
则，
又由，，当且仅当时等号成立，
则的最小值为．
故答案为：．
由等比数列的通项公式可得，再得到，最后由基本不等式即可求得．
本题考查等比数列的通项与基本不等式的综合，属于中档题．
 

17.【答案】解：倾向植树的员工中年龄在岁以下的概率为；
由列联表可得，
因为，
所以有的把握认为该公司员工对清明节活动的倾向与年龄有关；
综上，倾向植树的员工中年龄在岁以下的概率为，有的把握认为该公司员工对清明节活动的倾向与年龄有关． 

【解析】将频率作为概率，计算倾向植树的员工中年龄在岁以下的的频率；
根据列联表作卡方计算．
本题考查卡方独立性检验，属于基础题．
 

18.【答案】解：Ⅰ设正项等比数列的公比为，
，，
，，
，，
．
Ⅱ随着的增大而减小，
最大时，需要是最后一项为大于的数，
当时，即，，
当时，有最大值． 

【解析】Ⅰ由等比数列基本量的运算及其性质可直接求得；
Ⅱ由数列的单调性分析得到当时取得最大值，再计算即可．
本题考查等比数列的性质及其基本量的运算，还考查了数列的最值问题，属于中档题．
 

19.【答案】解：Ⅰ由表中数据计算得：，
，
，
所以，，
所以回归方程为；
Ⅱ将代入Ⅰ的回归方程中得：．
故预测这一天的用电量为千瓦时． 

【解析】Ⅰ先求，然后利用公式求出，可得答案；
Ⅱ把代入方程可求答案．
本题考查了回归方程的计算，属于中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ由，得，
因为曲线在其上一点处的切线与直线平行，
所以，解得或．
当时，，当时，．
所以点与都不在直线上，
所以的坐标为或；
Ⅱ由Ⅰ知，，
设切点坐标为，则，
所以过切点的切线方程为，
把代入，可得，解得或．
所以曲线的过坐标原点的切线的方程为或． 

【解析】Ⅰ求出原函数的导函数，利用导函数值为求得切点横坐标，再求出切点的纵坐标得答案；
Ⅱ设切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入原点坐标，求得切点横坐标，进一步得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点成的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ设公差为，由，得，
即，
又，
，
即，
联立解得：，，
．
由，得，
，可得，
由，且，得，满足，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则；
Ⅱ．
．
．
两式作差可得：
，
． 

【解析】Ⅰ设公差为，根据已知条件列出方程求出、，即可得到数列的通项公式；再由，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，则数列的通项公式可求；
Ⅱ把Ⅰ中求得的数列，的通项公式代入，再由错位相减法求数列的前项和．
本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前项和，是中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ，
当时，，
两式相减得，，
，
又数列的各项为正数，
，即，
，
当时，，，
，
数列是首项为，公差为的等差数列，
；
Ⅱ由Ⅰ可知，
，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
综上所述，． 

【解析】Ⅰ利用公式可得，由的值求出的值，进而求出的值，得到数列是首项为，公差为的等差数列，从而求出；
Ⅱ由Ⅰ可知，所以，再分为偶数和为奇数两种情况讨论，分别求出即可．
本题主要考查了数列的递推式，考查了裂项相消法求和，属于中档题．