2022-2023学年福建省泉州外国语中学高二上学期期中质量监测数学试题含解析

2022-2023学年福建省泉州外国语中学高二上学期期中质量监测数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角是（    ）

A．30° B．60° C．120° D．135°

【答案】C

【分析】根据直线方程求出斜率即可得到倾斜角.

【详解】由题：直线的斜率为，

所以倾斜角为120°.

故选：C

【点睛】此题考查根据直线方程求倾斜角，需要熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系，熟记常见特殊角的三角函数值.

2．若直线2x+（a+2）y+4＝0与直线（a﹣1）x+2y+2＝0平行，则实数a的值为（　　）

A．﹣3 B．2 C．2或﹣3 D．

【答案】A

【分析】本题先根据两条直线平行建立关于实数a的方程并求解，再排除重合现象即可得到答案.

【详解】解：∵ 直线与直线平行，

∴ ，解得：或，

当时，直线与直线重合，∴舍去；

当时，直线与直线平行，∴成立.

故选：A.

【点睛】本题考查借两条直线平行求参数，是基础题.

3．三棱柱中,是的中点,若，，,则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】若中点为，.

故选B.

4．若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据直线在轴上的截距可求得，设直线的倾斜角为，求出即直线的斜率，即可求出.

【详解】令，则，所以，

设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，

因为直线的斜率为，所以，

故，

则直线的斜率，所以.

故选：D.

5．在棱长为a的正方体中，M，N分别是，的中点，则与面MBD的距离是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则可得到点 的坐标以及的坐标，再求出平面 BDM 的法向量，最后用点到面的距离公式可求得答案.

【详解】如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则

所以

设平面的法向量，则 即                                     

设，则

所以                                               

则点到平面的距离为.

故选:A

6．直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则BM与NA所成的角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出BM与NA所成的角的余弦值.

【详解】依题意可知两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设，

则，

，

设直线与所成角为，

则.

故选：C

7．两圆和恰有三条公切线，若，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知两圆外切，可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，

圆的标准方程为，圆心为，半径为.

由于圆和恰有三条公切线，则这两圆外切，

所以，，即，所以，，

所以，，

当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为.

故选：C.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

8．已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值.

【详解】圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3，

∴若与关于x轴对称，则，即，

由图易知，当三点共线时取得最小值，

∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，

∴.

故选：A.

二、多选题

9．已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（    ）

A．1 B． C．﹣2 D．﹣1

【答案】BCD

【分析】根据三条直线中有两条直线的斜率相等时，或者三条直线交于一点时，不能构成三角形进行求解即可.

【详解】因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：.

当时，直线与横轴垂直，方程为：不经过点，所以三条直线能构成三角形；

当时，直线的斜率为：.

当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；

当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；

当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有，

故选：BCD

【点睛】本题考查了三条直线不构成三角形求参数取值范围问题，考查了直线平行与相交的判断，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.

10．已知椭圆分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）

A．离心率 B．的周长为15

C．若，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值

【答案】ACD

【分析】求出椭圆的离心率可以判断A；根据椭圆的定义可判断B；根据椭圆的定义和勾股定理可以求出三角形的面积，进而判断C；设出点P的坐标，得到斜率，进而结合点P的坐标满足椭圆方程求出答案，进而判断D.

【详解】由，可知，

对于A：，故A正确；

对于B：记，则，的周长为，故B错误；

对于C：， ，所以，故C正确；

对于D：设，则，，于是

，故D正确.

故选：ACD.

11．已知直线的方向向量，为直线上一点，若点P(1，0，2)为直线外一点，则P到直线上任意一点Q的距离可能为（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】AB

【解析】首先求得，再求得的值，设出与的夹角为，利用向量数量积求得的值，进而求得的值，利用求得点到直线的距离，利用P到直线上任意一点Q的距离要大于等于，从而求得结果.

【详解】由题设条件可知，，

所以，

设与的夹角为，

则，

所以，

所以点到直线的距离为，

P到直线上任意一点Q的距离要大于等于，

故选：AB.

【点睛】该题考查的是有关空间距离问题，涉及到的知识点有利用向量解决点到直线的距离问题，属于简单题目.

12．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是（    ）

A．四棱锥为“阳马”

B．四面体为“鳖臑”

C．四棱锥体积最大为

D．过点分别作于点，于点，则

【答案】ABD

【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，

∴在堑堵中，，侧棱平面，

A选项，∴，又，且，则平面，

∴四棱锥为“阳马”，对；

B选项，由，即，又且，

∴平面，

∴，则为直角三角形，

又由平面，得为直角三角形，

由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形．

∴四面体为“鳖臑”，对；

C选项，在底面有，即，

当且仅当时取等号，

，错；

D选项，因为平面，则，

且，则平面，

∴，又且，

则平面，所以则，对；

故选：ABD．

三、填空题

13．与x轴相切，且圆心坐标为的圆的标准方程为_______________

【答案】

【分析】根据圆的圆心坐标结合与y轴相切可得到该圆的半径可得答案.

【详解】∵圆心坐标为，又与y轴相切，

∴圆的半径为2，

∴圆的标准方程为.

故答案为：.

14．设点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点的距离与P到直线x＋3y＝2的距离相等，则点P的坐标为__________．

【答案】或

【详解】∵点在直线上

∴设点的坐标为

∵点到原点的距离与点到直线的的距离相等

∴

∴

∴点坐标为或

故答案为：或

四、双空题

15．已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____，的范围是_____.

【答案】         

【解析】根据坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，的几何意义为与距离的平方，即可由斜率公式及距离公式求解.

【详解】根据题意画出线段AB如下图所示：

直线AB的方程为，

的几何意义为与连线斜率，，

所以；

的几何意义为与距离的平方，

由点到距离公式可知，,

所以，

故答案为： ；.

【点睛】本题考查了斜率公式及距离公式几何意义的简单应用，注意本题求的是距离平方形式，属于中档题.

五、填空题

16．在三棱锥中，，PA＝4，AB＝3，二面角的大小为，在侧面△PAB内（含边界）有一动点M，满足M到PA的距离与M到平面ABC的距离相等，则M的轨迹的长度为 _________．

【答案】##

【分析】过M作于N，MO⊥平面ABC于O，过O作于Q，连接MQ，则为二面角的平面角，以AB所在直线为x轴，AP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出直线AM、直线PB的方程可得直线AM与PB的交点坐标可得答案.

【详解】如图，过M作于N，MO⊥平面ABC于O，

过O作于Q，连接MQ，则为二面角的平面角，

由，得MQ＝2MO．又 MO＝MN，所以MQ＝2MN，

在△PAB中，以 AB 所在直线为x轴，AP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则直线AM的方程为y＝2x，直线PB的方程为，

所以直线AM与PB的交点坐标为，

所以M的轨迹为线段AR，长度为．

故答案为：．

六、解答题

17．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．

①与直线垂直；

②直线的一个方向向量为；

③与直线平行．

已知直线l过点，_________________．

(1)求直线l的一般方程；

(2)若直线l与圆相交于P，Q，求弦长．

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）根据直线与直线的平行或垂直关系于斜率的关系求解；

（2）利用直线被圆截得的弦长公式求解.

【详解】（1）选①：因为直线的斜率为，

因为直线与直线l垂直，

所以直线l的斜率为，

依题意，直线l的方程为

即.

选②：因为直线的一个方向向量为

所以直线l的向量为，

依题意，直线l的方程为

即.

选③：因为的斜率为，

又因为直线l与平行，

所以直线l的斜率为，

依题意，直线l的方程为

即.

（2）圆的圆心到直线的距离为,

所以.

18．已知：中，顶点，边AB上的中线CD所在直线的方程是，边AC上的高BE所在直线的方程是．

求点B、C的坐标；   

求的外接圆的方程．

【答案】（1）

 （2）或

【详解】（1）由题意可设,则的中点.

因为的中点必在直线上,代入有①

又因为在直线BE上，所以代入有②

由①②联立解得.则,

因为在直线上，代入有③

又因为直线,所以有,则有④

根据③④有.

（2）因为三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点，

所以找到三角形两边的垂直平分线求得的交点就是外接圆的圆心，该点到各顶点的距离就是半径.

根据两点,可得斜率为,所以中垂线斜率为,中点为,则中垂线为⑤

同理可得直线的中垂线为⑥,

由⑤⑥可得圆心，半径为，所以外接圆为

法二：（2）设外接圆的方程为，其中．

因为三角形的三个顶点都在圆上，所以根据（1），将三点坐标代入有：

解得

∴外接圆的方程为．

19．如图，在正方体中，E为棱的中点．

(1)求证：平面EAC；

(2)求直线与平面EAC所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】小问1：连接，交于，连接，推导出，由此能证明平面.

小问2：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的大小．

【详解】（1）证明：连接，交于，连接，

∵在正方体中，是正方形，∴是中点，

∵为棱的中点，∴，

∵平面，平面，

∴平面.

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设正方体中棱长为2，

则，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，取，得，

设直线与平面所成角的大小为，

则，

∴直线与平面EAC所成角的正弦值为．

20．如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.

（1）若，点的坐标为，求椭圆的方程；

（2）若点横坐标为，点为中点，且，求椭圆的离心率.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由题意，然后将点坐标代入方程，可求解出a，可得椭圆方程；

（2）将P点横坐标代入椭圆方程可得P的坐标，可得的中点M的坐标，再由，可得a，c的关系式，从而求解离心率．

【详解】解：（1）设椭圆焦距为，则，

所以.①

又点在椭圆：上，所以.②

联立①②解得或（舍去）.

所以椭圆的方程为；

（2）设椭圆焦距为，则，，

代入得，

不妨设点在轴上方，故点坐标为，

又点为中点，故点坐标为，

所以，，

由得，

即，化简得，

将代入得，即，

所以，解得，

因为，所以椭圆的离心率为.

【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆离心率的求法，属于中档题．

21．如图1，在直角梯形中，，，，点是 边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，得到如图2所示的几何体.

（1）求证：平面；

（2）若，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）先由已知条件得到平面，所以有，又因为即可证明平面；

（2）由（1）可知二面角的平面角为，且，所以有，从而求出，因为，所以由可以解出的值，然后建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出面和面的法向量，则两平面法向量的余弦值的绝对值即为二面角的余弦值.

【详解】（1）因为平面平面，平面平面，

又，所以平面，

因为平面，所以，

又因为折叠前后均有，，

所以平面；

（2）由（1）可知平面，所以二面角的平面角为，

又平面，平面，所以，

依题意，

因为，所以，设，则，

由题意知，所以，即，

解得，故，，

，

如图所示，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，由（1）知平面的法向量，

设平面的法向量，

由 得 ，令，得 ，，

所以 ，

所以，

由图知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

【点睛】本题主要考查了证明线面垂直，考查了利用空间向量求二面角的平面角，属于中档题.

22．某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向米的点A处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．

(1)在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？

(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度．

【答案】(1)不在

(2)17.5米

【分析】（1）以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线AB方程，判断直线AB与圆O的位置关系即可；

（2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点A的直线l与圆O相切时的直线方程即可.

【详解】（1）以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系

则，观景直道所在直线的方程为

依题意得：游客所在点为

则直线AB的方程为，化简得，

所以圆心O到直线AB的距离，

故直线AB与圆O相交，

所以游客不在该摄像头监控范围内.

（2）由图易知：过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，

所以设直线l过A且恰与圆O相切，

①若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切；

②若直线l不垂直于x轴，设，整理得

所以圆心O到直线l的距离为，解得或，

所以直线l的方程为或，

即或，

设这两条直线与交于D，E

由，解得，由，解得，

所以，

观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米.