2022-2023学年福建省泉州市现代中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省泉州市现代中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合M={−1,0,1}，N={x|x=a2,a∈M}，则集合M∩N( )
A. {0}B. {1}C. {0,1}D. {−1,0,1}
2. 已知函数f(x)=x3ex，则f′(1)=( )
A. eB. 3eC. 4eD. e+3
3. (1− x)4(1+ x)4的展开式中x的系数是( )
A. −4B. −3C. 3D. 4
4. 已知f(x)是R上的奇函数，x>0时，f(x)=lnx−x+1，则函数y=f(x)的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5. 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为．( )
A. 720B. 520C. 600D. 264
6. 盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是( )
A. 27B. 728C. 37D. 1956
7. 已知函数f(x)=13x3−ax2+3x−5在区间[1,2]上单调递增，则a的取值范围是( )
A. (−∞, 3]B. (−∞,2)C. (−∞,74]D. (−∞,2 3]
8. 设a=3n+Cn13n−1+Cn23n−2+⋯+Cnn−13，则当n=2023时，a除以15所得余数为( )
A. 4B. 3C. 7D. 8
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. (3x−1 x)6的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 所有项系数和为64B. 常数项为第4项C. 整式共有3项D. x3项的系数−81
10. 甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是( )
A. 事件B与事件C是互斥事件B. 事件A与事件C是独立事件
C. P(C)=1330D. P(C|A)=12
11. 已知函数f(x)=ex−e22x2，函数g(x)=f′(x)，则下列说法正确的是( )
A. g(x)的最小值为−e2B. g(x)有2个零点
C. f(x)有且只有1个极值D. f(x)有3个零点
12. 已知F1，F2是椭圆C1：x2a12+y2a22=1(a1>b1>0)与双曲线C2：x2a22−y2a22=1(a2>0,b2>0)的公共焦点，e1，e2分别是C1与C2的离心率，且P是C1与C2的一个公共点，满足PF1⋅PF2=0，则下列结论中正确的是( )
A. a12+b12=a22−b22B. 1e12+1e22=2
C. 1e1+ 3e2的最大值为2 2D. 3e1+1e2的最大值为2 2
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. i是虚数单位，则|4+2i1−i|的值为 ．
14. 《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有______ 种.
15. 如图，已知A，B，C是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦距F，若BF⊥AC且CF=2FA，则该双曲线的离心率等于 ．
16. 已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，2an+1=Sn+2(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)数列{bn}满足bn=an⋅(lg32an−1)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．
18. (本小题12.0分)
某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
(2)设甲公司答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x3−12x2−2x+m，其中m∈R．
(1)若函数f(x)的极小值为0，求实数m的值；
(2)当x∈[−1,2]时，f(x)≥12恒成立，求实数m的取值范围．
20. (本小题12.0分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．
(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若二面角P−AC−E的余弦值为 63，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
21. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，已知点P到点F( 2,0)的距离与到直线x=2 2的距离之比为 22．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过点(0,1)且斜率为k(12≤k≤2)的直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点M，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，求|AB||MN|的取值范围．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=xex−1−a(lnx+1)，a∈R．
(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)当a=2时，求证：f(x)≥x2−2x．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，元素与集合的关系，属基础题．
可求出集合N，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：N={0,1}；
∴M∩N={0,1}．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：因为f′(x)=3x2ex+x3ex=x2ex(3+x)，
所以f′(1)=4e．
故选：C．
结合函数的求导公式及求导法则先对函数求导，然后把x=1代入即可求解．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：(1− x)4(1+ x)4=(1−x)4
(1−x)4的展开式的通项为Tr+1=C4r(−x)r=(−1)rC4rxr
令r=1得展开式中x的系数为−4
故选项为A．
先利用平方差公式化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为1求得展开式中x的系数．
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定想问题的工具．
4.【答案】B
【解析】解：由题得当x>0时，f′(x)=1x−1=1−xx，
所以函数f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减．
所以排除选项A，C，
因为函数是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除D．
故选：B．
先求出函数当x>0时的单调区间，再结合函数的奇偶性确定答案．
本题考查函数图象，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了排列、组合知识的应用问题，利用加法原理，正确分类是关键，属于中档题．
根据题意分甲、乙其中一人参加和甲乙两人都参加两种情况，再由加法原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分2种情况讨论，
若甲乙其中一人参加，则有C21⋅C43⋅A44=192种情况；
若甲乙两人都参加，有C22⋅C42⋅A22⋅A32=72种情况；
则不同的发言顺序种数192+72=264种．
故选D．

6.【答案】A
【解析】解：记为A1：从盒中任取1球为红球，记A2：从盒中任取1球为黑球，记A3：从盒中任取1球为白球，
则A1，A2，A3彼此互斥，
设第二次抽出的是红球记为事件B，
则P(A1)=27，P(A2)=37，P(A3)=27，P(B|A1)=38，P(B|A2)=14，P(B|A3)=14，P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=27×38+37×14+27×14=27．
故选：A．
根据条件概率的计算公式即可求解．
本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
先求出导函数，欲使函数f(x)在区间[1,2]上单调递增可转化成f′(x)≥0在区间[1,2]上恒成立，再借助参数分离法求出参数a的范围．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题的转化，属于基础题．
【解答】
解：f′(x)=x2−2ax+3，
∵f(x)在区间[1,2]上单调递增，
∴f′(x)=x2−2ax+3≥0在区间[1,2]上恒成立，
即a≤x2+32x在[1,2]恒成立，
而y=x2+32x≥2 x2⋅32x= 3，
当且仅当x= 3时“=”成立， 3∈[1,2]，
故a≤ 3，
故选：A．
8.【答案】B
【解析】解：∵a=3n+Cn13n−1+Cn23n−2+⋯+Cnn−13=(3+1)n−Cnn30=4n−1，
当n=2023时，a=42023−1=4×161011−1=4×[(15+1)1011−1]+3，
而(15+1)1011−1=C10110151011+C10111151010+⋯+C1011101015，
故此时a除以15所得余数为3．
故选：B．
a=4n−1，再将16变形为15+1，二项式展开即可得．
本题考查二项式定理，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：令x=1，由(3−1)6=26=64知，所有项系数和为64，故A正确；
二项展开式的通项公式为Tr+1=C6r(3x)6−r(−1)rx−r2=(−1)r36−rC6rx6−32r，令6−32r=0，解得r=4，故展开式第5项为常数项，故B错误；
当r=0，2，4时，6−32r∈N，展开式为整式，故C正确；
当6−32r=3时，r=2，T3=(−1)236−2C62x3=1215x3，故D错误．
故选：AC．
根据赋值法可求出所有项系数和判断A，由二项展开式的通项公式可判断BCD即可．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查对立事件、独立事件、古典概型、条件概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用对立事件判断A，利用独立事件判断B，利用古典概型判断C，利用条件概型判断D．
【解答】
解：对于A，事件B与事件C能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，事件A与事件C不是独立事件，故 B错误；
对于C，P(C)=C31C51×C31C61+C21C51×C21C61=1330，故C正确；
对于D，P(C|A)=P(AC)P(A)=930×53=12.故D正确．
故选：CD．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由f(x)=ex−e22x2，得g(x)=f′(x)=ex−e2x，g′(x)=eˣ−e2，
令g′(x)=0，得x=2，当x∈(−∞,2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(2,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
所以g(x)的最小值为g(2)=−e2<0，选项A正确；
对于B，因为g(0)=1>0，g(4)=e4−4e2=e2(e2−4)>0，
所以存在x1∈(0,2)，x2∈(2,4)，使得g(x1)=0，g(x2)=0，
所以g(x)有2个零点，选项B正确；
对于C，当x∈(−∞,x1)时，f′(x)=g(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(x1,x2)时，f′(x)=g(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(x2,+∞)时，f′(x)=g(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)有2个极值，选项C错误；
对于D，因为f(−2)=1e2−2e2<0，f(x1)>f(0)=1>0，f(x2)0，
所以f(x)在R上有3个零点，选项D正确．
故选：ABD．
求出f(x)的导函数得g(x)，再对g(x)求导数，利用导数判断g(x)的单调性，求出g(x)的最小值，判断选项A正确，计算g(0)、g(4)的值，结合g(x)的最小值即可判断g(x)的零点个数，得出选项B正确；根据导数判断函数的单调性，可判断f(x)的极值个数，得出选项C错误；利用特殊函数值以及函数的单调性判断f(x)的零点个数，得出选项D正确．
本题考查了利用导数判断函数的单调性以及函数极值和零点的应用问题，是难题．
12.【答案】BD
【解析】解：对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故a12−b12=a22+b22，错误；
对选项B：PF1⋅PF2=0，即∠F1PF2=π2，|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|−|PF2|=2a2，
故|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1−a2，故(a1+a2)2+(a1−a2)2=4c2，即a12+a22=2c2，
即1e12+1e22=2，正确；
对选项C：设1e1= 2sinθ，1e2= 2csθ，1e1+ 3e2= 2sinθ+ 6csθ=2 2sin(θ+π3)，
若最大值为2 2，则θ+π3=π2+2kπ,k∈Z，θ=π6+2kπ,k∈Z，1e1= 22，即e1= 2>1，不成立，错误；
对选项D：设1e1= 2sinθ，1e2= 2csθ， 3e1+1e2= 6sinθ+ 2csθ，=2 2sin(θ+π6)，
若最大值为2 2，则θ+π6=π2+2kπ,k∈Z，θ=π3+2kπ,k∈Z，1e1= 62，即e1= 63，1e2= 22，e2= 2，成立，正确；
故选：BD．
根据共焦点得到a12−b12=a22+b22，A错误，计算|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1−a2，得到a12+a22=2c2，B正确，设1e1= 2sinθ，1e2= 2csθ，代入计算得到C错误，D正确，得到答案．
本题考查了椭圆和双曲线的离心率相关问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三角换元求最值可以简化运算，是解题的关键．
13.【答案】 10
【解析】解：4+2i1−i=(4+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i，
则|4+2i1−i|=|1+3i|= 10．
故答案为： 10．
先计算4+2i1−i，再计算模长即可．
本题主要考查复数模长的计算，属于基础题．
14.【答案】126
【解析】解：分以下两种情况讨论：
①若甲只收集一种算法，则甲有3种选择，将其余4种算法分为3组，再分配给乙、丙、丁三人，
此时，不同的收集方案种数为3C42A33=108种；
②若甲收集两种算法，则甲可在运筹算、成数算和把头算3种算法中选择2种，其余3种算法分配给乙、丙、丁三人，
此时，不同的收集方案种数为C32A33=18种．
综上所述，不同的收集方案种数为108+18=126种．
故答案为：126．
对甲收集的方案种数进行分类讨论，结合分组分配原理以及分类加法计数原理可求得结果．
本题考查排列组合问题，属基础题．
15.【答案】 173
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的对称性的应用及勾股定理的应用，属于中档题．
取双曲线的左焦点F′，连接AF′，BF′，CF′，由双曲线的对称性可得四边形AFBF′为矩形，则|BF′|=|AF|，|AF′|=|BF|，设|AF|=m，由双曲线的性质及向量的关系可得|CF|，|CF′|的值，再由勾股定理可得m与a的关系，进而可得a，c的关系，求出双曲线的离心率．
【解答】
解：取双曲线的左焦点F′，连接AF′，BF′，CF′，
由双曲线的对称性可得四边形AFBF′为矩形，则|BF′|=|AF|，|AF′|=|BF|，
设|AF|=m，则|AF′|=2a+m，
因为CF=2FA，可得|CF|=2m，|CF′|=2a+2m，
在Rt△AFF′中，|AF|2+|AF′|2=|FF′|2，即m2+(2a+m)2=(2c)2①，
在Rt△AF′C中，|CF′|2=|AC|2+|AF′|2，即(2a+2m)2=(3m)2+(2a+m)2②，
由①②可得m=23a，689a2=4c2，
可得e=ca= 173，
故答案为： 173．

16.【答案】(0,1e)
【解析】解：对原函数求导f′(x)=2(axlna−ex)，分析可知：f(x)在定义域内至少有两个变号零点，
对其再求导可得：f″(x)=2ax(lna)2−2e，
当a>1时，易知f″(x)在R上单调递增，此时若存在x0使得f″(x0)=0，
则f′(x)在(−∞,x0)单调递减，(x0,+∞)单调递增，
此时若函数f(x)在x=x1和x=x2分别取极小值点和极大值点，应满足x1>x2，不满足题意；
当0则f′(x)在(−∞,x0)单调递增，(x0,+∞)单调递减，且x0=lgae(lna)2，
此时若函数f(x)在x=x1和x=x2分别取极小值点和极大值点，且x1故仅需满足f′(x0)>0，即：elna>elgae(lna)2⇒a1lna>e(lna)2⇒lna1lna>lne(lna)2⇒1lnalna>1−ln(lna)2，
解得：0综上所述：a的取值范围是(0,1e)．
由已知分析函数f′(x)=2(axlna−ex)至少应该两个变号零点，对其再求导f″(x)=2ax(lna)2−2e，分类讨论01时两种情况，
本题主要考查利用导函数研究函数极值点存在大小关系时，导函数图像的问题，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)当n≥2时，
由2an+1=Sn+2，得2an=Sn−1+2，
两式相减得2an+1−2an=an，
所以an+1an=32，
又a1=1，a2=a1+22=32，
所以a2a1=32，
所以数列{an}是以1为首项，32为公比的等比数列，
所以an=(32)n−1；
(Ⅱ)解：bn=an⋅(lg32an−1)=(n−2)⋅(32)n−1，
则Tn=−1×(32)0+0×32+1×(32)2+⋯+(n−2)⋅(32)n−1，
32Tn=−1×32+0×(32)2+1×(32)3+⋯+(n−3)⋅(32)n−1+(n−2)⋅(32)n，
两式相减得−12Tn=−1+32+(32)2+⋯+(32)n−1−(n−2)⋅(32)n
=−2+1−(32)n1−32−(n−2)(32)n，
所以Tn=2(n−4)(32)n+8．
【解析】本题考查了数列的递推关系，错位相减法求和，属于中档题．
(Ⅰ)根据an与Sn得关系，计算即可得出答案；
(Ⅱ)求出数列{bn}的通项公式，再利用错位相减法即可得出答案．
18.【答案】解：(1)由题意可知，所求概率P=C41C22C63×C31(23)1(1−23)2+C42C21C63×(1−22)3=115．
(2)设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3，
P(X=1)=C41C22C63=15，P(X=2)=C42C21C63=35，P(X=3)=C43C20C63=15．
则X的分布列为：
∴E(X)=1×15+2×35+3×15=2，
D(X)=(1−2)2×15+(2−2)2×35+(3−2)2×15=25．
(3)设乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3，
P(Y=0)=127，P(Y=1)=C31×23×(13)2=29，
P(Y=2)=C32×(23)2×13=49，P(Y=3)=(23)3=827，
则Y的分布列为：
∴E(Y)=0×127+1×29+2×49+3×827=2.(或∵Y～B(3,23)，
∴E(Y)=3×23=2，D(Y)=(0−2)2×127+(1−2)2×29+(2−2)2×49+(3−2)2×827=23.(D(Y)=3×23×13=23)
由E(X)=E(Y)，D(X)【解析】(1)利用独立重复试验的概率公式求解甲、乙两家公司共答对2道题目的概率．
(2)设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.求出概率，得到X的分布列求解期望；
(3)设乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3.求出概率得到分布列，求出期望即可，比较即可得结论．
本题考查独立重复试验概率以及分布列期望的求法，考查计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f′(x)=3x2−x−2，令f′(x)>0，解得x<−23或x>1，令f′(x)<0，解得−23即函数f(x)在(−∞,−23),(1,+∞)单调递增，在(−23,1)单调递减，
∴f(x)在x=1处取得极小值，故f(1)=1−12−2+m=0，解得m=32；
(2)由(1)知，函数f(x)在(−∞,−23),(1,+∞)单调递增，在(−23,1)单调递减，
又f(−1)=m+12>f(1)=m−32，
∴f(x)在区间[−1,2]上的最小值为f(1)=m−32，
由f(x)≥12恒成立，知f(1)=m−32≥12，即m≥2，
故实数m的取值范围为[2,+∞)．
【解析】(1)求导，求出函数单调性情况，进而得出极小值，由题意建立关于m的方程，解出即可；
(2)由(1)可知，函数f(x)在[−1,−23),(1,2]单调递增，在(−23,1)单调递减，进而求出最小值，建立关于m的不等式，解出即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
则AC⊥PC，
因为AB=2，AD=CD=1，
则AC=BC= 2，
故AC 2+BC2=AB2，
所以AC⊥BC，
又BC∩PC=C，BC，PC⊂平面PBC，
则AC⊥平面PBC，
又AC⊂平面EAC，
故平面EAC⊥平面PBC；
(2)解：以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1,−1,0)，
设P(0,0,a)(a>0)，
则E(12,−12,a2)，
故CA=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE=(12,−12,a2)，
设平面PAC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅CA=0m⋅CP=0，即x+y=0az=0，
取x=1，则y=−1，
故m=(1,−1,0)，
设平面EAC的法向量为n=(p,q,r)，
则n⋅CA=0n⋅CE=0，即p+q=012p−12q+a2r=0，
令r=−2，则p=a，q=−a，
故n=(a,−a,−2)，
因为二面角P−AC−E的余弦值为 63，
所以|m⋅n||m||n|=a a2+2= 63，解得a=2，
故n=(2,−2,−2)，
所以PA=(1,1,−2)，
则|cs|=|PA⋅n||PA||n|=4 4+4+4× 1+1+4= 23，
故直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 23．
【解析】(1)利用PC⊥平面ABCD，得到AC⊥PC，结合AC⊥BC，可证明AC⊥平面PBC，由面面垂直的判定定理证明即可；
(2)建立合适的空间直角坐标系，设P(0,0,a)(a>0)，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PAC和平面ACE的法向量，由向量的夹角公式列式求解，求解a的值，然后再利用线面角的计算公式求解即可．
本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，二面角的应用以及线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设P(x,y)，由题意|PF||x−2 2|= 22，
因为|PF|= (x− 2)2+y2，所以 (x− 2)2+y2|x−2 2|= 22，
即 (x− 2)2+y2= 22|x−2 2|，两边平方并整理得x24+y22=1．
故点P的轨迹C的方程为x24+y22=1；
(2)设直线l方程为y=kx+1(12≤k≤2)，
联立x24+y22=1y=kx+1，消y并整理得，(2k2+1)x2+4kx−2=0，显然Δ>0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−4k2k2+1，x1x2=−22k2+1，
又y1+y2=k(x1+x2)+2=22k2+1，可得线段AB中点坐标为(−2k2k2+1,12k2+1)，
所以线段AB中垂线的方程为y−12k2+1=−1k(x+2k2k2+1)，
令y=0，可得N(−k2k2+1,0)，
对于直线y=kx+1，令y=0，可得M(−1k,0)，
所以|MN|=|1k−k2k2+1|=k2+1k(2k2+1)，
又|AB|= 1+k2|x1−x2|= 1+k2 (4k2k2+1)2+82k2+1=2 1+k22k2+1 8k2+2，
所以|AB||MN|=2k 8k2+2 1+k2=2 8(k2+1)+6k2+1−14，
令t=k2+1∈[54,5]，则y=8(k2+1)+6k2+1−14=8t+6t−14，
因为y=8t+6t−14在[54,5]上单调递增，
所以y∈[45,1365]，故|AB||MN|∈[4 55,4 1705]．
【解析】(1)根据两点间距离公式，结合已知进行求解即可；
(2)根据一元二次方程根与系数关系，结合椭圆弦长公式、对勾函数的单调性进行求解即可．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】(1)解：f(x)=xex−1−a(lnx+1)，定义域为(0,+∞)，
f′(x)=ex−1+xex−1−ax=(x+1)ex−1−ax，
因为函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，
所以f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立，
所以(x+1)ex−1−ax≥0⇒a≤x(x+1)ex−1，
令h(x)=x(x+1)ex−1，
则h′(x)=(x2+3x+1)ex−1>0在(1,+∞)上恒成立，
所以h(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以h(x)>h(1)=2，
所以a≤2，
即实数a的取值范围是(−∞,2]．
(2)证明：当a=2时，f(x)=xex−1−2(lnx+1)，
由(1)可知，f(x)在(1,+∞)上单调递增，
要证f(x)≥x2−2x.即证f(x)−x2+2x≥0，
令g(x)=f(x)−x2+2x=xex−1−2lnx−x2+2x−2，
g′(x)=ex−1+xex−1−2x−2x+2，
令g′(x)=0，则x(x+1)ex−1=2(x2−x+1)，
解得x=1，
又g′(12)=32e−12−3<0，g′(2)=3e−3>0，
所以在(0,1)上g′(x)<0，g(x)单调递减，在(1,+∞)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)的最小值为g(1)=0，所以g(x)≥0，
所以f(x)≥x2−2x，得证．
【解析】(1)对f(x)求导，由函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，可得f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立，分离参数可得a≤x(x+1)ex−1，令h(x)=x(x+1)ex−1，
利用导数即可求得h(x)的最小值，从而可求得a的取值范围；
(2)令g(x)=f(x)−x2+2x，利用导数求出g(x)的最小值大于等于0，即可得证，
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
X
1
2
3
P
15
35
15
Y
0
1
2
3
P
127
29
49
827