吉林省白城市通榆县毓才高级中学有限责任公司2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题

通榆县毓才高级中学 高二下学期期中考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：选择性必修第二册人教A版.选择性必修三第六章

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（    ）

A． B． C． D．

2．等比数列中，若，则公比为（    ）

A．1 B． C．2 D．2或

3．两个女生和四个男生排成一排，其中两个女生必须排在一起的不同排法有几种（   ）

A．240 B．480

C．120 D．60

4．已知，则x的值是（    ）

A．3 B．6 C．9 D．3或9

5．展开式中的常数项为

A．第5项 B．第5项或第6项 C．第6项 D．不存在

6．已知等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．33 B．66 C．22 D．44

7．已知是定义在上的可导函数，的图象如下图所示，则的单调减区间是

A． B． C． D．

8．在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电视台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为(　　)

A.1 200  B.2 400  C.3 000  D.3 600

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（    ）

A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种

B．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种

C．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种

D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种

10．在的展开式中，下列叙述中正确的是（    ）

A．二项式系数之和为128 B．各项系数之和为1

C．常数项为15 D．的系数为-48

11．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（    ）

A．若女生必须站在一起，那么一共有种排法

B．若女生互不相邻，那么一共有种排法

C．若甲不站最中间，那么一共有种排法

D．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法

12．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是 （    ）

A．在上是增函数B．在上是增函数

C．在上是减函数D．当时，取得极小值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．2022年11月，第五届中国国际进口博览会即将在上海举行，组委员会准备安排5名工作人员去A，B，C，D这4所场馆，其中A场馆安排2人，其余场馆各1人，则不同的安排方法种数为____．

14．在的二项展开式中，项的系数为_________（结果用数值表示）.

15．有本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数为__________（用数字作答）．

16．若函数在处的切线与的图象相切，则实数的值为______．

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17．在的展开式中，求：

(1)第4项的二项式系数；

(2)含的项的系数.

18．已知等差数列中，，.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

19．某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两台车，每台车可以坐4人.

(1)若要求两位老师分别坐在两台车上，问共有多少种分配方法？

(2)郊游结束后，大家在景点合影留念，若要求8人站成一排且两名老师不能相邻，问共有多少种站法（列式并用数字作答）？

20．有8名男生和5名女生，从中任选6人.

(1)有多少种不同的选法？

(2)其中有3名女生，有多少种不同的选法？

(3)其中至多有3名女生，有多少种不同的选法？

21．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；

22.已知数列的前项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为．

证明：

参考答案：

1．A

【分析】根据组合的基本概念求解.

【详解】在50件产品中含有3件次品,所以有47件不是次品,

任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有.

故选:A.

2．C

【分析】根据等比数列的通项公式计算即可.

【详解】设公比为，

由，得，

即，解得.

故选：C.

3．A

【分析】捆绑法：将两个女生捆绑为一个整体与其余四个男生进行全排列.

【详解】因两个女生要排在一起，所以将两个女生视为一个人，

第一步，将两个女生的整体与其余四个男生进行全排列，有种不同排法．

第二步，对于其中的每一种排法，两个女生之间有种不同排法．

由分步计数原理可知共有＝240(种)不同排法．

故选：A．

4．A

【分析】根据组合数的性质求解即可.

【详解】由，

得或，

解得或，

当时，，不符合组合数的定义，所以舍去.

故选：A.

5．C

【分析】根据题意，写出展开式中的通项为，令的指数为0，可得的值，由项数与的关系，可得答案．

【详解】解：根据题意，展开式中的通项为，

令，可得；则其常数项为第项；

故选．

【点睛】本题考查二项式系数的性质，解题的关键是正确应用二项式定理，写出二项式展开式，其次注意项数值与的关系,属于基础题．

6．A

【分析】先由等差数列的性质求出，再按照等差数列求和公式及等差数列性质求解即可.

【详解】由题意知：，则，则.

故选：A.

7．B

【详解】分析：先根据图像求出，即得，也即得结果.

详解：因为当时，，所以当时，，

所以的单调减区间是，

选B.

点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.

8．B

9．ACD

【分析】抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为不合格品1件、合格品2件，根据分步计数原理可知A正确，B错误；抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分两种做法：（ⅰ）3件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合格；然后利用分类计数法求解.（ⅱ）总的取法数减去抽取的三件都为合格品的取法即为所求.由此判断CD正确

【详解】解：由题意得：

对于A、B选项：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为3件不合格品中抽取1件有种取法，7件合格品种抽取2件有种取法，故共有中取法，故A正确；

对于选项C：抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分三种情况：①抽取的3件产品中有1件不合格、有2件合格，共有种取法；②抽取的3件产品中有2件不合格、有1件合格，共有种取法；③抽取的3件产品都不合格，种取法.故抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故B错误，C正确；

对于选项D：10件产品种抽取三件的取法有，抽出的3件产品中全部合格的取法有种，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故D正确.

故选：ACD

10．AB

【分析】根据展开式的二项式系数的性质，可判定A正确，令，求得展开式的各项系数和，可判定B正确，求得展开式的通项，结合通项，可判定C、D错误.

【详解】在的展开式中，二项式系数的和为，所以A正确；

令，可得展开式的各项系数的和为，所以B正确；

又由二项式展开式的通项为，

因为，所以，所以展开式没有常数项，所以C错误；

令，可得，所以站开始的的系数为，所以D错误.

故选：AB.

11．AC

【分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.

【详解】选项,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有种，加上4名男生一共有5个个体，则有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；

选项,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有种，再将3名女生插入空中，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故不正确；

选项,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方式有种，再将剩余的6人全排列，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；

 选项,利用间接法，3人站成一排共有种排法，若甲站最左边有种排法，乙站最右边有种排法，甲站最左边且乙站最右边有种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法，故不正确；

故选：AC.

12．BD

【分析】由的图象可判断单调性，即可判断各选项正误.

【详解】由图象可知，当时，，则在上单调递减，

当时，，则在上单调递增，故B正确，AC错误；

又由以上分析可知，时，取得极小值，故D正确；

故选：BD

13．60

【分析】运用分步乘法先安排2人去A场馆，再安排其余3人到剩余3个场馆即可得结果.

【详解】分为两步，第一步：安排2人去A场馆有种结果，第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有种结果，所以不同的安排方法种数为．

故答案为：60.

14．

【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.

【详解】由二项式展开式的通项可知，

令，可得，所以项的系数为，

故答案为：.

15．

【分析】由题意可知，只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可，结合隔板法可得结果.

【详解】将本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，

只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可，

所以，不同的分法种数为种.

故答案为：.

16．1

【分析】首先求出在处的切线方程，再设切点坐标为结合列出方程组解方程即可.

【详解】因为函数的导函数为且.

所以切线方程为：.又因为的导函数为：

设切点坐标为，由题意可得

故填：1

17．(1)35

(2)280

【分析】（1）先写出通项公式，根据二项式系数的定义进行求解；

（2）先写出通项公式，找到含有的项，然后可得系数.

【详解】（1）由二项式定理可知，在展开式中，

第项为.

所以第4项的二项式系数为.

（2）由二项式定理可知，在展开式中，

第项为.

当时，展开式中含的项的系数为.

【点睛】易错点点睛：要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“某一项的系数”这两个概念：

①二项式系数是组合数 (r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中“某一项的系数”不一定相等；

②第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号.

18．(1)；

(2)n.

【分析】（1）利用等差数列通项公式的基本量运算即得；

（2）利用求和公式即得.

【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，

所以，解得，

所以；

（2）n.

19．(1)40

(2)30240

【分析】（1）该问不涉及排序问题，考虑用组合去处理，第一辆车选好后，剩下的归为第二辆车.

（2）排序问题中，不相邻问题考虑用插空法.

【详解】（1）八个人坐两台车，只需要考虑第一辆车坐的人，先选一位老师坐入第一辆车，共种选法，再选三名学生坐入第一辆车，共种选法，因此共有种分配方式.

（2）先让6名学生排队，共种方法，然后两名老师插入7个空隙，共种方法，因此共有种站法.

20．(1)1716种

(2)560种

(3)1568种

【分析】（1）从13人中任意抽取6人，不需考虑顺序，是一个组合问题，

（2）可以先从5名女生中选出3名女生，再从从8名男生中选出3名男生，因此可以看做是一个分步完成的组合问题；

（3）从8名男生和5名女生中抽出的人中至多有3名女生，包括没有女生，有名女生，有名女生，有名女生四种情况，因此可以看做是一个分类完成的组合问题.

【详解】（1）所有的不同的选法的总数，就是从13个不同元素中取6个不同元素的组合数，

故共有 (种)不同的选法.

（2）从5名女生中选出3名女生，有种选法；

从8名男生中选出3名男生，有种选法.

根据分步计数原理，共有(种)不同的选法.

（3）从8名男生和5名女生中抽出的人中至多有3名女生，包括没有女生，有名女生，有名女生，有名女生四种情况；

第一类，没有女生，有种选法；

第二类，有1名女生，有种选法；

第三类，有2名女生，有种选法；

第四类，有3名女生，有种选法.

由分类计数原理得，不同的选法共有(种).

21．(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导可得，分和进行讨论即可得解；

（2）根据题意参变分离可得恒成立，令，求出的最大值即可得解.

【详解】（1）依题意，，

当时，显然，所以在上单调递增；

当时，令，得；令，；

即在上单调递增，在上单调递减．

（2）由题意得恒成立，等价于恒成立，

令，即时成立．

则，当时，，当时，，

那么在上单调递增，在上单调递增减，所以，

所以．

22.