2023年北京市西城区育才学校中考数学零模试卷（含解析）

2023年北京市西城区育才学校中考数学零模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  春节假期，北京市推出了庙会休闲娱乐、传统文化展演、游园赏景赏花、冰雪项目体验等精品文化活动，共接待旅游总人数  人次，将  用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在数轴上，实数，对应的点的位置如图所示，且这两个点关于原点对称，下列结论中，正确的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.  如图，，于点若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图是某几何体的三视图，该几何体是(    )
 

A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 圆柱

5.  若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是(    )

A. 正七边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形

6.  关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某便利店的咖啡单价为元杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如表：

例如，购买类会员卡，年内购买次咖啡，每次购买杯，则消费元．若小玲年内在该便利店购买咖啡的次数介于次之间，且每次购买杯，则最省钱的方式为(    )

A. 购买类会员卡 B. 购买类会员卡 C. 购买类会员卡 D. 不购买会员卡

8.  下面的四个选项中都有两个变量，其中变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(    )

A. 圆的面积与它的半径
B. 正方形的周长与它的边长
C. 小丽从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间与平均速度
D. 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积与一边长

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是          ．

10.  因式分解：______．

11.  在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为        ．

12.  已知“若，则”是真命题，请写出一个满足条件的的值是          ．

13.  如图，在矩形中，若，，，则的长为        ．

14.  如图，已知等腰三角形，，，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则       

15.  图中的直角三角形有一条直角边长为，将四个图中的直角三角形分别拼成如图，图所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为______．
 

16.  盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共个，搭配为，，三种盲盒各一个，其中盒中有个蓝牙耳机，个多接口优盘，个迷你音箱；盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为：；盒中有个蓝牙耳机，个多接口优盘，个迷你音箱经核算，盒的成本为元，盒的成本为元每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和，则盒的成本为______ 元

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

17.  解不等式组：；

四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算．

19.  本小题分
关于的一元二次方程．
若是方程的一个实数根，求的值；
若为负数，判断方程根的情况．

20.  本小题分
如图，在▱中，，交于点，且．

求证：四边形是矩形；
的角平分线交于点，当，时，求的长．

21.  本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线平行，且经过点．
求这个一次函数的解析式；
当时，对于的每一个值，反比例函数的值都小于一次函数的值，直接写出的取值范围．

22.  本小题分
下面是证明三角形中位线定理的两种方法，选择其中一种，完成证明过程．

23.  本小题分
某商场为了解甲、乙两个部门的营业员在某月的销售情况，分别从两个部门中各随机抽取了名营业员，获得了这些营业员的销售额单位：万元的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
设营业员该月的销售额为单位：万元，甲部门营业员销售额数据的频数
分布直方图如下数据分成组：，，，，：
甲部门营业员该月的销售额数据在这一组的是：

甲、乙两部门营业员该月销售额数据的平均数、中位数如表：

根据以上信息，回答下列问题：
写出表中的值；
在甲部门抽取的营业员中，记该月销售额超过万元的人数为，在乙部门抽取的营业员中，记该月销售额超过万元的人数为，比较，的大小，并说明理由；
若该商场乙部门共有名营业员，估计乙部门该月的销售总额．

24.  本小题分
如图，在中，，点为边的中点，以为直径作，分别与，交于点，，过点作于．

求证：是的切线；
若，的半径为，求的长．

25.  本小题分
某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．

请解决以下问题：
在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．

请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为______米精确到；
公园增设了新的游玩项目，购置了宽度米，顶棚到水面高度为米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．
求点的坐标及抛物线的对称轴；
当时，的最小值是，求当时，的最大值；
抛物线上的两点，，若对于，，都有，直接写出的取值范围．

27.  本小题分
在中，，，过点作的垂线，垂足为，为射线上一动点不与点重合，连接，以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，与直线交于点．
如图，当点在线段上时，
依题意补全图形；
求证：点为的中点．
如图，当点在线段的延长线上时，用等式表示，，之间的数量关系，并证明．
 

28.  本小题分
，是上的两个点，点在的内部．若为直角，则称为关于的内直角，特别地，当圆心在边含顶点上时，称为关于的最佳内直角．如图，是关于的内直角，是关于的最佳内直角．在平面直角坐标系中．
如图，的半径为，，是上两点．
已知，，，在，，，中，是关于的内直角的是______；
若在直线上存在一点，使得是关于的内直角，求的取值范围．
点是以为圆心，为半径的圆上一个动点，与轴交于点点在点的右边现有点，，对于线段上每一点，都存在点，使是关于的最佳内直角，请直接写出的最大值，以及取得最大值时的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：  ，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：由数轴上点的位置，得
，，
A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据数轴上点的位置关系，可得，的关系，根据有理数的运算，可得答案．
本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得，的关系是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义有关知识，先根据垂直的定义，得出，再根据平行线的性质，即可得出的度数．
【解答】
解：，
，
，
，
又，
，
故选B．  

4.【答案】 

【解析】解：根据所给出的三视图得出该几何体是长方体；
故选：．
根据主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，再根据俯视图的形状，可判断柱体是长方体．
本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体，如果有两个矩形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
本题考查了正多边形外角和的知识，解题时注意：正多边形的每个外角相等，且其和为．
【解答】
解：多边形的每个外角相等，且其和为，
据此可得，
解得．
故选C．  

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得，解的或．
故选：．
根据根的判别式得到，然后解关于的不等式，即可求出的范围，并根据选项判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：设一年内在便利店购买咖啡次，
购买类会员年卡，消费费用为元；
购买类会员年卡，消费费用为元；
购买类会员年卡，消费费用为元；
把代入得：元；：元；：元，
把代入得：元；：元；：元，
则小玲年内在该便利店购买咖啡的次数介于次之间，且每次购买杯，则最省钱的方式为购买类会员年卡．
故选：．
设一年内在便利店购买咖啡次，用表示出购买各类会员年卡的消费费用，把、代入计算，比较大小得到答案．
本题考查的是有理数的混合运算的应用，代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：圆的面积与它的半径的关系式为，
，
该函数图象的开口应向上，
变量与变量之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
B.正方形的周长与它的边长的关系式为，
变量与变量之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
C.设小丽从家骑车去学校的路程为为常数，则，
变量与变量之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
D.设铁丝的长度为为常数，则，
变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故符合题意．
故选：．
根据每个选项的描述，分别写出两个变量之间的函数关系即可判断．
本题考查了函数的图象，解题关键在于根据选项的描述，正确判断出两个变量之间满足的函数关系式．
 

9.【答案】 

【解析】解：若式子在实数范围内有意义，
则，
解得：，
则的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用二次根式的定义求出的取值范围．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：

．
故答案是：．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：直线与双曲线交于，两点，
点，点关于原点对称，
，
故答案为：．
根据反比例函数和正比例函数均是中心对称图形可知点，点关于原点对称，即可得到．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与正比例函数的中心对称性是解题的关键．
 

12.【答案】本题答案不唯一 

【解析】解：如果，时，则．
所以可取．
故答案为本题答案不唯一．
利用不等式的性质，当时，命题为真命题，然后在的范围内取一个值即可．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
．
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据矩形的性质得，，即可得出，并根据勾股定理求出，再根据，得出，然后根据相似三角形对应边相等得出比例式，求出，再利用勾股定理求解．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
．
以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，
，
．
．
，
．
故答案为：．
利用等腰三角形的性质先求出、，再利用三角形的外角与内角的关系得结论．
本题考查了等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”及“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”等知识点是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设图中的直角三角形另一条直角边长为，
，，
，
故答案为．
分别表示出，，即可求解．
本题考查了正方形的性质，利用参数表示正方形的面积是本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共个，盒中有个蓝牙耳机，个多接口优盘，个迷你音箱；盒中有个蓝牙耳机，个多接口优盘，个迷你音箱；
盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共个，
盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为：，
盒中有多接口优盘个，蓝牙耳机有个，迷你音响有个，
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为元，元，元，
由题知：，
得：，
得：，
盒的成本为：元，
故答案为：．
根据题意确定盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代数式即可．
本题主要考查列代数式和代数式的运算，利用、盒中的价格关系求出盒的价格是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

19.【答案】解：是方程的一个实数根，
，
整理得，，
；
，
，
．
．
此方程有两个不相等的实数根． 

【解析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
由方程根的定义，代入可得到关于的方程，则可求得的值；
计算方程根的判别式，判断判别式的符号即可．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
，
．
▱为矩形．
解：过点作于点，如图所示：

四边形是矩形，
，
，
为的角平分线，
．
，
．
，，
．
．
，．
设，则，
在中，，
．
解得：，
． 

【解析】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．
由平行四边形的性质和已知条件得出，即可得出结论；
过点作于点，由角平分线的性质得出由三角函数定义得出，，设，则，在中，由三角函数的定义得出，即可得出答案．
 

21.【答案】解：一次函数的图象与直线平行，
，
把点代入可得：，
解得：，
一次函数的表达式为：；
当时，此时当时，反比例函数的图像在第四象限，
则反比例函数的值小于一次函数恒成立；
当时，
当时，一次函数值，
当时，反比例函数的值都小于一次函数的值，
，解得：
，
综上所述：或． 

【解析】利用平行可得出的值，再把点代入解析式即可得出答案；
分和两种情况进行讨论，结合题中给出的条件即可求出的取值范围．
本题考查的是一次函数与反比例函数交点问题，解题关键：一是求出一次函数解析式，二是分类讨论．
 

22.【答案】证明：方法一：、分别是、的中点，
，，
在与中，
，
≌，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
；
方法二：证明：如图，过点作直线，过点作直线交直线于，交于，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
点 是边的中点，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，． 

【解析】方法一：由中点可得，，利用可证得≌，则有，，从而有，，可判定四边形是平行四边形，即有，，从而可求证；
方法二：如图，过点作直线，过点作直线交直线于，交于，根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，，于是得到结论．
本题主要考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，解答的关键是作出正确的辅助线．
 

23.【答案】解：甲部门抽样名营业员该月销售额从小到大排列，排在第、位的两个数分别为，，故中位数；
在甲部门抽取的营业员中，该月销售额超过万元的人数为人，故；
乙部门的平均数为，中位数为，
在乙部门抽取的营业员中，该月销售额超过万元的人数为不少于人，故，
；
万元，
答：估计乙部门该月的销售总额为万元． 

【解析】根据中位数的意义，求出甲部门抽样名营业员该月销售额从小到大排列，得出处在第、位的数据即可；
根据题意得出，，再比较大小即可；
用样本估计总体即可．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解题的关键是掌握中位数的定义以及样本估计总体思想的运用．
 

24.【答案】证明：如图，连接，

，
是的直径，
，
，
点是的斜边的中点，
，
，
，
，
，
，
点在上，
是的切线；
的半径为，
，
在中，，
根据勾股定理得，，
由知，
，
． 

【解析】此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，判断出是解本题的关键．
先判断出是的直径，进而判断出，即可得出结论；
先根据勾股定理求出，再判断出，即可得出结论．
 

25.【答案】 

【解析】解：如图所示：

由图象可知喷泉最高点距离湖面的高度为米；
根据图象设二次函数的解析式为，
将代入得，
抛物线的解析式为，
当时，，
解得或舍去，
所以喷泉的落水点距水枪的水平距离约为米，
故答案为：，；
当时，，
答：游船没有被喷泉淋到的危险．
建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；
观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的坐标，设二次函数的顶点式，求解即可；
把代入关系式，计算出的值与比较即可．
本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．
 

26.【答案】解：令，得，
点坐标为，
，
该二次函数图象的对称轴是直线；
对称轴为直线，
又当时，的最小值是，则抛物线开口向上，
最小值在顶点处取得，
，
解得，
二次函数表达式为，
抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，且，
当时，有最大值，此时，
当时，的最大值为；
或． 

【解析】本题考查二次函数性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的最值．
解：见答案；
见答案；
对于，，都有，分两种情况：
当时，需满足时的函数值不大于时的函数值，如图：

，
解得，
当时，需满足的函数值不小于的函数值，如图：

，
解得．
综上所述，对于，，都有，则或．
 

27.【答案】解解：如图：

如图，连接，

，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
为的中点．
理由如下：
如图，连接，

由可知：≌，
，为的中点仍然成立，
且，
设，，
则，
，
，
在中，由勾股定理可得：，
，，，
． 

【解析】根据题意画图即可，由条件可证≌，得到，从而有，再通过平行线分线段成比例即可证出为的中点；
由知≌，可得，为的中点仍然成立，设，，表示出，，即可发现它们之间的数量关系．
本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，表示出，，的长度是解决问题的关键．
 

28.【答案】解：如图，

，，，
，，，
不在以为直径的圆弧上，
故不是关于的内直角，
，，，
，，，
，
，
是关于的内直角，
同理可得，，
是关于的内直角，
故答案为：，；
是关于的内直角，
，且点在的内部，
满足条件的点形成的图形为如图中的半圆点，均不能取到，

过点作轴于点，
，，
，，
并可求出直线的解析式为，
当直线过直径时，，
连接，作直线交半圆于点，过点作直线，交轴于点，
，，
，
，
是半圆的切线．
，，
∽，
，
，
，
，，
≌，
，
，直线的解析式为，
直线的解析式为，此时，
的取值范围是．
对于线段上每一个点，都存在点，使是关于的最佳内直角，
点一定在的边上，
，，线段上任意一点不包含点都必须在以为直径的圆上，该圆的半径为，
当点在该圆的最高点时，有最大值，
即的最大值为．
分两种情况：
若点不与点重合，那么点必须在边上，此时，
点在以为直径的圆上，
如图，当与相切时，，

，，
，
，，，
≌，
，
，
，
当与重合时，，
此时的取值范围是，
若点与点重合时，临界位置有两个，一个是当点与重合时，，另一个是当时，，
此时的取值范围是，
综合以上可得，的取值范围是． 

【解析】本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键．
判断点，，是否在以为直径的圆弧上即可得出答案；
求得直线的解析式，当直线与弧相切时为临界情况，证明∽，可求出此时，则答案可求出；
可知线段上任意一点不包含点都必须在以为直径的圆上，该圆的半径为，则当点在该圆的最高点时，有最大值，再分点不与点重合，点与点重合两种情况求出临界位置时的值即可得解．