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2023年北京师大第三附中中考数学一模试卷（含答案解析）
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这是一份2023年北京师大第三附中中考数学一模试卷（含答案解析），共24页。试卷主要包含了7×104B， 分解因式等内容，欢迎下载使用。
2023年北京师大第三附中中考数学一模试卷
1. 据市烟花办相关负责人介绍，2016年除夕零时至正月十五24时，全市共销售烟花爆竹约147000箱，同比下降了25%，将147000用科学记数法表示应为( )
A. 14.7×104 B. 1.47×104 C. 1.47×105 D. 0.147×106
2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，−a，b，−b按照从小到大的顺序排列是( )
A. −b<−a
A. 圆锥
B. 圆柱
C. 正三棱柱
D. 正三棱锥
4. 一副三角板如图放置，若∠1=90∘，则∠2的度数为( )
A. 45∘
B. 60∘
C. 75∘
D. 90∘
5. 小敏的妈妈在超市买了20个青团，其中豆沙馅的10个，榴莲馅的6个，蛋黄肉松馅的4个，它们的形状、大小和重量都是一样的，这些青团装在一个不透明的塑料袋中，小敏从中随机摸出一个，恰好是榴莲馅青团的概率是( )
A. 15 B. 25 C. 310 D. 12
6. 如图，AM为⊙O的切线，A为切点，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB.则∠OCD的度数为( )
A. 110∘
B. 115∘
C. 120∘
D. 125∘
7. 为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图，这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 6，4 B. 6，6 C. 4，4 D. 4，6
8. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(单位：千帕)随气球内气体的体积V(单位：立方米)的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压P与气球内气体的体积V的函数关系最可能是( )
V(单位：立方米)
64
48
38.4
32
24
…
P(单位：千帕)
1.5
2
2.5
3
4
…
A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 反比例函数
9. 分解因式：a3−8a2+16a=______.
10. 将二次函数y=x2−8x−1化成y=a(x−h)2+k的形式，结果为______ .
11. 关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______.
12. 已知某函数图象当x>1时，y随x的增大而减小，请你写出一个满足条件的二次函数解析式______ .
13. 小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序，如果用(8,5)表示入口处的位置，(6,1)表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置可以表示为______ ，______ 的位置离入口最近.
14. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术，其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并雀、燕重一斤，问雀、燕一枚各重几何？”.
译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤，问雀、燕1只各重多少？”设每只雀重x斤，每只燕中y斤，可列方程组为______ .
15. 综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC距离为21米的B处，然后沿着射线CB退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量BE=2.4米，若小宇的身高是1.6米，则假山AC的高度为______ 米.(结果保留整数)
16. 在一次数学活动课上，某数学老师将1∼10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上(每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下).他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：15；丁：8；戊：17，则丙同学手里拿的卡片的数字是__________.
17. 计算： 32−2sin45∘+(2−π)0−(14)−1.
18. 解不等式组3(x−1)−x<22x−13≤x+1，并写出它的所有的负整数解.
19. 已知4x+2y=−5，求代数式[(x−y)2−(x+y)2+y(2x−y)]÷(−2y)的值.
20. 已知：如图，△ABC.
求作：点D(点D与点B在直线AC的异侧)，使得DA=DC，且∠ADC+∠ABC=180∘.
作法：①分别作线段AC的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2，直线l1与l2交于点O；
②以点O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O与l1在直线BC上方的交点为D；
③连接DA，DC.
所以点D就是所求作的点．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，OC.
∵直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，
∴OA=OC，DA=DC.
∵直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，
∴______=______.
∴OA=OB=OC.
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC=180∘.(______)(填推理的依据)
21. 如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．
22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象的一个交点的横坐标为1.
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)当x<−3时，对于x的每一个值，反比例函数y=mx的值大于一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的值，直接写出k的取值范围．
23. 甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.甲小区用气量频数分布直方图如下(数据分成5组：5≤x<10，10≤x<15，15≤x<20，20≤x<25，25≤x<30)
b.甲小区用气量的数据在15≤x<20这一组的是：
15 15 16 16 16 16 18 18 18 18 18 19
c.甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：
小区
平均数
中位数
众数
甲
17.2
m
18
乙
17.7
19
15
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为p1.在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为p2.比较p1，p2的大小，并说明理由；
(3)估计甲小区中用气量超过15立方米的户数．
24. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径．
(1)求证：OD⊥CE；
(2)若DF=1，DC=3，求AE的长．
25. 某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x m，距地面的竖直高度为y m，获得数据如表：
x/m
0.0
1.0
2.0
3.0
4.5
y/m
1.6
3.7
4.4
3.7
0.0
小景根据学习函数的经验，对函数随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小景的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(2)水流的最高点距喷水枪的水平距离为______ m；
(3)结合函数图象，解决问题：
公园准备在距喷水枪水平距离为3.5m处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为______m.
26. 在平面直角坐标系xOy中，点(4,3)在抛物线y=ax2+bx+3(a>0)上．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知m>0，当2−m≤x≤2+2m时，y的取值范围是−1≤y≤3.求a，m的值；
(3)在(2)的条件下，是否存在实数n，使得当n−2
(1)如图1，当点E与点C重合时，AD与CB′的位置关系是______，若BC=a，则CD的长为______；(用含a的式子表示)
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE.
①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB=1，且A，B两点中至少有一点在⊙O外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段A′B′(A′,B′分别为点A，B的对应点)，若线段A′B′上所有的点都在⊙O的内部或⊙O上，则线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
(1)如图1，点A1，B1的坐标分别为(−3,0)，(−2,0)，线段A1B1到⊙O的“平移距离”为______，点A2，B2的坐标分别为(−12, 3)，(12, 3)，线段A2B2到⊙O的“平移距离”为______；
(2)若点A，B都在直线y= 3x+2 3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；
(3)如图2，若点A坐标为(1, 3)，线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形(不需证明).
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：将数据147000用科学记数法可表示为：1.47×105.
故选：C.
科学记数法表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10是关键．
2.【答案】D
【解析】解：由图可知：a<0|a|，
∴−b<0，−a>0，
∴−b
根据数轴可得a<0|a|，再根据正数>0>负数，负数绝对值大的反而小．
本题考查了数轴，相反数，有理数的大小比较的应用，能根据数轴上a、b的位置得出−a和−b的位置是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】
【解答】解：该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为矩形，主视图是一个等边三角形，
则可得出该几何体为正三棱柱．
故选：C.
【分析】如图：该几何体的俯视图与左视图均为矩形，主视图为三角形，易得出该几何体的形状．
本题主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角板的知识，熟记三角板的度数是解题的关键．
根据直角三角形的性质求出∠3，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】
解：如图，∵∠1=90∘，
∴∠3=90∘−45∘=45∘，
∴∠2=45∘+30∘=75∘.
故选：C.
5.【答案】C
【解析】解：恰好是榴莲馅青团的概率是620=310，
故选：C.
根据概率公式求解即可．
本题主要考查了根据概率公式求解概率，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】C
【解析】解：∵AM是切线，
∴OA⊥AM，
∴∠OAM=90∘，
又∵BD⊥AM，
∴∠BDM=90∘，
∴∠OAM=∠BDM，
∴AO//BD，
∴∠AOC=∠BCO，
∵OC是∠AOB平分线，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠BOC=∠BCO，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠OCB=60∘，
则∠OCD=180∘−60∘=120∘.
故选：C.
由于AM是切线，BD⊥AM，易得∠OAM=∠BDM=90∘，从而可证OA//BD，那么就有∠AOC=∠BCO，OC是∠AOB角平分线，易得∠AOC=∠BOC，可得∠BOC=∠BCO，又OB=OC，从而可证明△OBC是等边三角形，知道∠OCB的度数，从而可求∠OCD.
本题考查了切线的性质、平行线的判定和性质、角平分线的概念，难度一般，解答本题的关键是证明OA//BD.
7.【答案】B
【解析】解：出现最多的是6小时，则众数为6；
按大小顺序排列在中间的两个人的锻炼时间都为6小时，则中位数为6.
故选：B.
根据众数与中位数的定义求解即可.
本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
8.【答案】D
【解析】解：由题意可知，64×1.5=96；48×2=96；38.4×2.5=96；32×3=96；24×4=96，…
由此可得出P和V的函数关系是为：P=96V.
故选：D.
根据所给出的数据和常识可直接判断．
此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．
9.【答案】a(a−4)2.
【解析】解：a3−8a2+16a=a(a2−8a+16)=a(a−4)2.
故答案为：a(a−4)2.
直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
10.【答案】y=(x−4)2−17
【解析】解：y=x2−8x−1=x2−8x+16−16−1=(x−4)2−17，
故答案为：y=(x−4)2−17.
利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可得解．
本题考查二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
11.【答案】m>−1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=4+4m>0，
解得：m>−1.
故答案为：m>−1.
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
12.【答案】y=−(x−1)2(答案不唯一)
【解析】解：根据题意可得，在直线x=1的左边，y随x的增大而减小，则二次函数开口向下，且对称轴在直线x=1的右边，或与直线x=1重合，
∴满足条件的一个二次函数解析式为：y=−(x−1)2(答案不唯一).
故答案为：y=−(x−1)2(答案不唯一).
分析题意可得，在直线x=1的左边，y随x的增大而减小，则二次函数开口向下，且对称轴在直线x=1的右边，或与直线x=1重合，据此写出符合条件的二次函数解析式即可．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握a>0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a<0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
13.【答案】(0,7)天文馆
【解析】解：∵(8,5)表示入口处的位置，(6,1)表示高空缆车的位置，
∴可建立如图所示平面直角坐标系：
由图可知：攀岩的位置可以表示为(0,7)，天文馆的位置离入口最近．
故答案为：(0,7)，天文馆．
先根据入口和高空缆车的位置，确定原点，并建立平面直角坐标系，即可进行解答．
本题主要考查了坐标确定位置，解题的关键是根据(8,5)表示入口处的位置，(6,1)表示高空缆车的位置，确定原点位置．
14.【答案】5x+6y=14x+y=x+5y
【解析】解：设每只雀重x斤，每只燕中y斤，
可列方程组为：5x+6y=14x+y=x+5y，
故答案为：5x+6y=14x+y=x+5y.
根据“将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等”可得4x+y=x+5y，根据“5只雀、6只燕重量为1斤”可得5x+6y=1，联立即可得到方程组．
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，根据等量关系列出方程组．
15.【答案】14
【解析】解：∵DE⊥CE，AC⊥CE，
∴∠C=∠E=90∘，
根据平面镜反射原理，入射角等于反射角可得：∠ABC=∠DBE，
∴△ABC∽△DBE，
∴DEAC=BEBC，即1.6AC=2.421，
解得：AC=14，
故答案为：14.
根据题意可得△ABC∽△DBE，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答．
本题主要考查了利用相似三角形测高，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
16.【答案】5和10
【解析】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，
∴每人手里的数字不重复．
由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；
由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；
由丙：15，可知丙手中的数字可能是5和10，6和9，7和8；
由丁：8，可知丁手中的数字可能是1和7，2和6，3和5；
由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；
∴丁只能是2和6，甲只能是4和7，丙只能是5和10，戊只能是8和9.
故答案为：5和10.
根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．
本题考查的是有理数加法的应用，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．
17.【答案】解：原式=4 2−2× 22+1−114
=4 2− 2+1−4
=3 2−3.
【解析】根据算术平方根，特殊角三角函数，零指数幂、负整数指数幂的定义计算即可．
本题考查实数的运算，解题关键是熟知算术平方根，特殊角三角函数，零指数幂、负整数指数幂的定义．
18.【答案】解：{3(x−1)−x<2①2x−13⩽x+1②，
由①可得：x<52，
由②可得：x≥−4，
∴原不等式组的解集为：−4≤x<52，
∴该不等式组的负整数解有：−4，−3，−2，−1.
【解析】根据不等式的性质，分别解出不等式，再求出其公共解集，再写出负整数解即可．
此题主要考查不等式组的解法，解题的关键是熟知不等式的性质进行求解．
19.【答案】解：原式={[(x−y)+(x+y)][(x−y)−(x+y)]+y(2x−y)}÷(−2y)
=[2x×(−2y)+2xy−y2]÷(−2y)
=(−2xy−y2)÷(−2y)
=x+y2，
∵4x+2y=−5，
∴原式=x+y2=14(4x+2y)=14×(−5)=−54.
【解析】先将代数式化简，再将4x+2y=−5代入求值即可．
本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则．
20.【答案】解：(1)如图，点D为所作；
(2)完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，OC.
∵直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，
∴OA=OC，DA=DC.
∵直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，
∴OB=OC.
∴OA=OB=OC.
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC=180∘(圆内接四边形的对角互补).
【解析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形；
(2)连接OA，OB，OC，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，DA=DC，OB=OC.
则OA=OB=OC.所以点A，B，C都在⊙O上．然后根据圆内接四边形的性质得到∠ADC+∠ABC=180∘.
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和圆内接四边形的性质．
21.【答案】(1)证明：∵∠ADE=∠BAD，
∴AB//DE，
∵AE⊥AC，BD⊥AC，
AE//BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
(2)解：∵DA平分∠BDE，
∴∠AED=∠BDA，
∴∠BAD=∠BDA，
∴BD=AB=5，
设BF=x，则DF=5−x，
∴AD2−DF2=AB2−BF2，
∴62−(5−x)2=52−x2，
∴x=75，
∴AF= AB2−BF2=245，
∴AC=2AF=485.
【解析】(1)由平行四边形的判定定理：两组对边分别平行得到结论；
(2)由角平分线、等量代换得到角相等，由等角对等边得到BD=AB=5，根据勾股定理列方程求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程．
22.【答案】解：(1)对于y=k(x−1)+6，当x=1时，y=6，
则一次函数y=k(x−1)+6的图象与反比例函数y=mx的图象的一个交点坐标为(1,6)，
∴m=1×6=6，
∴反比例函数的解析式为：y=6x；
(2)解方程组y=k(x−1)+6y=6x，得x1=1y1=6，x2=−6ky2=−k，
由题意得：−6k≥−3，
解得：k≥2，
则k的取值范围是k≥2.
【解析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，
(1)根据一次函数图象上点的坐标特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出m，得出反比例函数的解析式；
(2)解方程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案．
23.【答案】解：(1)将抽取的30户用气量从小到大排列，处在中间位置的两个数都是16，因此中位数是16，即m=16，
答：m=16；
(2)p1
∴p1
答：甲小区中用气量超过15立方米约180户．
【解析】(1)根据中位数的定义进行计算即可；
(2)根据中位数、众数以及平均数的定义进行判断即可；
(3)求出用气量超过15立方米的用户所占的百分比即可求出答案．
本题考查平均数、众数、中位数，掌握平均数、中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．
24.【答案】解：(1)∵⊙O与边AB相切于点E，且 CE为⊙O的直径，
∴CE⊥AB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
又∵OE=OC，
∴OD//EB，
∴OD⊥CE；
(2)连接EF，
∵CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，∴∠EFC=90∘，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90∘.
∴∠BEF+∠FEC=∠FEC+∠ECF=90∘，
∴∠BEF=∠ECF，
∴tan∠BEF=tan∠ECF
∴BFEF=EFFC，
又∵DF=1，BD=DC=3，
∴BF=2，FC=4，
∴EF=2 2，
∵∠EFC=90∘，
∴∠BFE=90∘，
由勾股定理，得BE= BF2+EF2=2 3，
∵EF//AD，
∴BEEA=BFFD=21，
∴AE= 3.
【解析】(1)⊙O与边AB相切于点E，且 CE为⊙O的直径，得到CE⊥AB，由等腰三角形的性质三线合一得到BD=DC，根据三角形的中位线的性质得到结论；
(2)连接EF，由CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，得到∠EFC=90∘，又因为 CE⊥AB，得到∠BEF+∠FEC=∠FEC+∠ECF=90∘，推出∠BEF=∠ECF，于是得到tan∠BEF=tan∠ECF，得到等积式BFEF=EFFC，求得EF=2 2，由勾股定理得BE，再根据平行线分线段成比例，列出比例式求解．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角形函数，勾股定理，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】22.825
【解析】解：(1)函数图象如下图所示；
(2)由图象得，水流的最高点距喷水枪的水平距离为2m，
故答案为：2；
(3)设抛物线的关系式为y=a(x−2)2+4.4，
把(0,1.6)代入可得1.6=4a+4.4，
解得a=−0.7，
∴抛物线的关系式为y=−0.7(x−2)2+4.4，
当x=3.5时，y=2.825，
答：石柱的高度约为2.825m.
故答案为：2.825.
(1)根据常识，结合所给的点，可画出大致图形为抛物线；
(2)由图象可得水流的最高点距喷水枪的水平距离；
(3)根据图象求出抛物线的关系式，再求出当x=3.5时y的值即可．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式．
26.【答案】解：(1)∵抛物线为y=ax2+bx+3(a>0)，
∴x=0时，y=3，
∴抛物线y=ax2+bx+3过点(0,3)，
∵抛物线y=ax2+bx+3过点(4,3)，
∴该抛物线的对称轴为：直线x=2.
(2)∵抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=2，
∴−b2a=2，即b=−4a①．
∵m>0，
∴2−m<2<2+2m.
∵a>0，抛物线开口向上，
∴当x=2时，函数值在2−m≤x≤2+2m上取得最小值−1.
即4a+2b+3=−1②．
联立①②，解得a=1，b=−4.
∴抛物线的表达式为y=x2−4x+3，即y=(x−2)2−1.
∵m>0，
∴当2−m≤x≤2时， y随 x的增大而减小，当x=2−m时取得最大值，
当2≤x≤2+2m时， y随 x的增大而增大，当x=2+2m时取得最大值，
∵对称轴为直线x=2，
∴x=2−m与x=2+m时的函数值相等．
∵2<2+m<2+2m，
∴当x=2+2m时的函数值大于当x=2+m时的函数值，即x=2−m时的函数值．
∴当x=2+2m时，函数值在2−m≤x≤2+2m上取得最大值3.
代入有4m2−1=3，
得m=1或m=−1(舍去)，
故a=1，m=1.
(3)存在，n=1.
【解析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，待定系数法，正确进行分类讨论是解题的关键．
(1)利用对称点与对称轴的关系：对称点的横坐标之和等于对称轴的2倍，即可求出该抛物线的对称轴．
(2)分别讨论2−m≤x≤2+2m的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下y取最大值与最小值时，对应的x的取值，进而求出a，m的值．
(3)由于y的取值范围是3n−3
∵当n−2
①当n≤2时，n−2
∴x=n−2时，y有最大值，x=n时，y有最小值，
由题意可知：(n−2)2−4(n−2)+3=3n+5n2−4n+3=3n−3，
解得：n=1，
故n=1，
②当n−2≥2时，n−2
∴x=n−2时，y有最小值，x=n时，y有最大值，
由题意可知：(n−2)2−4(n−2)+3=3n−3n2−4n+3=3n+5，此时n无解，
故不符合题意，
综上所述，n=1.
27.【答案】解：(1)互相垂直；12a；
(2)①当点E与点C不重合时，用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系是：∠BAC=2∠DAE，
证明如下：
过点A作AM⊥BC于点M、AN⊥CB′点N，如图：
则∠AMC=∠ANC=90∘，
∴∠CAN+∠ACB′=90∘，
∵∠DAE+∠ACD=90∘，
即∠DAE+∠ACB′=90∘，
∴∠DAE=∠CAN，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴∠BAC=2∠CAM=2∠BAM，
在△ACN与△ACM中，
∠ANC=∠AMC ∠ACN=∠ACM AC=AC ，
∴△ACN≌△ACM(AAS)，
∴∠CAN=∠CAM，
∴∠BAC=2∠CAM=2∠CAN=2∠DAE；
②用等式表示线段BE、CD、DE之间的量关系是：BE=CD+DE，
证明如下：
在BC上截取BF=CD，连接AF，如图：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB′=∠ACB，
∴∠B=∠ACB′=∠ACD，
在△ABF和△ACD中，
AB=AC ∠B=∠ACD BF=CD ，
∴△ABF≌△ACD(SAS)，
∴AF=AD，∠BAF=∠CAD，
∴∠BAF+∠CAE=∠CAD+∠CAE=∠DAE，
由①知：∠BAC=2∠DAE，
即∠DAE=12∠BAC，
∴∠BAF+∠CAE=12∠BAC，
∴∠FAE=∠BAC−(∠BAF+∠CAE)=12∠BAC，
∴∠FAE=∠DAE，
在△FAE和△DAE中，
AF=AD ∠FAE=∠DAE AE=AE ，
∴△FAE≌△DAE(SAS)，
∴FE=DE，
∴BE=FE+BF=CD+DE.
【解析】
解：(1)当点E与点C重合时，∠DAE=∠DAC，
∵∠DAE+∠ACD=90∘，
∴∠DAC+∠ACD=90∘，
∴∠ADC=90∘，
∴AD⊥CB′，
即AD与CB′的位置关系是互相垂直，
若BC=a，过点A作AM⊥BC于点M，如图：
则∠AMC=90∘=∠ADC，
∵AB=AC，
∴CM=BM=12BC=12a，
在△ACD与△ACM中，
∠ADC=∠AMC ∠ACD=∠ACM AC=AC ，
∴△ACD≌△ACM(AAS)，
∴CD=CM=12a，
即CD的长为12a，
故答案为：互相垂直；12a；
(2)见答案；
【分析】
(1)根据三角形内角和定理可得AD与CB′的位置关系是互相垂直，过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形性质得到CM=BM=12BC=12a，利用AAS证明△ACD≌△ACM，根据全等三角形性质即可得出CD=CM=12a；
(2)当点E与点C不重合时，①过点A作AM⊥BC于点M、AN⊥CB′点N，利用AAS证明△ACN≌△ACM(AAS)，根据全等三角形性质即可得到∠BAC=2∠DAE；
②在BC上截取BF=CD，连接AF，利用SAS证明△ABF≌△ACD，根据全等三角形性质得到AF=AD，∠BAF=∠CAD，根据角的和差得到∠FAE=∠DAE，再利用SAS证明△FAE≌△DAE，根据全等三角形性质及线段和差即可得到BE=CD+DE.
此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
28.【答案】解：(1)根据“平移距离”的定义可得：线段A1B1到⊙O的“平移距离”为2，
如图1，设A2B2与y轴交于E，线段A2B2向下平移得到⊙O的弦A′2B′2，线段A′2B′2与y轴交于点F，
则A′2F=12，OA′2=1，OE= 3，
∴OF= 32，
∴A2A′2=EF=OE−OF= 3− 32= 32，
∴线段A2B2到⊙O的“平移距离”为 32，
故答案为：2， 32；
(2)如图2中，作等边△OEF，点E在x轴上，
OE=EF=OF=1，
设直线y= 3x+2 3交x轴于M，交y轴于N.
则M(−2,0)，N(0,2 3)，
过点E作EH⊥MN于H，
∵OM=2，ON=2 3，
∴tan∠NMO= 3，
∴∠NMO=60∘，
∴EH=EM⋅sin60∘= 32，
观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为 32.
(3)如图3，连接OA，交⊙O于点A′，
则OA= 12+( 3)2=2，
∴OA到⊙O任意一点距离的最小值为OA′=OA−1=1，
∴点A′(12, 32)，
设平移后圆上另一点为B′，由题意得：A′B′=1，
有三种情况：
①点B′与点O重合，则点B的坐标为(12, 32)；
②点B′与点(1,0)重合，则点B的坐标为(32, 32)；
③点B′与点(−12, 32)重合，则点B的坐标为(0, 3)；
如图可知，所有满足条件的点B形成的图形是以A为圆心，圆心角为120∘的B1B3B2.
【解析】本题属于圆的综合题，考查了平移变换，一次函数的性质，勾股定理，解直角三角形，线段AB到⊙O的“平移距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
(1)根据平移的性质，以及线段AB到⊙O的“平移距离”的定义判断即可．
(2)如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE=EF=OF=1，设直线y= 3x+2 3交x轴于M，交y轴于N.则M(−2,0)，N(0,2 3)，过点E作EH⊥MN于H，解直角三角形求出EH即可判断．
(3)如图3，连接OA，交⊙O于点A′，则OA=2，AA′=1，运用“平移距离”的定义和平移的性质即可得出答案．
2023年北京师大第三附中中考数学一模试卷
1. 据市烟花办相关负责人介绍，2016年除夕零时至正月十五24时，全市共销售烟花爆竹约147000箱，同比下降了25%，将147000用科学记数法表示应为( )
A. 14.7×104 B. 1.47×104 C. 1.47×105 D. 0.147×106
2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，−a，b，−b按照从小到大的顺序排列是( )
A. −b<−a
A. 圆锥
B. 圆柱
C. 正三棱柱
D. 正三棱锥
4. 一副三角板如图放置，若∠1=90∘，则∠2的度数为( )
A. 45∘
B. 60∘
C. 75∘
D. 90∘
5. 小敏的妈妈在超市买了20个青团，其中豆沙馅的10个，榴莲馅的6个，蛋黄肉松馅的4个，它们的形状、大小和重量都是一样的，这些青团装在一个不透明的塑料袋中，小敏从中随机摸出一个，恰好是榴莲馅青团的概率是( )
A. 15 B. 25 C. 310 D. 12
6. 如图，AM为⊙O的切线，A为切点，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB.则∠OCD的度数为( )
A. 110∘
B. 115∘
C. 120∘
D. 125∘
7. 为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图，这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 6，4 B. 6，6 C. 4，4 D. 4，6
8. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(单位：千帕)随气球内气体的体积V(单位：立方米)的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压P与气球内气体的体积V的函数关系最可能是( )
V(单位：立方米)
64
48
38.4
32
24
…
P(单位：千帕)
1.5
2
2.5
3
4
…
A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 反比例函数
9. 分解因式：a3−8a2+16a=______.
10. 将二次函数y=x2−8x−1化成y=a(x−h)2+k的形式，结果为______ .
11. 关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______.
12. 已知某函数图象当x>1时，y随x的增大而减小，请你写出一个满足条件的二次函数解析式______ .
13. 小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序，如果用(8,5)表示入口处的位置，(6,1)表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置可以表示为______ ，______ 的位置离入口最近.
14. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术，其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并雀、燕重一斤，问雀、燕一枚各重几何？”.
译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤，问雀、燕1只各重多少？”设每只雀重x斤，每只燕中y斤，可列方程组为______ .
15. 综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC距离为21米的B处，然后沿着射线CB退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量BE=2.4米，若小宇的身高是1.6米，则假山AC的高度为______ 米.(结果保留整数)
16. 在一次数学活动课上，某数学老师将1∼10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上(每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下).他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：15；丁：8；戊：17，则丙同学手里拿的卡片的数字是__________.
17. 计算： 32−2sin45∘+(2−π)0−(14)−1.
18. 解不等式组3(x−1)−x<22x−13≤x+1，并写出它的所有的负整数解.
19. 已知4x+2y=−5，求代数式[(x−y)2−(x+y)2+y(2x−y)]÷(−2y)的值.
20. 已知：如图，△ABC.
求作：点D(点D与点B在直线AC的异侧)，使得DA=DC，且∠ADC+∠ABC=180∘.
作法：①分别作线段AC的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2，直线l1与l2交于点O；
②以点O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O与l1在直线BC上方的交点为D；
③连接DA，DC.
所以点D就是所求作的点．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，OC.
∵直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，
∴OA=OC，DA=DC.
∵直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，
∴______=______.
∴OA=OB=OC.
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC=180∘.(______)(填推理的依据)
21. 如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．
22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象的一个交点的横坐标为1.
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)当x<−3时，对于x的每一个值，反比例函数y=mx的值大于一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的值，直接写出k的取值范围．
23. 甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.甲小区用气量频数分布直方图如下(数据分成5组：5≤x<10，10≤x<15，15≤x<20，20≤x<25，25≤x<30)
b.甲小区用气量的数据在15≤x<20这一组的是：
15 15 16 16 16 16 18 18 18 18 18 19
c.甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：
小区
平均数
中位数
众数
甲
17.2
m
18
乙
17.7
19
15
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为p1.在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为p2.比较p1，p2的大小，并说明理由；
(3)估计甲小区中用气量超过15立方米的户数．
24. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径．
(1)求证：OD⊥CE；
(2)若DF=1，DC=3，求AE的长．
25. 某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x m，距地面的竖直高度为y m，获得数据如表：
x/m
0.0
1.0
2.0
3.0
4.5
y/m
1.6
3.7
4.4
3.7
0.0
小景根据学习函数的经验，对函数随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小景的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(2)水流的最高点距喷水枪的水平距离为______ m；
(3)结合函数图象，解决问题：
公园准备在距喷水枪水平距离为3.5m处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为______m.
26. 在平面直角坐标系xOy中，点(4,3)在抛物线y=ax2+bx+3(a>0)上．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知m>0，当2−m≤x≤2+2m时，y的取值范围是−1≤y≤3.求a，m的值；
(3)在(2)的条件下，是否存在实数n，使得当n−2
(1)如图1，当点E与点C重合时，AD与CB′的位置关系是______，若BC=a，则CD的长为______；(用含a的式子表示)
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE.
①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB=1，且A，B两点中至少有一点在⊙O外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段A′B′(A′,B′分别为点A，B的对应点)，若线段A′B′上所有的点都在⊙O的内部或⊙O上，则线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
(1)如图1，点A1，B1的坐标分别为(−3,0)，(−2,0)，线段A1B1到⊙O的“平移距离”为______，点A2，B2的坐标分别为(−12, 3)，(12, 3)，线段A2B2到⊙O的“平移距离”为______；
(2)若点A，B都在直线y= 3x+2 3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；
(3)如图2，若点A坐标为(1, 3)，线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形(不需证明).
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：将数据147000用科学记数法可表示为：1.47×105.
故选：C.
科学记数法表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10是关键．
2.【答案】D
【解析】解：由图可知：a<0
∴−b<0，−a>0，
∴−b
根据数轴可得a<0
本题考查了数轴，相反数，有理数的大小比较的应用，能根据数轴上a、b的位置得出−a和−b的位置是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】
【解答】解：该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为矩形，主视图是一个等边三角形，
则可得出该几何体为正三棱柱．
故选：C.
【分析】如图：该几何体的俯视图与左视图均为矩形，主视图为三角形，易得出该几何体的形状．
本题主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角板的知识，熟记三角板的度数是解题的关键．
根据直角三角形的性质求出∠3，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】
解：如图，∵∠1=90∘，
∴∠3=90∘−45∘=45∘，
∴∠2=45∘+30∘=75∘.
故选：C.
5.【答案】C
【解析】解：恰好是榴莲馅青团的概率是620=310，
故选：C.
根据概率公式求解即可．
本题主要考查了根据概率公式求解概率，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】C
【解析】解：∵AM是切线，
∴OA⊥AM，
∴∠OAM=90∘，
又∵BD⊥AM，
∴∠BDM=90∘，
∴∠OAM=∠BDM，
∴AO//BD，
∴∠AOC=∠BCO，
∵OC是∠AOB平分线，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠BOC=∠BCO，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠OCB=60∘，
则∠OCD=180∘−60∘=120∘.
故选：C.
由于AM是切线，BD⊥AM，易得∠OAM=∠BDM=90∘，从而可证OA//BD，那么就有∠AOC=∠BCO，OC是∠AOB角平分线，易得∠AOC=∠BOC，可得∠BOC=∠BCO，又OB=OC，从而可证明△OBC是等边三角形，知道∠OCB的度数，从而可求∠OCD.
本题考查了切线的性质、平行线的判定和性质、角平分线的概念，难度一般，解答本题的关键是证明OA//BD.
7.【答案】B
【解析】解：出现最多的是6小时，则众数为6；
按大小顺序排列在中间的两个人的锻炼时间都为6小时，则中位数为6.
故选：B.
根据众数与中位数的定义求解即可.
本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
8.【答案】D
【解析】解：由题意可知，64×1.5=96；48×2=96；38.4×2.5=96；32×3=96；24×4=96，…
由此可得出P和V的函数关系是为：P=96V.
故选：D.
根据所给出的数据和常识可直接判断．
此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．
9.【答案】a(a−4)2.
【解析】解：a3−8a2+16a=a(a2−8a+16)=a(a−4)2.
故答案为：a(a−4)2.
直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
10.【答案】y=(x−4)2−17
【解析】解：y=x2−8x−1=x2−8x+16−16−1=(x−4)2−17，
故答案为：y=(x−4)2−17.
利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可得解．
本题考查二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
11.【答案】m>−1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=4+4m>0，
解得：m>−1.
故答案为：m>−1.
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
12.【答案】y=−(x−1)2(答案不唯一)
【解析】解：根据题意可得，在直线x=1的左边，y随x的增大而减小，则二次函数开口向下，且对称轴在直线x=1的右边，或与直线x=1重合，
∴满足条件的一个二次函数解析式为：y=−(x−1)2(答案不唯一).
故答案为：y=−(x−1)2(答案不唯一).
分析题意可得，在直线x=1的左边，y随x的增大而减小，则二次函数开口向下，且对称轴在直线x=1的右边，或与直线x=1重合，据此写出符合条件的二次函数解析式即可．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握a>0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a<0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
13.【答案】(0,7)天文馆
【解析】解：∵(8,5)表示入口处的位置，(6,1)表示高空缆车的位置，
∴可建立如图所示平面直角坐标系：
由图可知：攀岩的位置可以表示为(0,7)，天文馆的位置离入口最近．
故答案为：(0,7)，天文馆．
先根据入口和高空缆车的位置，确定原点，并建立平面直角坐标系，即可进行解答．
本题主要考查了坐标确定位置，解题的关键是根据(8,5)表示入口处的位置，(6,1)表示高空缆车的位置，确定原点位置．
14.【答案】5x+6y=14x+y=x+5y
【解析】解：设每只雀重x斤，每只燕中y斤，
可列方程组为：5x+6y=14x+y=x+5y，
故答案为：5x+6y=14x+y=x+5y.
根据“将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等”可得4x+y=x+5y，根据“5只雀、6只燕重量为1斤”可得5x+6y=1，联立即可得到方程组．
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，根据等量关系列出方程组．
15.【答案】14
【解析】解：∵DE⊥CE，AC⊥CE，
∴∠C=∠E=90∘，
根据平面镜反射原理，入射角等于反射角可得：∠ABC=∠DBE，
∴△ABC∽△DBE，
∴DEAC=BEBC，即1.6AC=2.421，
解得：AC=14，
故答案为：14.
根据题意可得△ABC∽△DBE，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答．
本题主要考查了利用相似三角形测高，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
16.【答案】5和10
【解析】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，
∴每人手里的数字不重复．
由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；
由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；
由丙：15，可知丙手中的数字可能是5和10，6和9，7和8；
由丁：8，可知丁手中的数字可能是1和7，2和6，3和5；
由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；
∴丁只能是2和6，甲只能是4和7，丙只能是5和10，戊只能是8和9.
故答案为：5和10.
根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．
本题考查的是有理数加法的应用，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．
17.【答案】解：原式=4 2−2× 22+1−114
=4 2− 2+1−4
=3 2−3.
【解析】根据算术平方根，特殊角三角函数，零指数幂、负整数指数幂的定义计算即可．
本题考查实数的运算，解题关键是熟知算术平方根，特殊角三角函数，零指数幂、负整数指数幂的定义．
18.【答案】解：{3(x−1)−x<2①2x−13⩽x+1②，
由①可得：x<52，
由②可得：x≥−4，
∴原不等式组的解集为：−4≤x<52，
∴该不等式组的负整数解有：−4，−3，−2，−1.
【解析】根据不等式的性质，分别解出不等式，再求出其公共解集，再写出负整数解即可．
此题主要考查不等式组的解法，解题的关键是熟知不等式的性质进行求解．
19.【答案】解：原式={[(x−y)+(x+y)][(x−y)−(x+y)]+y(2x−y)}÷(−2y)
=[2x×(−2y)+2xy−y2]÷(−2y)
=(−2xy−y2)÷(−2y)
=x+y2，
∵4x+2y=−5，
∴原式=x+y2=14(4x+2y)=14×(−5)=−54.
【解析】先将代数式化简，再将4x+2y=−5代入求值即可．
本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则．
20.【答案】解：(1)如图，点D为所作；
(2)完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，OC.
∵直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，
∴OA=OC，DA=DC.
∵直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，
∴OB=OC.
∴OA=OB=OC.
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC=180∘(圆内接四边形的对角互补).
【解析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形；
(2)连接OA，OB，OC，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，DA=DC，OB=OC.
则OA=OB=OC.所以点A，B，C都在⊙O上．然后根据圆内接四边形的性质得到∠ADC+∠ABC=180∘.
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和圆内接四边形的性质．
21.【答案】(1)证明：∵∠ADE=∠BAD，
∴AB//DE，
∵AE⊥AC，BD⊥AC，
AE//BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
(2)解：∵DA平分∠BDE，
∴∠AED=∠BDA，
∴∠BAD=∠BDA，
∴BD=AB=5，
设BF=x，则DF=5−x，
∴AD2−DF2=AB2−BF2，
∴62−(5−x)2=52−x2，
∴x=75，
∴AF= AB2−BF2=245，
∴AC=2AF=485.
【解析】(1)由平行四边形的判定定理：两组对边分别平行得到结论；
(2)由角平分线、等量代换得到角相等，由等角对等边得到BD=AB=5，根据勾股定理列方程求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程．
22.【答案】解：(1)对于y=k(x−1)+6，当x=1时，y=6，
则一次函数y=k(x−1)+6的图象与反比例函数y=mx的图象的一个交点坐标为(1,6)，
∴m=1×6=6，
∴反比例函数的解析式为：y=6x；
(2)解方程组y=k(x−1)+6y=6x，得x1=1y1=6，x2=−6ky2=−k，
由题意得：−6k≥−3，
解得：k≥2，
则k的取值范围是k≥2.
【解析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，
(1)根据一次函数图象上点的坐标特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出m，得出反比例函数的解析式；
(2)解方程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案．
23.【答案】解：(1)将抽取的30户用气量从小到大排列，处在中间位置的两个数都是16，因此中位数是16，即m=16，
答：m=16；
(2)p1
∴p1
答：甲小区中用气量超过15立方米约180户．
【解析】(1)根据中位数的定义进行计算即可；
(2)根据中位数、众数以及平均数的定义进行判断即可；
(3)求出用气量超过15立方米的用户所占的百分比即可求出答案．
本题考查平均数、众数、中位数，掌握平均数、中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．
24.【答案】解：(1)∵⊙O与边AB相切于点E，且 CE为⊙O的直径，
∴CE⊥AB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
又∵OE=OC，
∴OD//EB，
∴OD⊥CE；
(2)连接EF，
∵CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，∴∠EFC=90∘，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90∘.
∴∠BEF+∠FEC=∠FEC+∠ECF=90∘，
∴∠BEF=∠ECF，
∴tan∠BEF=tan∠ECF
∴BFEF=EFFC，
又∵DF=1，BD=DC=3，
∴BF=2，FC=4，
∴EF=2 2，
∵∠EFC=90∘，
∴∠BFE=90∘，
由勾股定理，得BE= BF2+EF2=2 3，
∵EF//AD，
∴BEEA=BFFD=21，
∴AE= 3.
【解析】(1)⊙O与边AB相切于点E，且 CE为⊙O的直径，得到CE⊥AB，由等腰三角形的性质三线合一得到BD=DC，根据三角形的中位线的性质得到结论；
(2)连接EF，由CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，得到∠EFC=90∘，又因为 CE⊥AB，得到∠BEF+∠FEC=∠FEC+∠ECF=90∘，推出∠BEF=∠ECF，于是得到tan∠BEF=tan∠ECF，得到等积式BFEF=EFFC，求得EF=2 2，由勾股定理得BE，再根据平行线分线段成比例，列出比例式求解．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角形函数，勾股定理，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】22.825
【解析】解：(1)函数图象如下图所示；
(2)由图象得，水流的最高点距喷水枪的水平距离为2m，
故答案为：2；
(3)设抛物线的关系式为y=a(x−2)2+4.4，
把(0,1.6)代入可得1.6=4a+4.4，
解得a=−0.7，
∴抛物线的关系式为y=−0.7(x−2)2+4.4，
当x=3.5时，y=2.825，
答：石柱的高度约为2.825m.
故答案为：2.825.
(1)根据常识，结合所给的点，可画出大致图形为抛物线；
(2)由图象可得水流的最高点距喷水枪的水平距离；
(3)根据图象求出抛物线的关系式，再求出当x=3.5时y的值即可．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式．
26.【答案】解：(1)∵抛物线为y=ax2+bx+3(a>0)，
∴x=0时，y=3，
∴抛物线y=ax2+bx+3过点(0,3)，
∵抛物线y=ax2+bx+3过点(4,3)，
∴该抛物线的对称轴为：直线x=2.
(2)∵抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=2，
∴−b2a=2，即b=−4a①．
∵m>0，
∴2−m<2<2+2m.
∵a>0，抛物线开口向上，
∴当x=2时，函数值在2−m≤x≤2+2m上取得最小值−1.
即4a+2b+3=−1②．
联立①②，解得a=1，b=−4.
∴抛物线的表达式为y=x2−4x+3，即y=(x−2)2−1.
∵m>0，
∴当2−m≤x≤2时， y随 x的增大而减小，当x=2−m时取得最大值，
当2≤x≤2+2m时， y随 x的增大而增大，当x=2+2m时取得最大值，
∵对称轴为直线x=2，
∴x=2−m与x=2+m时的函数值相等．
∵2<2+m<2+2m，
∴当x=2+2m时的函数值大于当x=2+m时的函数值，即x=2−m时的函数值．
∴当x=2+2m时，函数值在2−m≤x≤2+2m上取得最大值3.
代入有4m2−1=3，
得m=1或m=−1(舍去)，
故a=1，m=1.
(3)存在，n=1.
【解析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，待定系数法，正确进行分类讨论是解题的关键．
(1)利用对称点与对称轴的关系：对称点的横坐标之和等于对称轴的2倍，即可求出该抛物线的对称轴．
(2)分别讨论2−m≤x≤2+2m的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下y取最大值与最小值时，对应的x的取值，进而求出a，m的值．
(3)由于y的取值范围是3n−3
∵当n−2
①当n≤2时，n−2
∴x=n−2时，y有最大值，x=n时，y有最小值，
由题意可知：(n−2)2−4(n−2)+3=3n+5n2−4n+3=3n−3，
解得：n=1，
故n=1，
②当n−2≥2时，n−2
∴x=n−2时，y有最小值，x=n时，y有最大值，
由题意可知：(n−2)2−4(n−2)+3=3n−3n2−4n+3=3n+5，此时n无解，
故不符合题意，
综上所述，n=1.
27.【答案】解：(1)互相垂直；12a；
(2)①当点E与点C不重合时，用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系是：∠BAC=2∠DAE，
证明如下：
过点A作AM⊥BC于点M、AN⊥CB′点N，如图：
则∠AMC=∠ANC=90∘，
∴∠CAN+∠ACB′=90∘，
∵∠DAE+∠ACD=90∘，
即∠DAE+∠ACB′=90∘，
∴∠DAE=∠CAN，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴∠BAC=2∠CAM=2∠BAM，
在△ACN与△ACM中，
∠ANC=∠AMC ∠ACN=∠ACM AC=AC ，
∴△ACN≌△ACM(AAS)，
∴∠CAN=∠CAM，
∴∠BAC=2∠CAM=2∠CAN=2∠DAE；
②用等式表示线段BE、CD、DE之间的量关系是：BE=CD+DE，
证明如下：
在BC上截取BF=CD，连接AF，如图：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB′=∠ACB，
∴∠B=∠ACB′=∠ACD，
在△ABF和△ACD中，
AB=AC ∠B=∠ACD BF=CD ，
∴△ABF≌△ACD(SAS)，
∴AF=AD，∠BAF=∠CAD，
∴∠BAF+∠CAE=∠CAD+∠CAE=∠DAE，
由①知：∠BAC=2∠DAE，
即∠DAE=12∠BAC，
∴∠BAF+∠CAE=12∠BAC，
∴∠FAE=∠BAC−(∠BAF+∠CAE)=12∠BAC，
∴∠FAE=∠DAE，
在△FAE和△DAE中，
AF=AD ∠FAE=∠DAE AE=AE ，
∴△FAE≌△DAE(SAS)，
∴FE=DE，
∴BE=FE+BF=CD+DE.
【解析】
解：(1)当点E与点C重合时，∠DAE=∠DAC，
∵∠DAE+∠ACD=90∘，
∴∠DAC+∠ACD=90∘，
∴∠ADC=90∘，
∴AD⊥CB′，
即AD与CB′的位置关系是互相垂直，
若BC=a，过点A作AM⊥BC于点M，如图：
则∠AMC=90∘=∠ADC，
∵AB=AC，
∴CM=BM=12BC=12a，
在△ACD与△ACM中，
∠ADC=∠AMC ∠ACD=∠ACM AC=AC ，
∴△ACD≌△ACM(AAS)，
∴CD=CM=12a，
即CD的长为12a，
故答案为：互相垂直；12a；
(2)见答案；
【分析】
(1)根据三角形内角和定理可得AD与CB′的位置关系是互相垂直，过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形性质得到CM=BM=12BC=12a，利用AAS证明△ACD≌△ACM，根据全等三角形性质即可得出CD=CM=12a；
(2)当点E与点C不重合时，①过点A作AM⊥BC于点M、AN⊥CB′点N，利用AAS证明△ACN≌△ACM(AAS)，根据全等三角形性质即可得到∠BAC=2∠DAE；
②在BC上截取BF=CD，连接AF，利用SAS证明△ABF≌△ACD，根据全等三角形性质得到AF=AD，∠BAF=∠CAD，根据角的和差得到∠FAE=∠DAE，再利用SAS证明△FAE≌△DAE，根据全等三角形性质及线段和差即可得到BE=CD+DE.
此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
28.【答案】解：(1)根据“平移距离”的定义可得：线段A1B1到⊙O的“平移距离”为2，
如图1，设A2B2与y轴交于E，线段A2B2向下平移得到⊙O的弦A′2B′2，线段A′2B′2与y轴交于点F，
则A′2F=12，OA′2=1，OE= 3，
∴OF= 32，
∴A2A′2=EF=OE−OF= 3− 32= 32，
∴线段A2B2到⊙O的“平移距离”为 32，
故答案为：2， 32；
(2)如图2中，作等边△OEF，点E在x轴上，
OE=EF=OF=1，
设直线y= 3x+2 3交x轴于M，交y轴于N.
则M(−2,0)，N(0,2 3)，
过点E作EH⊥MN于H，
∵OM=2，ON=2 3，
∴tan∠NMO= 3，
∴∠NMO=60∘，
∴EH=EM⋅sin60∘= 32，
观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为 32.
(3)如图3，连接OA，交⊙O于点A′，
则OA= 12+( 3)2=2，
∴OA到⊙O任意一点距离的最小值为OA′=OA−1=1，
∴点A′(12, 32)，
设平移后圆上另一点为B′，由题意得：A′B′=1，
有三种情况：
①点B′与点O重合，则点B的坐标为(12, 32)；
②点B′与点(1,0)重合，则点B的坐标为(32, 32)；
③点B′与点(−12, 32)重合，则点B的坐标为(0, 3)；
如图可知，所有满足条件的点B形成的图形是以A为圆心，圆心角为120∘的B1B3B2.
【解析】本题属于圆的综合题，考查了平移变换，一次函数的性质，勾股定理，解直角三角形，线段AB到⊙O的“平移距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
(1)根据平移的性质，以及线段AB到⊙O的“平移距离”的定义判断即可．
(2)如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE=EF=OF=1，设直线y= 3x+2 3交x轴于M，交y轴于N.则M(−2,0)，N(0,2 3)，过点E作EH⊥MN于H，解直角三角形求出EH即可判断．
(3)如图3，连接OA，交⊙O于点A′，则OA=2，AA′=1，运用“平移距离”的定义和平移的性质即可得出答案．
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