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2023年北京市西城区育才学校中考数学零模试卷（含答案解析）
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这是一份2023年北京市西城区育才学校中考数学零模试卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了8×104C等内容，欢迎下载使用。
2023年北京市西城区育才学校中考数学零模试卷
1. 春节假期，北京市推出了庙会休闲娱乐、传统文化展演、游园赏景赏花、冰雪项目体验等精品文化活动，共接待旅游总人数9 608 000人次，将9 608 000用科学记数法表示为( )
A. 9608×103 B. 960.8×104 C. 96.08×105 D. 9.608×106
2. 在数轴上，实数a，b对应的点的位置如图所示，且这两个点关于原点对称，下列结论中，正确的是( )
A. a+b=0 B. a−b=0 C. |a|<|b| D. ab>0
3. 如图，AB//CD，DA⊥CE于点A.若∠EAB=55∘，则∠D的度数为( )
A. 25∘
B. 35∘
C. 45∘
D. 55∘
4. 如图是某几何体的三视图，该几何体是( )
A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 圆柱
5. 若正多边形的一个外角是40∘，则这个正多边形是( )
A. 正七边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形
6. 关于x的一元二次方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
7. 某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如表：
会员卡类型
办卡费用/元
有效期
优惠方式
A类
40
1年
每杯打九折
B类
80
1年
每杯打八折
C类
130
1年
一次性购买2杯，第二杯半价
例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×(0.9×10)=940元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75∼85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为( )
A. 购买A类会员卡 B. 购买B类会员卡 C. 购买C类会员卡 D. 不购买会员卡
8. 下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )
A. 圆的面积y与它的半径x
B. 正方形的周长y与它的边长x
C. 小丽从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x
D. 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x
9. 若 x+3在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________.
10. 因式分解：3a2−12a+12=______.
11. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与双曲线y=4x交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，则y1+y2的值为______ .
12. 已知“若a>b，则ac
14. 如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，∠A=40∘，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则∠ABE=______ ∘.
15. 图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1−S2的值为______.
16. 盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径.某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱.经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元(每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和)，则C盒的成本为______ 元.
17. 计算:(13)−1−(n−2023)0+| 3−2|−3tan30∘.
18. 解不等式组：2(x−1)
(1)若m是方程的一个实数根，求m的值；
(2)若m为负数，判断方程根的情况．
20. 如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO=BO.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD=3，tan∠CAB=34时，求AE的长．
21. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与直线y=2x平行，且经过点(1,3).
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x>1时，对于x的每一个值，反比例函数y=mx(m≠0)的值都小于一次函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出m的取值范围.
22. 下面是证明三角形中位线定理的两种方法，选择其中一种，完成证明过程.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
已知：如图，在△ABC中，点 D、E分别是AB、AC边的中点.
求证：DE//BC，DE=12BC.
方法一：
证明：如图，延长DE至点F，使得DE=FE，连接CF.
方法二：
证明：如图，过点A作直线AM//BC，过点D作直线MN//AC交直线AM于M，交BC于N
23. 某商场为了解甲、乙两个部门的营业员在某月的销售情况，分别从两个部门中各随机抽取了20名营业员，获得了这些营业员的销售额(单位：万元)的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.设营业员该月的销售额为x(单位：万元)，甲部门营业员销售额数据的频数
分布直方图如下(数据分成5组：10≤x<15，15≤x<20，20≤x<25，25≤x<30，30≤x≤35)：
b.甲部门营业员该月的销售额数据在20≤x<25这一组的是：
21.322.122.623.724.324.324.824.9
c.甲、乙两部门营业员该月销售额数据的平均数、中位数如表：
平均数
中位数
甲部门
22.8
m
乙部门
23.0
22.7
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)在甲部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为n1，在乙部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为n2，比较n1，n2的大小，并说明理由；
(3)若该商场乙部门共有100名营业员，估计乙部门该月的销售总额．
24. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G.
(1)求证：EG是⊙O的切线；
(2)若AF=6，⊙O的半径为5，求BE的长．
25. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d(米)
0
1
2
3
4
…
h(米)
2.0
4.0
5.2
5.6
5.2
…
请解决以下问题：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为______米(精确到0.1)；
(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax+2(a>0)与y轴交于点A.
(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；
(2)当0≤x≤5时，y的最小值是−2，求当0≤x≤5时，y的最大值；
(3)抛物线上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，若对于t
(1)如图1，当点E在线段CD上时，
①依题意补全图形；
②求证：点G为BF的中点．
(2)如图2，当点E在线段DC的延长线上时，用等式表示AE，BE，AG之间的数量关系，并证明．
28. A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边(含顶点)上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．
(1)如图2，⊙O的半径为5，A(0,−5)，B(4,3)是⊙O上两点．
①已知P1(1,0)，P2(0,3)，P3(−2,1)，在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B，中，是AB关于⊙O的内直角的是______；
②若在直线y=2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．
(2)点E是以T(t,0)为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D(点D在点T的右边).现有点M(1,0)，N(0,n)，对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：9608000=9.608×106，
故选：D.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】A
【解析】解：由数轴上点的位置，得
a<0
B、a−b<0，故B不符合题意；
C、|a|=|b|，故C不符合题意；
D、ab<0，故D不符合题意；
故选：A.
根据数轴上点的位置关系，可得a，b的关系，根据有理数的运算，可得答案．
本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得a，b的关系是解题关键．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义有关知识，先根据垂直的定义，得出∠BAD=35∘，再根据平行线的性质，即可得出∠D的度数.
【解答】
解：∵DA⊥CE，
∴∠DAE=90∘，
∵∠EAB=55∘，
∴∠BAD=35∘，
又∵AB//CD，
∴∠D=∠BAD=35∘，
故选B.
4.【答案】B
【解析】解：根据所给出的三视图得出该几何体是长方体；
故选：B.
根据主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，再根据俯视图的形状，可判断柱体是长方体．
本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体，如果有两个矩形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
利用任意凸多边形的外角和均为360∘，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
本题考查了正多边形外角和的知识，解题时注意：正多边形的每个外角相等，且其和为360∘.
【解答】
解：多边形的每个外角相等，且其和为360∘，
据此可得360∘÷n=40∘，
解得n=9.
故选C.
6.【答案】A
【解析】解：根据题意得Δ=a2−4×1×1>0，解的a>2或a<−2.
故选：A.
根据根的判别式得到Δ=a2−4×1×1>0，然后解关于a的不等式，即可求出a的范围，并根据选项判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ<0时，方程无实数根．
7.【答案】C
【解析】解：设一年内在便利店购买咖啡x次，
购买A类会员年卡，消费费用为40+2×(0.9×10)x=(40+18x)元；
购买B类会员年卡，消费费用为80+2×(0.8×10)x=(80+16x)元；
购买C类会员年卡，消费费用为130+(10+5)x=(130+15x)元；
把x=75代入得A：1390元；B：1280元；C：1255元，
把x=85代入得A：1570元；B：1440元；C：1405元，
则小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75∼85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为购买C类会员年卡．
故选：C.
设一年内在便利店购买咖啡x次，用x表示出购买各类会员年卡的消费费用，把x=75、85代入计算，比较大小得到答案．
本题考查的是有理数的混合运算的应用，代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A.圆的面积y与它的半径x的关系式为y=πx2，
∵π>0，
∴该函数图象的开口应向上，
∴变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
B.∵正方形的周长y与它的边长x的关系式为y=4x，
∴变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
C.设小丽从家骑车去学校的路程为s(s为常数)，则y=sx，
∴变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
D.设铁丝的长度为a(a为常数)，则y=x⋅a−2x2=−x2+12ax，
∴变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故符合题意．
故选：D.
根据每个选项的描述，分别写出两个变量之间的函数关系即可判断．
本题考查了函数的图象，解题关键在于根据选项的描述，正确判断出两个变量之间满足的函数关系式．
9.【答案】x≥−3
【解析】解：若式子 x+3在实数范围内有意义，
则x+3≥0，
解得：x≥−3，
则x的取值范围是：x≥−3.
故答案为：x≥−3.
直接利用二次根式的定义求出x的取值范围．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
10.【答案】3(a−2)2
【解析】解：3a2−12a+12
=3(a2−4a+4)
=3(a−2)2.
故答案是：3(a−2)2.
直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
11.【答案】0
【解析】解：∵直线y=kx与双曲线y=4x交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，
∴点M，点N关于原点对称，
∴y1+y2=0，
故答案为：0.
根据反比例函数和正比例函数均是中心对称图形可知点M，点N关于原点对称，即可得到y1+y2=0.
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与正比例函数的中心对称性是解题的关键．
12.【答案】−1(本题答案不唯一)
【解析】解：如果a>b，c<0时，则ac
故答案为−1(本题答案不唯一).
利用不等式的性质，当c<0时，命题为真命题，然后在c的范围内取一个值即可．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
13.【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE//BC，∠ABC=90∘，
∴∠EAF=∠BCF.
∵∠AFE=∠BFC，
∴△AEF∼△CBF，
∴AEBC=AFCF，
∴2BC=14，
∴BC=8，
∴AB= AC2−BC2= 102−82=6.
故答案为：6.
根据矩形的性质得AE//BC，∠ABC=90∘，即可得出∠EAF=∠BCF，并根据勾股定理求出BC，再根据∠AFE=∠BFC，得出△AEF∼△CBF，然后根据相似三角形对应边相等得出比例式，求出BC，再利用勾股定理求解．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．
14.【答案】30
【解析】解：∵AB=AC，∠A=40∘，
∴∠C=∠ABC=12(180∘−∠A)=70∘.
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BC=BE，
∴∠C=∠EBC=70∘.
∴∠BEC=180∘−∠EBC−∠C=40∘.
∵∠BEC=∠A+∠ABE，
∴∠ABE=∠BEC−∠A=30∘.
故答案为：30.
利用等腰三角形的性质先求出∠C、∠BEC，再利用三角形的外角与内角的关系得结论．
本题考查了等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”及“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”等知识点是解决本题的关键．
15.【答案】9
【解析】解：设图1中的直角三角形另一条直角边长为b，
∴S1=32+b2=9+b2，S2=b2，
∴S1−S2=9，
故答案为9.
分别表示出S1，S2，即可求解．
本题考查了正方形的性质，利用参数表示正方形的面积是本题的关键．
16.【答案】155
【解析】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱；
∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22−2−3−1−1−3−2=10(个)，
∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2，
∴B盒中有多接口优盘10×12=5(个)，蓝牙耳机有5×33+2=3(个)，迷你音响有10−5−3=2(个)，
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为a元，b元，c元，
由题知：{2a+3b+c=145①3a+5b+2c=245②，
∵①×2−②得：a+b=45，
②×2−①×3得：b+c=55，
∴C盒的成本为：a+3b+2c=(a+b)+(2b+2c)=45+55×2=155(元)，
故答案为：155.
根据题意确定B盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代数式即可．
本题主要考查列代数式和代数式的运算，利用A、B盒中的价格关系求出C盒的价格是解题的关键．
17.【答案】解：(13)−1−(n−2023)0+| 3−2|−3tan30∘
=3−1+(2− 3)−3× 33
=3−1+2− 3− 3
=4−2 3.
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：{2(x−1)
由②得：x>1，
则不等式组的解集为1
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)∵m是方程的一个实数根，
∴m2−(2m−3)m+m2+1=0，
整理得，3m=−1，
∴m=−13；
(2)Δ=b2−4ac=[−(2m−3)]2−4(m2+1)=−12m+5，
∵m<0，
∴−12m>0.
∴Δ=−12m+5>0.
∴此方程有两个不相等的实数根．
【解析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
(1)由方程根的定义，代入可得到关于m的方程，则可求得m的值；
(2)计算方程根的判别式，判断判别式的符号即可．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，BD=2BO.
∵AO=BO，
∴AC=BD.
∴▱ABCD为矩形．
(2)解：过点E作EG⊥BD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90∘，
∴EA⊥AD，
∵DE为∠ADB的角平分线，
∴EG=EA.
∵AO=BO，
∴∠CAB=∠ABD.
∵AD=3，tan∠CAB=34，
∴tan∠CAB=tan∠ABD=34=ADAB.
∴AB=4.
∴BD= AD2+AB2= 32+42=5，sin∠CAB=sin∠ABD=ADBD=35.
设AE=EG=x，则BE=4−x，
在△BEG中，∠BGE=90∘，
∴sin∠ABD=x4−x=35.
解得：x=32，
∴AE=32.
【解析】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．
(1)由平行四边形的性质和已知条件得出AC=BD，即可得出结论；
(2)过点E作EG⊥BD于点G，由角平分线的性质得出EG=EA.由三角函数定义得出AB=4，sin∠CAB=sin∠ABD=ADBD=35，设AE=EG=x，则BE=4−x，在Rt△BEG中，由三角函数的定义得出x4−x=35，即可得出答案．
21.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与直线y=2x平行，
∴k=2，
把点(1,3)代入y=2x+b可得：2+b=3，
解得：b=1，
∴一次函数的表达式为：y=2x+1；
(2)①当m<0时，此时当x>1时，反比例函数y=mx(m≠0)的图像在第四象限，
则反比例函数y=mx(m≠0)的值小于一次函数y=2x+1恒成立；
②当m>0时，
当x=1时，一次函数值y=3，
∵当x>1时，反比例函数y=mx(m≠0)的值都小于一次函数y=kx+b(k≠0)的值，
∴m1≤3，解得：m≤3
∴0
(2)分m>0和m<0两种情况进行讨论，结合题中给出的条件即可求出m的取值范围．
本题考查的是一次函数与反比例函数交点问题，解题关键：一是求出一次函数解析式，二是分类讨论．
22.【答案】证明：方法一：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=BD，AE=CE，
在△ADE与△CFE中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴∠ADE=∠F，AD=CF，
∴CF//AB，CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF=BC，DF//BC，
∴DE=12DF=12BC；
方法二：证明：如图，过点A作直线AM//BC，过点D作直线MN//AC交直线AM于M，交BC于N，
∵AM//BC，MN//AC，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴AM=CN，MN=AC，
∵AM//CN，
∴∠M=BND，
∵点 D是AB边的中点，
∴AD=BD，
在△AMD与△BND中，
∠M=∠BND∠ADM=∠BDNAD=BD，
∴△AMD≌△BND(AAS)，
∴AM=BN，DM=DN，
∴DN=12MN，AM=12BC，
∵CE=12AC，
∴DN=CE，
∴四边形DNCE是平行四边形，
∴DE=CN，DE//CN，
∴DE=12BC，DE//BC.
【解析】方法一：由中点可得AD=BD，AE=CE，利用SAS可证得△ADE≌△CFE，则有∠ADE=∠F，AD=CF，从而有CF//AB，CF=BD，可判定四边形BCFD是平行四边形，即有DF=BC，DF//BC，从而可求证DE=12BC；
方法二：如图，过点A作直线AM//BC，过点D作直线MN//AC交直线AM于M，交BC于N，根据平行四边形的性质得到AM=CN，MN=AC，根据全等三角形的性质得到AM=BN，DM=DN，根据平行四边形的性质得到DE=CN，DE//CN，于是得到结论．
本题主要考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，解答的关键是作出正确的辅助线．
23.【答案】解：(1)甲部门抽样20名营业员该月销售额从小到大排列，排在第10、11位的两个数分别为23.7，24.3，故中位数m=23.7+24.32=24；
(2)在甲部门抽取的营业员中，该月销售额超过23.0万元的人数为11人，故n1=11；
∵乙部门的平均数为23.0，中位数为22.7，
∴在乙部门抽取的营业员中，该月销售额超过23.0万元的人数为不少于11人，故n2≥11，
∴n2≥n1；
(3)100×23.0=2300(万元)，
答：估计乙部门该月的销售总额为2300万元．
【解析】(1)根据中位数的意义，求出甲部门抽样20名营业员该月销售额从小到大排列，得出处在第10、11位的数据即可；
(2)根据题意得出n1，n2，再比较大小即可；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解题的关键是掌握中位数的定义以及样本估计总体思想的运用．
24.【答案】(1)证明：如图，连接EF，
∵∠BAC=90∘，
∴EF是⊙O的直径，
∴OA=OE，
∴∠BAD=∠AEO，
∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∴∠AEO=∠B，
∴OE//BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线；
(2)∵⊙O的半径为5，
∴EF=2OE=10，
在Rt△AEF中，AF=6，
根据勾股定理得，AE= EF2−AF2=8，
由(1)知OE//BC，
∵OA=OD，
∴BE=AE=8.
【解析】此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，判断出EF//BC是解本题的关键．
(1)先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE//BC，即可得出结论；
(2)先根据勾股定理求出AE，再判断出BE=AE，即可得出结论．
25.【答案】7.0
【解析】解：(1)如图所示：
(2)由图象可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米；
根据图象设二次函数的解析式为y=a(x−3)2+5.6，
将(0,2)代入y=a(x−3)2+5.6得a=−0.4，
∴抛物线的解析式为y=−0.4(x−3)2+5.6，
当y=0时，0=−0.4(x−3)2+5.6，
解得x=7或−1(舍去)，
所以喷泉的落水点距水枪的水平距离约为7.0米，
故答案为：2，7.0；
(3)当x=3−1.5=1.5时，y=−0.4×2.25+5.6=4.7>4.5，
答：游船没有被喷泉淋到的危险．
(1)建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；
(2)观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的坐标，设二次函数的顶点式，求解即可；
(3)把x=1.5代入关系式，计算出y的值与4.5比较即可．
本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．
26.【答案】解：(1)令x=0，得y=2，
∴A点坐标为(0,2)，
∵y=ax2−4ax+2=a(x2−4x+4)+2−4a=a(x−2)2+2−4a，
∴该二次函数图象的对称轴是直线x=2；
(2)∵对称轴为直线x=2，
又∵当0≤x≤5时，y的最小值是−2，则抛物线开口向上，
∴最小值在顶点处取得，
∴2−4a=−2，
解得a=1，
∴二次函数表达式为y=x2−4x+2，
∵抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，且|0−(−2)|<|2−5|，
∴当x=5时，y有最大值，此时y=52−4×5+2=7，
∴当0≤x≤5时，y的最大值为7；
(3)t≤0或t≥1.
【解析】本题考查二次函数性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的最值．
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)对于t
∴a(t+3)2−4a(t+3)+2≤a(t+1)2−4a(t+1)+2，
解得t≤0，
②当t+1>2时，需满足x=t+2的函数值不小于x=t的函数值，如图：
∴a(t+2)2−4a(t+2)+2≥at2−4at+2，
解得t≥1.
综上所述，对于t
27.【答案】解解：(1)①如图1：
②如图，连接CF，
∵∠BAC=∠EAF=90∘，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴∠ABE=∠ACF=45∘，
∵∠ACB=45∘，
∴∠BCF=45∘+45∘=90∘，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90∘，
∴AD//CF，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BG=FG，
∴G为BF的中点．
(2)2AE2−4AG2=BE2.理由如下：
如图2，连接CF，
由(1)可知：△ABE≌△ACF(SAS)，
∴∠BCF=90∘，G为BF的中点仍然成立，
且BE=CF，
设AD=CD=x，CE=y，
则BE=CF=2x+y，
∵DG=12CF，
∴AG=12y，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AE2=x2+(x+y)2，
∴AE2=2x2+2xy+y2，BE2=(2x+y)2=4x2+4xy+y2，AG2=14y2，
∴2AE2−4AG2=BE2.
【解析】(1)①根据题意画图即可，②由条件可证△ABE≌△ACF(SAS)，得到∴ABE=∠ACF=45∘，从而有CF⊥BC，再通过平行线分线段成比例即可证出G为BF的中点；
(2)由(1)知△ABE≌△ACF，可得BE=CF，G为BF的中点仍然成立，设AD=CD=x，CE=y，表示出AE，BE，AG即可发现它们之间的数量关系．
本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，表示出AE，BE，AG的长度是解决问题的关键．
28.【答案】解：(1)①如图1，
∵P1(1,0)，A(0,−5)，B(4,3)，
∴AB= 42+82=4 5，P1A= 12+52= 26，P1B= 32+32=3 2，
∴P1不在以AB为直径的圆弧上，
故∠AP1B不是AB关于⊙O的内直角，
∵P2(0,3)，A(0,−5)，B(4,3)，
∴P2A=8，AB=4 5，P2B=4，
∴P2A2+P2B2=AB2，
∴∠AP2B=90∘，
∴∠AP2B是AB关于⊙O的内直角，
同理可得，P3B2+P3A2=AB2，
∴∠AP3B是AB关于⊙O的内直角，
故答案为：∠AP2B，∠AP3B；
②∵∠APB是AB关于⊙O的内直角，
∴∠APB=90∘，且点P在⊙O的内部，
∴满足条件的点P形成的图形为如图2中的半圆H(点A，B均不能取到)，
过点B作BD⊥y轴于点D，
∵A(0,−5)，B(4,3)，
∴BD=4，AD=8，
并可求出直线AB的解析式为y=2x−5，
∴当直线y=2x+b过直径AB时，b=−5，
连接OB，作直线OH交半圆于点E，过点E作直线EF//AB，交y轴于点F，
∵OA=OB，AH=BH，
∴EH⊥AB，
∴EH⊥EF，
∴EF是半圆H的切线．
∵∠OAH=∠OAH，∠OHA=∠BDA=90∘，
∴△OAH∽△BAD，
∴OHAH=BDAD=48=12，
∴OH=12AH=12EH，
∴OH=EO，
∵∠EOF=∠AOH，∠FEO=∠AHO=90∘，
∴△EOF≌△HOA(ASA)，
∴OF=OA=5，
∵EF//AB，直线AB的解析式为y=2x−5，
∴直线EF的解析式为y=2x+5，此时b=5，
∴b的取值范围是−5
∴点T一定在∠DHE的边上，
∵TD=4，∠DHT=90∘，线段MN上任意一点(不包含点M)都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，
∴当点N在该圆的最高点时，n有最大值，
即n的最大值为2.
分两种情况：
①若点H不与点M重合，那么点T必须在边HE上，此时∠DHT=90∘，
∴点H在以DT为直径的圆上，
如图3，当⊙G与MN相切时，GH⊥MN，
∵OM=1，ON=2，
∴MN= ON2+OM2= 5，
∵∠GMH=∠OMN，∠GHM=∠NOM，ON=GH=2，
∴△GHM≌△NOM，
∴MN=GM= 5，
∴OG= 5−1，
∴OT= 5+1，
当T与M重合时，t=1，
∴此时t的取值范围是− 5−1≤t<1，
②若点H与点M重合时，临界位置有两个，一个是当点T与M重合时，t=1，另一个是当TM=4时，t=5，
∴此时t的取值范围是1≤t<5，
综合以上可得，t的取值范围是− 5−1≤t<5.
【解析】本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键．
(1)①判断点P1，P2，P3是否在以AB为直径的圆弧上即可得出答案；
②求得直线AB的解析式，当直线y=2x+b与弧AB相切时为临界情况，证明△OAH∽△BAD，可求出此时b=5，则答案可求出；
(2)可知线段MN上任意一点(不包含点M)都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N在该圆的最高点时，n有最大值2，再分点H不与点M重合，点M与点H重合两种情况求出临界位置时的t值即可得解．
2023年北京市西城区育才学校中考数学零模试卷
1. 春节假期，北京市推出了庙会休闲娱乐、传统文化展演、游园赏景赏花、冰雪项目体验等精品文化活动，共接待旅游总人数9 608 000人次，将9 608 000用科学记数法表示为( )
A. 9608×103 B. 960.8×104 C. 96.08×105 D. 9.608×106
2. 在数轴上，实数a，b对应的点的位置如图所示，且这两个点关于原点对称，下列结论中，正确的是( )
A. a+b=0 B. a−b=0 C. |a|<|b| D. ab>0
3. 如图，AB//CD，DA⊥CE于点A.若∠EAB=55∘，则∠D的度数为( )
A. 25∘
B. 35∘
C. 45∘
D. 55∘
4. 如图是某几何体的三视图，该几何体是( )
A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 圆柱
5. 若正多边形的一个外角是40∘，则这个正多边形是( )
A. 正七边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形
6. 关于x的一元二次方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
7. 某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如表：
会员卡类型
办卡费用/元
有效期
优惠方式
A类
40
1年
每杯打九折
B类
80
1年
每杯打八折
C类
130
1年
一次性购买2杯，第二杯半价
例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×(0.9×10)=940元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75∼85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为( )
A. 购买A类会员卡 B. 购买B类会员卡 C. 购买C类会员卡 D. 不购买会员卡
8. 下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )
A. 圆的面积y与它的半径x
B. 正方形的周长y与它的边长x
C. 小丽从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x
D. 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x
9. 若 x+3在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________.
10. 因式分解：3a2−12a+12=______.
11. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与双曲线y=4x交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，则y1+y2的值为______ .
12. 已知“若a>b，则ac
14. 如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，∠A=40∘，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则∠ABE=______ ∘.
15. 图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1−S2的值为______.
16. 盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径.某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱.经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元(每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和)，则C盒的成本为______ 元.
17. 计算:(13)−1−(n−2023)0+| 3−2|−3tan30∘.
18. 解不等式组：2(x−1)
(1)若m是方程的一个实数根，求m的值；
(2)若m为负数，判断方程根的情况．
20. 如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO=BO.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD=3，tan∠CAB=34时，求AE的长．
21. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与直线y=2x平行，且经过点(1,3).
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x>1时，对于x的每一个值，反比例函数y=mx(m≠0)的值都小于一次函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出m的取值范围.
22. 下面是证明三角形中位线定理的两种方法，选择其中一种，完成证明过程.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
已知：如图，在△ABC中，点 D、E分别是AB、AC边的中点.
求证：DE//BC，DE=12BC.
方法一：
证明：如图，延长DE至点F，使得DE=FE，连接CF.
方法二：
证明：如图，过点A作直线AM//BC，过点D作直线MN//AC交直线AM于M，交BC于N
23. 某商场为了解甲、乙两个部门的营业员在某月的销售情况，分别从两个部门中各随机抽取了20名营业员，获得了这些营业员的销售额(单位：万元)的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.设营业员该月的销售额为x(单位：万元)，甲部门营业员销售额数据的频数
分布直方图如下(数据分成5组：10≤x<15，15≤x<20，20≤x<25，25≤x<30，30≤x≤35)：
b.甲部门营业员该月的销售额数据在20≤x<25这一组的是：
21.322.122.623.724.324.324.824.9
c.甲、乙两部门营业员该月销售额数据的平均数、中位数如表：
平均数
中位数
甲部门
22.8
m
乙部门
23.0
22.7
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)在甲部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为n1，在乙部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为n2，比较n1，n2的大小，并说明理由；
(3)若该商场乙部门共有100名营业员，估计乙部门该月的销售总额．
24. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G.
(1)求证：EG是⊙O的切线；
(2)若AF=6，⊙O的半径为5，求BE的长．
25. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d(米)
0
1
2
3
4
…
h(米)
2.0
4.0
5.2
5.6
5.2
…
请解决以下问题：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为______米(精确到0.1)；
(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax+2(a>0)与y轴交于点A.
(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；
(2)当0≤x≤5时，y的最小值是−2，求当0≤x≤5时，y的最大值；
(3)抛物线上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，若对于t
(1)如图1，当点E在线段CD上时，
①依题意补全图形；
②求证：点G为BF的中点．
(2)如图2，当点E在线段DC的延长线上时，用等式表示AE，BE，AG之间的数量关系，并证明．
28. A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边(含顶点)上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．
(1)如图2，⊙O的半径为5，A(0,−5)，B(4,3)是⊙O上两点．
①已知P1(1,0)，P2(0,3)，P3(−2,1)，在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B，中，是AB关于⊙O的内直角的是______；
②若在直线y=2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．
(2)点E是以T(t,0)为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D(点D在点T的右边).现有点M(1,0)，N(0,n)，对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：9608000=9.608×106，
故选：D.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】A
【解析】解：由数轴上点的位置，得
a<0
B、a−b<0，故B不符合题意；
C、|a|=|b|，故C不符合题意；
D、ab<0，故D不符合题意；
故选：A.
根据数轴上点的位置关系，可得a，b的关系，根据有理数的运算，可得答案．
本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得a，b的关系是解题关键．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义有关知识，先根据垂直的定义，得出∠BAD=35∘，再根据平行线的性质，即可得出∠D的度数.
【解答】
解：∵DA⊥CE，
∴∠DAE=90∘，
∵∠EAB=55∘，
∴∠BAD=35∘，
又∵AB//CD，
∴∠D=∠BAD=35∘，
故选B.
4.【答案】B
【解析】解：根据所给出的三视图得出该几何体是长方体；
故选：B.
根据主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，再根据俯视图的形状，可判断柱体是长方体．
本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体，如果有两个矩形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
利用任意凸多边形的外角和均为360∘，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
本题考查了正多边形外角和的知识，解题时注意：正多边形的每个外角相等，且其和为360∘.
【解答】
解：多边形的每个外角相等，且其和为360∘，
据此可得360∘÷n=40∘，
解得n=9.
故选C.
6.【答案】A
【解析】解：根据题意得Δ=a2−4×1×1>0，解的a>2或a<−2.
故选：A.
根据根的判别式得到Δ=a2−4×1×1>0，然后解关于a的不等式，即可求出a的范围，并根据选项判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ<0时，方程无实数根．
7.【答案】C
【解析】解：设一年内在便利店购买咖啡x次，
购买A类会员年卡，消费费用为40+2×(0.9×10)x=(40+18x)元；
购买B类会员年卡，消费费用为80+2×(0.8×10)x=(80+16x)元；
购买C类会员年卡，消费费用为130+(10+5)x=(130+15x)元；
把x=75代入得A：1390元；B：1280元；C：1255元，
把x=85代入得A：1570元；B：1440元；C：1405元，
则小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75∼85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为购买C类会员年卡．
故选：C.
设一年内在便利店购买咖啡x次，用x表示出购买各类会员年卡的消费费用，把x=75、85代入计算，比较大小得到答案．
本题考查的是有理数的混合运算的应用，代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A.圆的面积y与它的半径x的关系式为y=πx2，
∵π>0，
∴该函数图象的开口应向上，
∴变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
B.∵正方形的周长y与它的边长x的关系式为y=4x，
∴变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
C.设小丽从家骑车去学校的路程为s(s为常数)，则y=sx，
∴变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
D.设铁丝的长度为a(a为常数)，则y=x⋅a−2x2=−x2+12ax，
∴变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故符合题意．
故选：D.
根据每个选项的描述，分别写出两个变量之间的函数关系即可判断．
本题考查了函数的图象，解题关键在于根据选项的描述，正确判断出两个变量之间满足的函数关系式．
9.【答案】x≥−3
【解析】解：若式子 x+3在实数范围内有意义，
则x+3≥0，
解得：x≥−3，
则x的取值范围是：x≥−3.
故答案为：x≥−3.
直接利用二次根式的定义求出x的取值范围．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
10.【答案】3(a−2)2
【解析】解：3a2−12a+12
=3(a2−4a+4)
=3(a−2)2.
故答案是：3(a−2)2.
直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
11.【答案】0
【解析】解：∵直线y=kx与双曲线y=4x交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，
∴点M，点N关于原点对称，
∴y1+y2=0，
故答案为：0.
根据反比例函数和正比例函数均是中心对称图形可知点M，点N关于原点对称，即可得到y1+y2=0.
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与正比例函数的中心对称性是解题的关键．
12.【答案】−1(本题答案不唯一)
【解析】解：如果a>b，c<0时，则ac
故答案为−1(本题答案不唯一).
利用不等式的性质，当c<0时，命题为真命题，然后在c的范围内取一个值即可．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
13.【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE//BC，∠ABC=90∘，
∴∠EAF=∠BCF.
∵∠AFE=∠BFC，
∴△AEF∼△CBF，
∴AEBC=AFCF，
∴2BC=14，
∴BC=8，
∴AB= AC2−BC2= 102−82=6.
故答案为：6.
根据矩形的性质得AE//BC，∠ABC=90∘，即可得出∠EAF=∠BCF，并根据勾股定理求出BC，再根据∠AFE=∠BFC，得出△AEF∼△CBF，然后根据相似三角形对应边相等得出比例式，求出BC，再利用勾股定理求解．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．
14.【答案】30
【解析】解：∵AB=AC，∠A=40∘，
∴∠C=∠ABC=12(180∘−∠A)=70∘.
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BC=BE，
∴∠C=∠EBC=70∘.
∴∠BEC=180∘−∠EBC−∠C=40∘.
∵∠BEC=∠A+∠ABE，
∴∠ABE=∠BEC−∠A=30∘.
故答案为：30.
利用等腰三角形的性质先求出∠C、∠BEC，再利用三角形的外角与内角的关系得结论．
本题考查了等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”及“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”等知识点是解决本题的关键．
15.【答案】9
【解析】解：设图1中的直角三角形另一条直角边长为b，
∴S1=32+b2=9+b2，S2=b2，
∴S1−S2=9，
故答案为9.
分别表示出S1，S2，即可求解．
本题考查了正方形的性质，利用参数表示正方形的面积是本题的关键．
16.【答案】155
【解析】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱；
∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22−2−3−1−1−3−2=10(个)，
∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2，
∴B盒中有多接口优盘10×12=5(个)，蓝牙耳机有5×33+2=3(个)，迷你音响有10−5−3=2(个)，
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为a元，b元，c元，
由题知：{2a+3b+c=145①3a+5b+2c=245②，
∵①×2−②得：a+b=45，
②×2−①×3得：b+c=55，
∴C盒的成本为：a+3b+2c=(a+b)+(2b+2c)=45+55×2=155(元)，
故答案为：155.
根据题意确定B盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代数式即可．
本题主要考查列代数式和代数式的运算，利用A、B盒中的价格关系求出C盒的价格是解题的关键．
17.【答案】解：(13)−1−(n−2023)0+| 3−2|−3tan30∘
=3−1+(2− 3)−3× 33
=3−1+2− 3− 3
=4−2 3.
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：{2(x−1)
由②得：x>1，
则不等式组的解集为1
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)∵m是方程的一个实数根，
∴m2−(2m−3)m+m2+1=0，
整理得，3m=−1，
∴m=−13；
(2)Δ=b2−4ac=[−(2m−3)]2−4(m2+1)=−12m+5，
∵m<0，
∴−12m>0.
∴Δ=−12m+5>0.
∴此方程有两个不相等的实数根．
【解析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
(1)由方程根的定义，代入可得到关于m的方程，则可求得m的值；
(2)计算方程根的判别式，判断判别式的符号即可．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，BD=2BO.
∵AO=BO，
∴AC=BD.
∴▱ABCD为矩形．
(2)解：过点E作EG⊥BD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90∘，
∴EA⊥AD，
∵DE为∠ADB的角平分线，
∴EG=EA.
∵AO=BO，
∴∠CAB=∠ABD.
∵AD=3，tan∠CAB=34，
∴tan∠CAB=tan∠ABD=34=ADAB.
∴AB=4.
∴BD= AD2+AB2= 32+42=5，sin∠CAB=sin∠ABD=ADBD=35.
设AE=EG=x，则BE=4−x，
在△BEG中，∠BGE=90∘，
∴sin∠ABD=x4−x=35.
解得：x=32，
∴AE=32.
【解析】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．
(1)由平行四边形的性质和已知条件得出AC=BD，即可得出结论；
(2)过点E作EG⊥BD于点G，由角平分线的性质得出EG=EA.由三角函数定义得出AB=4，sin∠CAB=sin∠ABD=ADBD=35，设AE=EG=x，则BE=4−x，在Rt△BEG中，由三角函数的定义得出x4−x=35，即可得出答案．
21.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与直线y=2x平行，
∴k=2，
把点(1,3)代入y=2x+b可得：2+b=3，
解得：b=1，
∴一次函数的表达式为：y=2x+1；
(2)①当m<0时，此时当x>1时，反比例函数y=mx(m≠0)的图像在第四象限，
则反比例函数y=mx(m≠0)的值小于一次函数y=2x+1恒成立；
②当m>0时，
当x=1时，一次函数值y=3，
∵当x>1时，反比例函数y=mx(m≠0)的值都小于一次函数y=kx+b(k≠0)的值，
∴m1≤3，解得：m≤3
∴0
(2)分m>0和m<0两种情况进行讨论，结合题中给出的条件即可求出m的取值范围．
本题考查的是一次函数与反比例函数交点问题，解题关键：一是求出一次函数解析式，二是分类讨论．
22.【答案】证明：方法一：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=BD，AE=CE，
在△ADE与△CFE中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴∠ADE=∠F，AD=CF，
∴CF//AB，CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF=BC，DF//BC，
∴DE=12DF=12BC；
方法二：证明：如图，过点A作直线AM//BC，过点D作直线MN//AC交直线AM于M，交BC于N，
∵AM//BC，MN//AC，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴AM=CN，MN=AC，
∵AM//CN，
∴∠M=BND，
∵点 D是AB边的中点，
∴AD=BD，
在△AMD与△BND中，
∠M=∠BND∠ADM=∠BDNAD=BD，
∴△AMD≌△BND(AAS)，
∴AM=BN，DM=DN，
∴DN=12MN，AM=12BC，
∵CE=12AC，
∴DN=CE，
∴四边形DNCE是平行四边形，
∴DE=CN，DE//CN，
∴DE=12BC，DE//BC.
【解析】方法一：由中点可得AD=BD，AE=CE，利用SAS可证得△ADE≌△CFE，则有∠ADE=∠F，AD=CF，从而有CF//AB，CF=BD，可判定四边形BCFD是平行四边形，即有DF=BC，DF//BC，从而可求证DE=12BC；
方法二：如图，过点A作直线AM//BC，过点D作直线MN//AC交直线AM于M，交BC于N，根据平行四边形的性质得到AM=CN，MN=AC，根据全等三角形的性质得到AM=BN，DM=DN，根据平行四边形的性质得到DE=CN，DE//CN，于是得到结论．
本题主要考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，解答的关键是作出正确的辅助线．
23.【答案】解：(1)甲部门抽样20名营业员该月销售额从小到大排列，排在第10、11位的两个数分别为23.7，24.3，故中位数m=23.7+24.32=24；
(2)在甲部门抽取的营业员中，该月销售额超过23.0万元的人数为11人，故n1=11；
∵乙部门的平均数为23.0，中位数为22.7，
∴在乙部门抽取的营业员中，该月销售额超过23.0万元的人数为不少于11人，故n2≥11，
∴n2≥n1；
(3)100×23.0=2300(万元)，
答：估计乙部门该月的销售总额为2300万元．
【解析】(1)根据中位数的意义，求出甲部门抽样20名营业员该月销售额从小到大排列，得出处在第10、11位的数据即可；
(2)根据题意得出n1，n2，再比较大小即可；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解题的关键是掌握中位数的定义以及样本估计总体思想的运用．
24.【答案】(1)证明：如图，连接EF，
∵∠BAC=90∘，
∴EF是⊙O的直径，
∴OA=OE，
∴∠BAD=∠AEO，
∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∴∠AEO=∠B，
∴OE//BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线；
(2)∵⊙O的半径为5，
∴EF=2OE=10，
在Rt△AEF中，AF=6，
根据勾股定理得，AE= EF2−AF2=8，
由(1)知OE//BC，
∵OA=OD，
∴BE=AE=8.
【解析】此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，判断出EF//BC是解本题的关键．
(1)先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE//BC，即可得出结论；
(2)先根据勾股定理求出AE，再判断出BE=AE，即可得出结论．
25.【答案】7.0
【解析】解：(1)如图所示：
(2)由图象可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米；
根据图象设二次函数的解析式为y=a(x−3)2+5.6，
将(0,2)代入y=a(x−3)2+5.6得a=−0.4，
∴抛物线的解析式为y=−0.4(x−3)2+5.6，
当y=0时，0=−0.4(x−3)2+5.6，
解得x=7或−1(舍去)，
所以喷泉的落水点距水枪的水平距离约为7.0米，
故答案为：2，7.0；
(3)当x=3−1.5=1.5时，y=−0.4×2.25+5.6=4.7>4.5，
答：游船没有被喷泉淋到的危险．
(1)建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；
(2)观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的坐标，设二次函数的顶点式，求解即可；
(3)把x=1.5代入关系式，计算出y的值与4.5比较即可．
本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．
26.【答案】解：(1)令x=0，得y=2，
∴A点坐标为(0,2)，
∵y=ax2−4ax+2=a(x2−4x+4)+2−4a=a(x−2)2+2−4a，
∴该二次函数图象的对称轴是直线x=2；
(2)∵对称轴为直线x=2，
又∵当0≤x≤5时，y的最小值是−2，则抛物线开口向上，
∴最小值在顶点处取得，
∴2−4a=−2，
解得a=1，
∴二次函数表达式为y=x2−4x+2，
∵抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，且|0−(−2)|<|2−5|，
∴当x=5时，y有最大值，此时y=52−4×5+2=7，
∴当0≤x≤5时，y的最大值为7；
(3)t≤0或t≥1.
【解析】本题考查二次函数性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的最值．
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)对于t
∴a(t+3)2−4a(t+3)+2≤a(t+1)2−4a(t+1)+2，
解得t≤0，
②当t+1>2时，需满足x=t+2的函数值不小于x=t的函数值，如图：
∴a(t+2)2−4a(t+2)+2≥at2−4at+2，
解得t≥1.
综上所述，对于t
27.【答案】解解：(1)①如图1：
②如图，连接CF，
∵∠BAC=∠EAF=90∘，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴∠ABE=∠ACF=45∘，
∵∠ACB=45∘，
∴∠BCF=45∘+45∘=90∘，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90∘，
∴AD//CF，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BG=FG，
∴G为BF的中点．
(2)2AE2−4AG2=BE2.理由如下：
如图2，连接CF，
由(1)可知：△ABE≌△ACF(SAS)，
∴∠BCF=90∘，G为BF的中点仍然成立，
且BE=CF，
设AD=CD=x，CE=y，
则BE=CF=2x+y，
∵DG=12CF，
∴AG=12y，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AE2=x2+(x+y)2，
∴AE2=2x2+2xy+y2，BE2=(2x+y)2=4x2+4xy+y2，AG2=14y2，
∴2AE2−4AG2=BE2.
【解析】(1)①根据题意画图即可，②由条件可证△ABE≌△ACF(SAS)，得到∴ABE=∠ACF=45∘，从而有CF⊥BC，再通过平行线分线段成比例即可证出G为BF的中点；
(2)由(1)知△ABE≌△ACF，可得BE=CF，G为BF的中点仍然成立，设AD=CD=x，CE=y，表示出AE，BE，AG即可发现它们之间的数量关系．
本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，表示出AE，BE，AG的长度是解决问题的关键．
28.【答案】解：(1)①如图1，
∵P1(1,0)，A(0,−5)，B(4,3)，
∴AB= 42+82=4 5，P1A= 12+52= 26，P1B= 32+32=3 2，
∴P1不在以AB为直径的圆弧上，
故∠AP1B不是AB关于⊙O的内直角，
∵P2(0,3)，A(0,−5)，B(4,3)，
∴P2A=8，AB=4 5，P2B=4，
∴P2A2+P2B2=AB2，
∴∠AP2B=90∘，
∴∠AP2B是AB关于⊙O的内直角，
同理可得，P3B2+P3A2=AB2，
∴∠AP3B是AB关于⊙O的内直角，
故答案为：∠AP2B，∠AP3B；
②∵∠APB是AB关于⊙O的内直角，
∴∠APB=90∘，且点P在⊙O的内部，
∴满足条件的点P形成的图形为如图2中的半圆H(点A，B均不能取到)，
过点B作BD⊥y轴于点D，
∵A(0,−5)，B(4,3)，
∴BD=4，AD=8，
并可求出直线AB的解析式为y=2x−5，
∴当直线y=2x+b过直径AB时，b=−5，
连接OB，作直线OH交半圆于点E，过点E作直线EF//AB，交y轴于点F，
∵OA=OB，AH=BH，
∴EH⊥AB，
∴EH⊥EF，
∴EF是半圆H的切线．
∵∠OAH=∠OAH，∠OHA=∠BDA=90∘，
∴△OAH∽△BAD，
∴OHAH=BDAD=48=12，
∴OH=12AH=12EH，
∴OH=EO，
∵∠EOF=∠AOH，∠FEO=∠AHO=90∘，
∴△EOF≌△HOA(ASA)，
∴OF=OA=5，
∵EF//AB，直线AB的解析式为y=2x−5，
∴直线EF的解析式为y=2x+5，此时b=5，
∴b的取值范围是−5
∴点T一定在∠DHE的边上，
∵TD=4，∠DHT=90∘，线段MN上任意一点(不包含点M)都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，
∴当点N在该圆的最高点时，n有最大值，
即n的最大值为2.
分两种情况：
①若点H不与点M重合，那么点T必须在边HE上，此时∠DHT=90∘，
∴点H在以DT为直径的圆上，
如图3，当⊙G与MN相切时，GH⊥MN，
∵OM=1，ON=2，
∴MN= ON2+OM2= 5，
∵∠GMH=∠OMN，∠GHM=∠NOM，ON=GH=2，
∴△GHM≌△NOM，
∴MN=GM= 5，
∴OG= 5−1，
∴OT= 5+1，
当T与M重合时，t=1，
∴此时t的取值范围是− 5−1≤t<1，
②若点H与点M重合时，临界位置有两个，一个是当点T与M重合时，t=1，另一个是当TM=4时，t=5，
∴此时t的取值范围是1≤t<5，
综合以上可得，t的取值范围是− 5−1≤t<5.
【解析】本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键．
(1)①判断点P1，P2，P3是否在以AB为直径的圆弧上即可得出答案；
②求得直线AB的解析式，当直线y=2x+b与弧AB相切时为临界情况，证明△OAH∽△BAD，可求出此时b=5，则答案可求出；
(2)可知线段MN上任意一点(不包含点M)都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N在该圆的最高点时，n有最大值2，再分点H不与点M重合，点M与点H重合两种情况求出临界位置时的t值即可得解．
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