北京市房山区2020-2021学年高一下学期中检测数学试题

房山区2020-2021学年度第二学期中检测试卷

高一数学

一､选择题共10小题，每小顺5分，共50分.在每小丽列出的四个选项中，法出符合题目要求的一项.

1. 化成弧度是（    ）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据角度制与弧度制的互化即可得解.

【详解】解：.

故选：B.

2. 设，则的终边所在的象限为（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【2题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角函数在各象限内的符号进行判断

【详解】因为，

所以为第二象限，或第三象限的角，或终边在轴的非正半轴上，

因为，

所以为第一象限，或第三象限的角，

综上，为第三象限的角，

故选：C

3. （    ）

A.  B.  C. 1 D.

【3题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式直接求解即可

【详解】，

故选：D

4. 已知，则与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用向量的夹角公式求解即可

【详解】设与的夹角为，

因为，

所以，

因为，

所以，

故选：A

5. 函数的最大值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【5题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】应用二倍角余弦公式可得，结合余弦函数的性质求最大值.

【详解】由题设，，

所以当时，有最大值为.

故选：B

6. 设，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】由三角函数的性质，结合诱导公式判断a、b、c的大小即可.

【详解】由，

所以.

故选：D

7. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（   ）

A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位

C. 向左平移 个单位 D. 向右平移个单位

【7题答案】

【答案】C

【解析】

【详解】y＝cos2x向左平移个单位得y＝cos2(x＋)＝cos(2x＋1)，选C项．

8. 已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】由题图知且，结合正弦型函数的性质求参数即可.

【详解】由题图，，则，可得，

又，故，，

所以，，又，则

综上，，.

故选：A

9. 已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，则的最小值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【9题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】应用诱导公式、辅助角公式可得，再将问题转化为与上的点距离最小即可.

【详解】由题设，，

所以，问题转化为与上点距离最小，

由图知：当在的波峰，在正上方时，的最小值为2.

故选：B

10. 如图，摩天轮的半径为40米.摩天轮的中心O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转.每30分钟转一圈.若摩天轮上点P的起始位置在最低点处.下面有关结论正确的是（    ）

A. 经过10分钟，点P距离地面的高度为45米

B. 第25分钟和第70分钟点P距离地面的高度相同

C. 从第10分钟至第20分钟，点P距离地面的高度一直在上升

D. 摩天轮旋转一周，点P距离地面的高度不低于65米的时间为10分钟

【10题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】若转动分钟，P距离地面的高度为可得，结合各选项的描述，利用余弦型函数的性质判断正误.

【详解】由题设，摩天轮每分钟的角速度为，若转动分钟，P距离地面的高度为，则，

所以，经过10分钟米，A错误；

第25分钟米；第70分钟米，B错误；

由，则，即P距离地面高度先增大后减小，C错误；

由题设，，即，在一周内P距离地面的高度不低于65米有，可得，故时间长度为10分钟，D正确.

故选：D

二､填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11. 已知某扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为___________；面积为___________.

【11题答案】

【答案】    ①. 4    ②. ##

【解析】

【分析】利用扇形的弧长公式求半径，再应用扇形面积公式求面积即可.

【详解】由题设，该扇形的半径，面积为.

故答案为：4，

12. 已知，则与垂直的单位向量的坐标为___________.

【12题答案】

【答案】或

【解析】

【分析】设出与垂直的单位向量的坐标，由题意列方程组，求解后即可得到答案.

【详解】设与垂直的单位向量，

则，解得或，

所以与垂直的单位向量的坐标为或.

故答案为：或.

13. 已知，则___________.

【13题答案】

【答案】2

【解析】

【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式直接计算作答.

【详解】因，所以.

故答案为：2

14. 若函数图象的一条对称轴方程为，则的一个取值为___________.

【14题答案】

【答案】2（答案不唯一）

【解析】

【分析】利用正弦函数性质可得，即得.

【详解】由题可得，

∴，

令，可得.

故答案为：2（答案不唯一）.

15. 如图，在中，，则的值为___________.

【15题答案】

【答案】8

【解析】

【分析】利用向量的线性运算可得，然后利用向量数量积的定义及运算律即得.

【详解】∵，

∴，，

∴.

故答案为：8.

16. 关于x的函数有以下命题：

①存在，使得偶函数；

②对任意的，都不是奇函数；

③对任意的，都是以为最小正周期的周期函数；

④若对任意的实数x都成立.则的最小值为.

其中正确结论的序号为___________.

【16题答案】

【答案】①③④

【解析】

【分析】由正余弦函数的性质及诱导公式判断①②的正误；根据函数最小正周期公式判断③；由恒成立，即并结合已知即可确定的最小值.

【详解】①当且时，是偶函数，正确；

②当且时，是奇函数，错误；

③对任意的，都有，即都是以为最小正周期的周期函数，正确；

④若恒成立，即，则且，又，则的最小值为，正确.

故答案为：①③④

三､解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17. 已知平面向量，且与的夹角为.

（1）求；

（2）求.

【17题答案】

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用向量数量积的定义求即可.

（2）应用向量数量积的运算律及已知求得，即可得结果.

【小问1详解】

由，与的夹角为

则.

【小问2详解】

，

所以.

19. 在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，它们的终边关于y轴对称，且角的终边与单位圆交于点.

（1）求的值；

（2）求的值.

【19题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义得到，再根据同角三角函数的基本关系求出；

（2）根据对称关系得到，，再根据两角差的余弦公式计算可得；

【小问1详解】

解：因为角的终边与单位圆交于点，

可知角的终边在第三象限，且，

则.

【小问2详解】

解：因为角和角的终边关于轴对称，且，，

所以，，

所以

21. 已知函数.

（1）求的值；

（2）求的最小正周期；

（3）求函数的单调递减区间.

【21题答案】

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）化简函数，再求的值；

（2）利用周期公式求解；

（3）根据正弦函数的单调减区间公式，令，即可求解.

【小问1详解】

（1）

.

【小问2详解】

由，的最小正周期.

【小问3详解】

函数的单调递减区间为

由，得，

函数的单调递减区间为.

23. 已知函数.

（1）求的定义域；

（2）求在区间上的最小值.

【23题答案】

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用函数有意义，列出不等式，求解作答.

（2）切化弦，利用二倍角公式、辅助角公式化简变形，再利用正弦函数的性质计算作答.

【小问1详解】

由函数，得，，

所以函数的定义域为.

【小问2详解】

，

当时，，则当，即时，取得最小值，

所以在区间上的最小值为.

25. 已知函数只能满足下列三个条件中的两个：①函数的最小值为；②函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2；③函数的图象可由函数的图象左右平移得到

（1）请写出这两个条件的序号，并求出的解析式；

（2）计算的值；

（3）已知，讨论在上零点的个数.

【25题答案】

【答案】（1）①②，   

（2）   

（3）答案见解析

【解析】

【分析】（1）分别由①②③，求出，然后根据只能满足三个条件中的两个分析即可得答案，

（2）求出的周期，再根据周期求解即可，

（3）将问题转化为函数与图象的交点个数，在同一直角坐标系内作出这两个数的图象，根据图象求解即可

【小问1详解】

满足的条件为①②；

由①得，由②得.则，由③得，

因此满足的条件只能为①②，

【小问2详解】

因为，则的最小正周期，所以

【小问3详解】

在上零点的个数等价于函数与图象的交点个数.

在同一直角坐标系内作出这两个数的图象：

令，则，得

或，

解得或

当，即时，由图象可知，与两图象无交点，无零点，

当或时，与两图象1个交点，

当时，与两图象2个交点.

综上，当时，在上无零点，当或时，在上有1个零点，当时，在上有2个零点