八年级数学竞赛培优专题及答案 13 三角形的基本知识

这是一份八年级数学竞赛培优专题及答案 13 三角形的基本知识，共10页。

 专题13 三角形的基本知识

阅读与思考
三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.
解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.
应熟悉以下基本图形：


例题与求解
【例1】 在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF交于O，则∠BOC=________.
（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）
解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.








【例2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（ ）
A.17cm B.5cm C.5cm或17cm D.无法确定
（北京市竞赛试题）
解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.








【例3】 如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：运用凹四边形的性质计算.

【例4】 在△ABC中，三个内角的度数均为正数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度数.
（北京市竞赛试题）
解题思路：把∠A，∠C用∠B的代数式表示，建立关于∠B的不等式组，这是解本题的突破口.






【例5】 （1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？
（2）现有长为150cm的铁丝，要截成小段，每段的长不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的段.
（江苏省竞赛试题）
解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为，，，且，由条件及三角形三边关系定理可确定的取值范围，从而可以确定整数的值.
对于（2），因段之和为定值150cm，故欲使尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.





【例6】 在三角形纸片内有2 008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2 011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2 011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？
（天津市竞赛试题）
解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.





能力训练
A级
1.设，，是△ABC的三边，化简=____________.
2.三角形的三边分别为3，，8，则的取值范围是__________.
3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形.
4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为____________. （“缙云杯“试题）

（第4题） （第5题） （第6题）
5.如图，已知AB∥CD，GM，HM分别是∠AGH，∠CHG的角平分线，那么∠GMH=_________.

（第7题） （第9题）
6.如图，△ABC中，两外角平分线交于点E，则∠BEC等于（ ）
A. B.
C. D.
7.如图，在△ABC中，BD，BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H.下列结论：
①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC-∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C.
其中正确的是（ ）
A.①②③ B.①③④ C.①②③ D.①②③④
8.已知三角形的每条边长的数值都是2 001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（ ）
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
9. 如图，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（ ）
A.∠A=∠1+∠2 B.∠A=（∠1+∠2）
C.∠A=（∠1+∠2） D.∠A=（∠1+∠2）

（北京市竞赛试题）
10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1 997，则满足上述条件的三角形的个数是（ ）
A.1个 B.3个 C.5个 D.7个
（北京市竞赛试题）
11.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°.
（河南省竞赛试题）

12.平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°.
（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小.
（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC.

图1 图2












13.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上.
（1）证明：AB+AE＞DB+DE；
（2）证明：AB+AC＞DB+DC；
（3）AB+BC+CA与2（DA+DB+DC）哪一个更大？证明你的结论；
（4）AB+BC+CA与DA+DB+DC哪一个更大？证明你的结论.
（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题）




B级

1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的
个数有_______个.
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形.
3.△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且有2∠B=5∠A，若∠B的最大值是，最小值是，则___________.
（上海市竞赛试题）
4.如图，若∠CGE=，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______.
（山东省竞赛试题）

（第4题） （第5题）


5.如图，在△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的大小是（ ）
A.3° B.5° C.8° D.19.2°
6.四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于点P.∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（ ）
①∠EPF=100°； ②∠ADC+∠ABC=160°； ③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；
④∠PEB+∠PFC=136°.
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④

7.三角形的三角内角分别为，，，且，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（重庆市竞赛试题）
8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（ ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
（山东省竞赛试题）
9.不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.
（第三十二届美国邀请赛试题）





10.设，，均为自然数，满足且，试问以，，为三边长的三角形有多少个？







11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的，求满足此条件的所有锐角三角形的度数.
（汉城国际数学邀请赛试题）






12.如图1，A为轴负半轴上一点，B为轴正半轴上一点，C（0，-2），D（-2，-2）.
（1）求△BCD的面积；
（2）如图2，若∠BCO=∠BAC，作AQ平分∠BAC交轴于P，交BC于Q.
求证：∠CPQ=∠CQP；
（3）如图3，若∠ADC=∠DAC，点B在轴正半轴上运动，∠ACB的平分线交直线AD于E，DF∥AC交轴于F，FM平分∠DFC交DE于M，的值是否发生变化？证明你的结论.

图1 图2

图3

13.如图1，，.且，满足.

图1 图2
（1）求A，B的坐标；
（2）C为轴正半轴上一动点，D为△BCO中∠BCO的外角平分线与∠COB的平分线的交点，问是否存在点C，使∠D=∠COB.若存在，求C点坐标；
（3）如图2，C为轴正半轴上A的上方一动点，P为线段AB上一动点，连CP延长交轴于E，
∠CAB和∠CEB平分线交于F，点C在运动过程中的值是否发生变化？若不
变求其值；若变化，求其范围.



















专题13 三角形的基本知识
例1 130°或50° 例2 B 例3 80° 提示：∠A＝2∠BGC－∠BDC
例4 设∠C＝x°，则∠A＝(x)°，
∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－x°
由∠A＜∠B＜∠C，得x＜180－x＜x．
解得70＜x＜84． ∵x是整数，∴ x＝77．
故∠C＝77°，则∠A＝44°，∠B＝180°－77°－44°＝59°．
例5 （1）不妨设a＜b＜c，则由，得10＜c＜15．
∵c是整数，∴ c＝11，12，13，14．
当c＝11时，b＝10，a＝9．
当c＝12时，b＝11，a＝7；b＝10，a＝8．
当c＝13时，b＝12，a＝5；b＝11，a＝6；b＝10，a＝7；b＝19，a＝8．
当c＝14时，b＝13，a＝3；b＝12，a＝4；b＝11，a＝5；b＝10，a＝6；b＝9，a＝7．
（2）这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…
但1＋1＋2＋5＋8＋13＋21＋34＋55＝143＜150，1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＋55＋89＞150，故n的最大值为10.共有以下7种方式：
（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）；
（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）；
（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）；
（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）；
（1，1，2，3，5，8，13，22，35，60）；
（1，1，2，3，5，8，13，22，36，59）；
（1，1，2，3，5，8，14，22，36，58）.
例6 解法1 我们不妨先考察三角形内有1个点、2个点、3个点…的简单情况，有下表所示的关系：
三角形内点数
1
2
3
4
…
连线得到的小三角形个数
3
5
7
9
…
不难发现，三角形内有一个点时，连线可得到3个小三角形，以后每增加一个点，这个点必落在某一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有2008个点是，连线可得到小三角形的个数为：3＋2×（2008－1）＝4017（个）.
解法2 整体核算法
设连线后把原三角形分割成n个小三角形，则它们的内角和为180°·n，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360°的内角，2008个点共提供内角2008×360°，于是得方程180n＝360×2008＋180，解得n＝4017，即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形.
A级
1. 2（b＋c） 2. －5＜a＜－2 3. 钝角 4. 180°
5. 90° 6. C 7. D 8. B 9. B 10. B
11. 提示：过G作GH∥EB，可推得BE∥CF.
12. （1）∠AMC＝（∠ABC＋∠ADC）＝×（24°＋42°）＝33°
（2）∵AN、CN分别平分∠DAE，∠BCD，
∴可设∠EAN＝∠DAB＝x，∠BCN＝∠DCN＝y，∴∠BAN＝180°－x，设BC与AN交于S，∴∠BSA＝∠CSN，∴180°－x＋∠B＝y＋∠ANC，①
同理：180°－2x＋∠B＝2y＋∠D，②
由①×2－②得：2∠ANC＝180°＋∠B＋∠D.
∴∠ANC＝（180°＋24°＋42°）＝123°.
13. （1）（2）略 提示：（3）DA＋DB＞AB，DB＋DC＞DC，DC＋DA＞CA，将三个不等式相加，得2（DA＋DB＋DC）＞AB＋CB＋CA.
（4）由（2）知AB＋AC＞DB＋DC，同理BC＋BA＞DC＋DA，CA＋CB＞DA＋DB，
故AB＋BC＋CA＞DA＋DB＋DC
B级
1. 8 2. 19
3. 175 提示：设∠A＝（2x）°，∠B＝（5x）°，则∠C＝180°－（7x）°，由∠A≤∠C≤∠B得15≤x≤20
4. 2a 5. A 6. D 7. D 8. B
9. 提示：设长度为4和12的高分别是边a，b上的，边c上的高为h，△ABC的面积为S，
则，，，由得，故.
10. 7
11. 设锐角三角形最小角的度数为x，最大角的度数为4x，另一角为y，则
，解得20≤x≤22.5，故x＝20或21或22.
所有锐角三角形的度数为：(20°，80°，80°)，(21°，75°，84°)，(22°，70°，88°).
12. （1）S△BCD＝2
（2）略
（3）设∠ABC＝x，则∠BCF＝90°＋x，可证：∠E＝x，∠DMF＝45°.
∴