八年级数学竞赛培优专题及答案 21 梯形

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 专题21 梯形

阅读与思考
梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特殊四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直角梯形等相关概念及性质.
解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加辅助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的辅助线的方法有：
（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；
（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；
（3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线；
（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形．
如图所示：


例题与求解
【例1】如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D＝2∠B，AD和CD的长度分别为，，那么AB的长是___________. （荆州市竞赛试题）
解题思路：平移一腰，构造平行四边形、特殊三角形．


【例2】如图1，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD．由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形．
（1）求四边形ABCD四个内角的度数；
（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；
（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图．
（山东省中考试题）
解题思路：对于（1）、（2），在观察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关系，从作出梯形的常见辅助线入手；对于（3），在（2）的基础上，展开想象的翅膀，就可设计出若干种图形．




【例3】如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2，求梯形的高.
（内蒙古自治区东四盟中考试题）
解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手．

【例4】 如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，问：满足条件∠BPC＝900的点P有多少个？
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：根据AB＋DC＝AD这一关系，可以在AD上取点构造等腰三角形．



【例5】 如图，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC，BD相交于O，∠ACD＝600，点S，P，Q分别为OD，OA，BC的中点．
（1）求证：△PQS是等边三角形；
（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面积；
（3）若△PQS的面积与△AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.

【例6】如图，分别以△ABC的边AC和BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半．
（山东省竞赛试题）
解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质．关键是要构造能运用条件EP＝PF的图形．




能力训练
A 级
1. 等腰梯形中，上底：腰：下底＝1：2：3，则下底角的度数是__________.
（天津市中考试题）
2. 如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转900至DE，连接AE，则△ADE的面积为______________. （宁波市中考试题）

3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周长为30cm，则这个等腰梯形的腰长为______________.

4.如图，梯形ABCD中，AD//BC，EF是中位线，G是BC边上任一点，如果，那么梯形ABCD的面积为__________. （成都市中考试题）
5.等腰梯形的两条对角线互相垂直，则梯形的高和中位线的长之间的关系是 ( )
A．＞ B．＝ C．＜ D．无法确定
6. 梯形ABCD中，AB//DC，AB＝5，BC＝，∠BCD＝，∠CDA＝，则DC的长度是( )
A . B．8 C. D. E.
（美国高中考试题）
7．如图，在等腰梯形ABCD中，AC＝BC＋AD，则∠DBC的度数是 ( )
A.300 B.450 C.600 D.900
（陕西省中考试

8．如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上移动，则当PA＋PD取最小值时，△APD中边AP上的高为( )
A． B． C． D．3
（鄂州市中考试题）
9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，点P为BC边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别为E，F，G．求证 ：PE＋PF＝BG．
（哈尔滨市中考试题）


10. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E，F分别为AB，AC中点，BD与EF相交于G．
求证：．

11.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．
求证：（1）四边形EBCF是等腰梯形；
（2）． （深圳市中考试题）

12.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN//AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP＝．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由．
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． （江西省中考试题)


B 级
1. 如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延长BD到E，使DE＝DB，作
EF⊥AB交BA的延长线于点F，则AF＝__________.
（山东省竞赛试题）

2.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝10cm，AC与BD相交于G，且∠AGD＝，设E为CG中点，F是AB中点，则EF长为_________.
（“希望杯”邀请赛试题）
3.用四条线段：作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为_________. （湖北赛区选拔赛试题）
4.如图，梯形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O点，且AO：CO＝3：2，则两条对角线将梯形分成的四个小三角形面积之比为_________. （安徽省中考试题）

第4题图 第5题图 第6题图
5.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，若△DEC的面积为S，则四边形ABCD的面积为 ( )
A． B．2S C． D．
（重庆市竞赛试题）
6.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝，∠C＝，E，M，F，N分别为AB，BC，CD，
DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF的值为 ( )
A．4 B． C．5 D．6
（全国初中数学联赛试题）
7. 如图，梯形ABCD中，AB//DC，E是AD的中点，有以下四个命题：①若AB＋DC＝BC，则∠BEC＝；②若∠BEC＝，则AB＋DC＝BC；③若BE是∠ABC的平分线，则∠BEC＝；
④若AB＋DC＝BC，则CE是∠DCB的平分线.其中真命题的个数是 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（重庆市竞赛试题）

8.如图，四边形ABCD是一梯形，AB//CD，∠ABC＝，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于 ( )
A．1cm B．1.5cm C．2cm D．2.5cm
（“希望杯”邀请赛试题）
9.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，M是腰BC的中点，MN⊥AD.求证：
（山东省竞赛试题）

10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M.求证：点M为EF的中点.
（全国初中数学联赛试题）



11.已知一个直角梯形的上底是3，下底是7，且两条对角线的长都是整数，求此直角梯形的面积.
（“东方航空杯”上海市竞赛试题）






12.如图1，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形OABD的边BD的三等分点（）交AB于E，AB＝12，四边形OEBF的面积为16.
（1）求值.
（2）已知，点P从A出发以0.5cm/s速度沿AB、BD向D运动，点Q从C同时出发，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，经过多少时间，四边形PQCB为等腰梯形（如图2）.
（3）在（2）条件下，在梯形PQCB内是否有一点M，使过M且与PB，CQ分别交于S，T的直线把PQCB的面积分成相等的两部分，若存在，请写出点M的坐标及CM的长度；若不存在，请说明理由.











专题21梯形
例1 a＋b
例2⑴上底角为120°，下底角为60°；
⑵梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长；
⑶能拼出菱形，以下图形供参考：

例3 7cm提示：过A作AE∥BD交CB延长线于E，则S△AEC＝S梯形ABCD.
例4(1）如图a，若E为AD中点，则∠BEC＝90°且CE,BE分别平分∠BCD，∠ABC；
⑵如图b，在BC上取一点M，使AB＝MB，连结AM,DM，则∠AMD＝90°；
⑶如图c，将a，b组合，则四边形GEHM为矩形.

图a 图b 图c
∴当P为AD中点时，可以证明∠BPC＝90°；在AD上截取AP＝AB，可以证明∠BPC＝90°，故满足条件∠BPC＝90°的点P有2个.
例5⑴连结SC,PB.∴△OCD,△OAB均为等边三角形，S，P，Q分别为OD,OA,BC中点，
∴SQ＝BC＝AD＝SP＝PQ.故△SPQ为等边三角形.

⑵∵SB＝DO＋OB＝,CS＝,BC＝7.
∴△SPQ的边长SQ＝BC＝.∴S△SPQ＝×()2＝.
(3）设CD＝a，AB＝b(a ∴S△SPQ＝(a2＋ab＋b2).又＝，则S△AOD＝ab.
又＝,则S△AOD＝ab.∵＝,∴8× (a2＋ab＋b2)＝7×ab.
即2a2－5ab＋2b2＝0，化简得＝. 故CD：AB＝1:2.
例6如图，分别过E,F,C,P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ就是点P到AB的距离，且有ER∥PQ∥CT∥FS，故四边形ERSF为直角梯形，PQ＝(ER＋FS).

易证Rt△AER≌Rt△CAT，Rt△BFS≌Rt△CBT，∴ER＝AT，FS＝BT，又AT＋BT＝AB＝ER＋FS，
故PQ＝AB.
A级
1.60°2.3 3.6cm 4.8cm2 5.B 6.D 7.C
8.C提示:如图，作点D关于直线BC的对称点D'，连结DD'交BC于E，连结AD'交BC于P，过D作DF⊥AP于F,故PA＋PD此时最小.
由BE＝AD＝2，EC＝3，则可得：DE＝4，∴DD'＝8,则AD'＝2.
又∵AD'·DF＝AD·DD',则DF＝.

9.提示：过P点作PQ⊥BG于Q，证明PE＝BQ.
10.提示：连结DF并延长交于BC于H，则GF＝BH，AD＝CH. 11.略
12.⑴
⑵①当点N在线段AD上运动时，△PMN形状不发生改变，其周长为＋＋4.
②当点在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但恒为等边三角形，过E作^于。
当时，；
当时，；
当时，

B级
1.4 2.5cm
3. 10.5 提示：以7，14作两底的梯形中位线最长
4. 6：4：6：9 5. B 6. A 7.D
8. C 提示：连结，，则，而
9. 提示：连结，，延长交的延长线于，则，
又
10. 如图，过，分别作，垂直于，分别交于，，过、分别
作所有直线于，，可证明，。
∥∥ ，

11. 提示：设梯形的高为，则基其两条对角线分别为与，
于是与都是完全平方数，即与都是完全平方数，从而
即，又与的奇偶性相同，因此，得，
或，
12. （1）
（2）由（1）知；则P点到达终点时所有用时间为：，
同理：，。，只可能在上
设经过，四边形为等腰梯形，则，，
由题意可知：，解得
（3）存在，点为连结两腰中点线段的中点，，，