八年级数学竞赛培优专题及答案 16 等腰三角形的性质

专题16  等腰三角形的性质

阅读与思考

等腰三角形是一类特殊三角形，具有特殊的性质，这些性质为角度的计算、线段相等、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据．因此，在解与等腰三角形相关的问题时，除了要运用全等三角形知识方法外，又不能囿于全等三角形，应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径，应熟悉以下基本图形、基本结论．

⑴ 图1中，，，．

⑵ 图2中，只要下述四个条件：

①；②；③；④中任意两个成立，就可以推出其余两个成立．

例题与求解

【例1】如图，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，

则∠A=___________．

                                       （五城市联赛试题）

解题思路：图中有很多相关的角，用∠A的代数式表示这些角，建立关于∠A的等式．

【例2】如图，在△ABC中，已知∠BAC=900，AB=AC，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB=∠CDF．

（安徽省竞赛试题）

解题思路：∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的高(中线)是一条常用的辅助线．

【例3】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．

（北京市竞赛试题）

解题思路：∠ABC的角平分线与AE边上的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等腰三角形．

【例4】如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=440，M为△ABC内一点，使∠MCA=300，∠MAC=160，求∠BMC度数．                           

（北京市竞赛试题）

解题思路：作等腰△ABC的对称轴(如图1)，通过计算，证明全等三角形，又440+160=600；可以AB为一边，向点C所在的一侧作等边△ABN，连结CN，MN(如图2)；或以AC为一边，向点B所在的一侧作等边△ACN，连结BN(如图3)．

【例5】如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=1200的等腰三角形，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形．求证：△AMN的周长等于2．

（天津市竞赛试题）

解题思路：欲证△AMN的周长等于2，只需证明MN=BM+CN，考虑用补短法证明．

【例6】如图，△ABC中，∠ABC=460，D是BC边上一点，DC=AB，∠DAB=210，试确定∠CAD的度数．

（北京市竞赛试题）

解题思路：解本题的关键是利用DC=AB这一条件．

能力训练

A级

1．如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为450，那么这个等腰三角形的底角为_____________．

2．如图，已知∠A=150，AB=BC=CD=DE=EF，则∠FEM=_____________．

3．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P、Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于点O，则

   ∠BOQ=____________.

4．如图，在△ABC中，∠BCA=900，∠BAC=600，BC=4，在CA的延长线取点D，使AD=AB，则D，B两点之间的距离是____________．

5．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（    ）

    A．900-∠A    B．900-∠A   

    C．1800-∠A         D．450-∠A

6．如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=（     ）

    A．600      B．450  

    C．300      D．不确定

（安徽省竞赛试题）

                   第5题图                          第6题图

7．△ABC的一个内角的大小是400，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是（      ）

A．1400  B．800或1000  C．1000或1400  D．800或1400

(“希望杯”邀请赛试题)

8．三角形三边长，，满足，则三角形一定是（    ）

A．等边三角形      B．以为底边的等腰三角形

C．以为底边的等腰三角形   D．等腰三角形

                                                       （北京市竞赛试题）

9．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是腰AB，AC延长线上的点，且BD=CE，连结DE交BC于G，求证：DG=EG．

                                     （湖北省竞赛试题）

10．如图，在△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求证：CE=BD．

（江苏省竞赛试题）

11．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=900，D为AB边中点，∠EDF=900，将∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC，BC(或它们的延长线)于E、F，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时(如图1)，易证：S△DEF+S△CEF=S△ABC，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

                                                       （牡丹江市中考试题）

12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=800，O为△ABC内一点，且∠OBC=100，∠OCA=200，求∠BAO的度数．

（天津市竞赛试题）

B级

1．如图，在△ABC中，∠ABC=1000，AM=AN，CN=CP，则∠MNP=_________．

2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=900，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下4个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)．上述结论正确的是____________．

                                                       （苏州市中考试题）

3．如图，在△ABC中，AB=BC，M，N为BC边上两点，并且∠BAM=∠CAN，MN=AN，则∠MAC的度数是____________．

4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC与∠ACB的平分线相交于D，∠ADC=1300，那么∠CAB的大小是（                 ）

A．800     B．500         C．400      D．200

5．如图，在△ABC中，∠BAC=1200，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C的大小是（   ）

    A．200        B．250        C．300       D．450

6．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连CD，下列四个结论：①∠ADC=450；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2MC．其中正确结论的个数为（                 ）

   A．1个      B．2个      C．3个     D．4个

7．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，并且使AE=BD，连结CE、DE，求证：CE=DE．

8．如图，△ABC中，已知∠C=600，AC＞BC，又△ABC′、△A′BC、△AB′C都是△ABC外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC．

⑴ 证明：△C′BD≌△B′DC；

⑵ 证明：△AC′D≌△DB′A；

⑶ 对△ABC、△ABC′、△A′BC、△AB′C，从面积大小关系上，你能得出什么结论？

（江苏省竞赛试题）

9．在△ABC中，已知AB=AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC各内角的度数．

                                                    （江苏省扬州中学测试题）

10．如图，在△ABC中，∠C=900，∠CAD=300，AC=BC=AD，求证：CD=BD．

11．已知△ABC中，∠B为锐角，从顶点A向边BC或BC的延长线引垂线交BC于H点，又从顶点C向边AB或AB的延长线引垂线交AB于K，试问：当，是整数时，△ABC是怎样的三角形？并证明你的结论．

                                                    （“智能杯”通讯赛试题）

专题16  等腰三角形的性质

例1  45°

例2  提示：过点A作∠A的平分线BD交于G，先证明△ABG≌△ACF，再证明△AGD≌△CFFD

例3  提示：延长BC，AE交于一点.、

例4  提示：如图，作BD⊥AC于D，则∠OCD=∠OAD=30°，∴∠BA0=44°－30°=14°，

∠MAO=∠OAC－∠MAC=14°，∴∠BAO=∠MAO，又∵∠AOD=∠COD=90°－30°=60°，∴∠AOB=∠AOM=120°，∴OB=OM.又∵AO=AO，∴△AOB≌△AOM

又∵∠BOM=120°，∴∠OMB=30°，故∠BMC=180°－∠OMB=150°.

例5  如图，在AC延长线上截取CM1=BM，由Rt△BDM≌Rt△CDM1，得MD=M1D，∠MDB= ∠M1DC.∴∠MDM1=120°－∠MDB+∠M1DC=120°，又∠MDN=60°，∴∠NDM1=60°，∵MD=MD1， ∠MDN=∠NDM1=60°，DN=DN，∴△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，故△AMN周长：AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2.

例6  解法1  如图a，作△ABD关于AD的轴对称图形△ADC，则∠EAD=21°，AE=AB，∴DE=BD，又∠ADC=21°+46°=67°，故∠ADE=∠ADB=180°－67°=113°， ∠CDE=113°－67°=56°，连CE，可证△CDE≌△ABD≌△AED，∠ODE=∠OED=46°，得OD=OE，又DC=AE， 则AO=CO，∠OCA=∠OAC， ∠COE=2∠ACO， ∠COE=2×46°=92°=2∠ACO.从而∠ACO=46°=∠OAC，∴∠DAE+∠EAC=67°.

解法2  如图b，过A点作AE∥BC.过D作DE∥AB，连接EC.

∵∠EDC=∠ABC=46°，DE=AB=CD，

∴∠DCE=∠CED=×（180°－46°）=67°

∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=46°+21°=67°

∴∠ADC=∠DCE，，∴AD=EC.

∴梯形ADCE为等腰梯形

∴AC=DE（等腰梯形对角线相等），

∴AB=AC=CD，∴∠DAC=∠ADC=67°.

A级

1.  67.5°或22.5°  2.75°  3.60°  4.8  5.A  6.B  7.B 

8.D  提示：由已知得(b－c)(a－b)(a+c)=0，故b=c或a=b.

9.  提示：过D作DF∥AC交BC于F，证明△DFG≌△ECG.

10.  提示：延长CE交BA的延长线于F，证明△BEC≌△BEF，再证明△AFC≌△ADB.

11.  提示：图2成立，联系图1，可证明△ECD≌△FBD，

图3不成立，此时

12.作∠BAC的角平分线与CO的延长线交于D，连BD，则△ABD≌△ACD，则∠ABD=∠ACD=30°， ∠OBD=∠ABC－∠OBC－∠ABD=20°=∠ABD， ∠DOB=∠OBC+∠OCB=40°=∠DAB，从而△ABD≌△OBD，AB=OB，即△ABO为等腰三角形，得∠BAO=（180°－40°）=70°

B级

1.40°  2.①②③  提示：连AP.3.  60°提示：设∠CAN=∠BAM=α，∠MAN=β，则∠C=∠BAC=2α+β，∠AMN=β

4.  D    5.A     6.D

7. 提示：延长BD到F，使DF=BC，则△BEF为等边三角形，再证明△BCE≌△FDE

8.⑴证明略；⑵由①得C´D=AC=AB´，由②得DB´=BA=C´A，又AD=AD，∴△AC´D≌△DB´A；⑶S△AB´C＞S△ABC´＞S△ABC＞S△A´BC，S△ABC+ S△ABC´= S△AC´B+ S△A´BC

9.满足题意的图形有以下四种情形：

10.提示：在△ACD内以CD为边作等边△ECD，连AE，则△ACE≌△ADE.∴∠CAE=∠CAD=15°，又∵∠DCB=90°-∠ACD=90°-75°=15°，∴∠CAE=∠BCD=∠ECA. 又∵AC=BC，CE=CD，∴△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠EAC=15°. ∴∠DCB=∠DBC，∴DC=DB.

11.设，，因BH＜BA，BK＜BC，故mn＜4，得；；；；

①当m=n=1时，BH=BC，BK=AB，△ABC是等边三角形.

②当m=1，n=2时，BH=BC，BK=AB，△ABC是∠A为直角的等腰直角三角形.

③当m=1，n=3时，BH=BC，BK=AB，△ABC是∠A为120°的等腰三角形.

④当m=2，n=1时，△ABC是以∠C为直角的等腰直角三角形.

⑤当m=3，n=1时，△ABC是以∠C为120°的等腰三角形.