【压轴精讲】数学中考培优竞赛专题 第13讲 数学基本方法之等积法（含答案）学案

第13讲 数学基本方法之等积法

在解决几何问题时，通常可采用等积法来解决一些问题，即同一个图形采用不同的面积表示方法来建立等式.等积法也常在证明某些定理时被用到.

【例题讲解】

例题1   已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，AD⊥BC，求AD的长为             ．

答案： AD＝2.4.

例题2、如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值为         .

答案：.

【解析】连接BP，易知＝＋，所以·BE·CM＝·BE·PR＋·BC·PQ，由BC＝BE，等号两边同时约掉，剩下CM＝PR＋PQ，所以CM＝BC＝.

连接BP，过C作CM⊥BD，

∵＝＋

＝BC×PQ×＋BE×PR×

＝BC×（PQ＋PR）×

＝BE×CM×，

BC＝BE，

∴PQ＋PR＝CM，

∵BE＝BC＝1，且正方形对角线BD＝BC＝，

又∵BC＝CD，CM＝BD，

∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，

∴CM＝＝，

即PQ＋PR值是．

【对于填空选择题，可用特殊值法！】

例题3  如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是、、，则B＋C＋D的最大值为　            　，最小值为　              　．

答案：2，.

【解析】连接AC、DP，

＝1×1×1，

由勾股定理得：AC＝＝，

∵AB＝1，

∴1≤AP≤，

＝＝AP×C，

1＝＝＋＋＝AP（B＋C＋D），

B＋C＋D＝，

∵1≤AP≤，

≤B＋C＋D≤2，

【巩固练习】

1、如图，点P为等边△ABC内任意一点，AB＝2，则点P到△ABC三边的距离之和为          .

2、如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PE⊥AC，E、F分别是垂足，则PE＋PF的长为         .

3、如图，D是Rt△ABC斜边AB上一点，且BD＝BC＝AC＝1，P为CD上任意一点，PF⊥BC于点F，PE⊥AB于点E，则PE＋PF的值是          .

4.如图，已知直线y＝2x－2上有一动点Q，点P坐标为（－1，0），则PQ的最小值为          .

【请用等积法】

5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边上的中点，点P在AB上，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AB＝6，BC＝3.，则PE＋PF＝          .

6.将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a²＋b²＝c².

7．如图，在△ABC中，∠ A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F为垂足．求证：PE＋PF＝AB．

8．如图，平行四边形ABCD中，AB: BC＝3:2，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE: EB＝1:2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，求证：

9.在△ABC中，AB＝13，BC＝14．

（1）如图1，AD⊥BC于点D，且BD＝5，则△ABC的面积为　          　；

（2）在（1）的条件下，如图2，点H是线段AC上任意一点，分别过点A，C作直线BH的垂线，垂足为E，F，设BH＝x，AE＝m，CF＝n，请用含x的代数式表示m＋n，并求m＋n的最大值和最小值．

 10．【问题情境】

张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为．求证：PD＋PE＝CF．

小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD＋PE＝CF．

小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD＋PE＝CF．

【变式探究】

如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD－PE＝CF；

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

【结论运用】

如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝8，CF＝3，求PG＋PH的值；

【迁移拓展】

图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD·CE＝DE·BC，AB＝dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．

参考答案

1.答案：.

2.答案：.

3.答案：.

【解析】如图所示，过作于，是斜边上一点，且，

，

，

又，

．

4.答案：.

【解析】如图，过点P作PQ⊥AB于点Q，过点Q作QC＋QB，则

∵y＝2x－2

∴A（0，－2），B（1，0）

∵△PQB∽△AOB

∴＝

∵AB＝＝，PB＝2，OB＝1

∴＝

∴BQ＝

∴PQ＝＝＝＝.

5.答案：.

如图作BM⊥AC于M，连接PD．

∵∠ABC＝90°，AD＝DC，AB＝6，BC＝3，

∴BD＝AD＝DC，AC＝＝，

∵·AB·BC＝·AC·BM，

∴BM＝，

∴＝＋，

∴·AD·BM＝·AD·PF＝·BD·PE，

∴PE＋PF＝BM＝．

6.答案：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a．

∵＝＋＝b²＋ab．

又∵＝＋＝c²＋a（b－a）

∴b²＋ab ＝c²＋a（b－a）

∴a²＋b²＝c².

请参照上述证法，利用图2证明：a²＋b²＝c²．

【解析】连结BD，过点B作DE边上的高BF，可得BF＝b－a，

∵＝＋＋＝ab ＋b²＋ab，

又＝＋＋＝ab ＋c²＋a（b－a），

∴ab ＋b²＋ab ＝ab ＋c²＋a（b－a），

∴a²＋b²＝c².

7.【解析】过P作PG⊥AB于G，交BD于O，

∵PF⊥AC，∠A＝90°，

∴∠A＝∠AGP＝∠PFA＝90°，

∴四边形AGPF是矩形，

∴AG＝PF，PG∥AC，

∵BD＝DC，

∴∠C＝∠GPB＝∠DBP，

∴OB＝OP，

∵PG⊥AB，PE⊥BD，

∴∠BGO＝∠PEO＝90°，

在△BGO和△PEO中

∴△BGO≌△PEO，

∴PE＝BG，

∵AB＝BG＋AG，

∴PE＋PF＝AB．

8.【解析】连接DE、DF，

∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：，

即AF×DF＝CE×DQ，

∴AF×DP＝CE×DQ，

∴.

9.【解析】（1）在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，

∴AD＝＝＝12.

∵BC＝14，

∴＝BC·AD＝×14×12＝84.

故答案为：84．

（2）∵＝＋，

∴BH·AE＋BH·CF＝84．

∴xm＋xn＝168.

∴m＋n＝

∵AD＝12，DC＝14－5＝9，

∴AC＝＝15，

∵m＋n与x成反比，

∴当BH⊥AC时，m＋n有最大值．

∴（m＋n）BH＝AC·BH．

∴m＋n＝AC＝15.

∵m＋n与x成反比，

∴当BH值最大时，m＋n有最小值．

∴当点H与点C重合时m＋n有最小值．

∴m＋n＝，

∴m＋n等于12.

∴m＋n的最大值为15，最小值为12．

10.【解析】

【问题情境】

证明：（小军的方法）连接AP，如图②

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

且＝＋，

∴AB·CF＝AB·PD＋AC·PE.

∵AB＝AC，

∴CF ＝PD＋PE．

（小俊的方法）过点P作PG⊥CF，垂足为G，如图②．

∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，

∴∠CFD＝∠FDP＝∠FGP＝90°

∴四边形PDFG是矩形．

∴DP＝FG，∠DPG＝90°.

∴∠CGP＝90°

∵PE⊥AC，

∴∠CEP＝90°，

∴∠PGC＝∠CEP.

∵∠BDP＝∠DPG＝90°，

∴PG∥AB.

∴∠GPC＝∠B.

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB.

∴∠GPC＝∠ECP.

在△PGC和△CEP中，

∴△PGC≌△CEP.

∴CG＝PE.

CF＝CG＋FG

     ＝PE＋PD

【变式探究】

证明：连接AP，如图③．

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF＝AB，

且＝－，

∴AB·CF＝AB·PD－AC·PE.

∵AB＝AC，

∴CF＝PD－PE.

【结论运用】

过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°.

∵AD＝8，CF＝3，

∴BF＝BC－CF＝AD－CF＝5.

由折叠可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．

∴DF＝5.

∵∠C＝90°，

∴DC＝  ＝  ＝4.

∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，

∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC.

∴四边形EQCD是矩形.

∴EQ＝DC＝4.

∵AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB.

∵∠BEF＝∠DEF，

∴∠BEF＝∠EFB.

∴BE＝BF.

由问题情境中的结论可得：PG＋PH＝EQ．

∴PG＋PH＝4.

∴PG＋PH的值为4.

【迁移拓展】

延长AD、BC交于点F，作BH⊥AF，垂足为H，如图⑤．

∵AD·CE＝DE·BC，

∴＝.

∵ED⊥AD，EC⊥CB，

∴∠ADE＝∠BCE＝90°.

∴△ADE∽△BCE.

∴∠A＝∠CBE.

∴FA＝FB.

由问题情境中的结论可得：ED＋EC＝BH．

设DH＝xdm，

则AH＝AD＋DH＝（3＋x）dm．

∵BH⊥AF，

∴∠BHA＝90°.

∴BH²＝BD²－DH²＝AB²－AH².

∵AB＝，AD＝3，BD＝，

∴（）²－x²＝（）²－（3＋x）².

解得：x＝1．

∴BH²＝BD²－DH²＝37－1＝36.

∴BH＝6dm.

∴ED＋EC＝6.

∵∠ADE＝∠BCE＝90°，

且M、N分别为AE、BE的中点，

∴DM＝AM＝EM＝AE，CN＝BN＝EN＝BE.

∴△DEM与△CEN的周长之和

    ＝DE＋DM＋EM＋CN＋EN＋EC

＝DE＋AE＋BE＋EC

＝DE＋AB＋EC

＝DE＋EC＋AB

＝6＋

∴△DEM与△CEN的周长之和为（6＋）dm.