八年级数学竞赛培优专题及答案 11 双曲线

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专题11 双曲线

阅读与思考
形如的函数叫做反比例函数，这也是现实生活中普遍使用的模型，如通过改变电阻来控制电流的变化，从而使舞台的灯光达到变幻的效果；又如过湿地时，在地面上铺上木板，人对地面的压强减小，从而使人不陷入泥中.
反比例函数的基本性质有：
1. 反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐标轴相交；
2. k的正负性，决定双曲线大致位置及y随x的变化情况；
3. 双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线及.
反比例函数与一次函数有着内在的联系. 如在作图时都要经历列表、描点、连线的过程；研究它们的性质时，都是通过几个具体的函数归纳出一般的规律，但它们毕竟不同.
反比例函数中的几何意义是：等于双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得的矩形的面积，如图：
（1）；
（2）.
求两个函数图象的交点坐标，常通过解由这两个函数解析式组成的方程组得到.
求符合某种条件的点的坐标，常根据问题的数量关系和几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程（组），解方程（组）求得相关点的坐标.
解反比例函数有关问题时，应充分考虑它的对称性，这样既能从整体上思考问题，又能提高思维的周密性.
反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一，用反比例函数解决实际问题，既要分析问题情景，建立模型，又要综合方程、一次函数等知识.
例题与求解
【例1】（1）如图，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F且交BC于点E，四边形OEBF的面积为2，则 .
（兰州市中考试题）

（2）如图，△P1OA1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1，P2在函数的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是 .
（南通市中考试题）
解题思路：对于（1），通过连线，把相关图形的面积用k表示；对于（2），设，，把A，C两点坐标用a，b表示.

【例2】如图，P是函数图象上一点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F，则的值为 .
（北京市竞赛试题）
解题思路：设，把AF，BE用a，b的式子表示.

【例3】如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4.
（1）求k的值；
（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标.
（福州市中考试题）
解题思路：对于（2），有下列不同的解法：

图1 图2 图3
对于（3），需要思考的是，四边形APBQ的形状，P点与A点有怎样的位置关系.
【例4】已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过，两点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知A点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求A点坐标；
（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.
解题思路：对于（3），应分类讨论，并注意A点坐标隐含的信息.

【例5】一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点M、N，与反比例函数的图象相交于点A、B，过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD.
（1）若点A，B在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：
① ；② .
（2）若点A，B分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论.

图1 图2
（威海市中考试题）
解题思路：对于（1），通过连线证明面积相等，进而可证AB∥DC，则四边形ANDC，DCMB为平行四边形；（2）方法同（1）.

例5的拓展变化：
如图，点M，N在反比例函数的图象上，过点M作ME⊥x轴，过点N作NF⊥y轴，垂足分别为E、F，则MN∥EF.


【例6】点，与点C构成边长是3，4，5的直角三角形，如果点C在反比例函数的图象上，求k可能取的一切值.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：本题是与反比例函数相关的综合题，运用了代数化、勾股定理、消元降次、分类讨论等思想方法.





能力训练
A 级
1. 已知是反比例函数，则 .
2. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则满足条件的正整数k的值是 .
（沈阳市中考试题）
3. 已知双曲线经过点，如果，两点在该双曲线上，且，那么 . （威海市中考试题）
4. 已知函数（a为常数）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是 .
5. 如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是 . （荆门市中考试题）
6. 如图，B为双曲线上一点，直线AB平行于y轴交直线于点A，若，则 . （武汉市四月调考试题）

（第5题） （第6题）
7. 如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若，则k的值是（ ）
A.2 B. C. D.4
（鄂州市中考试题）

（第7题） （第8题）
8. 如图，反比例函数的图象与直线的交点为A、B，过A作y轴的平行线与过B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（ ）
A.8 B.6 C.4 D.2
（深圳市中考试题）



9. 函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）

（山西省中考试题）
10. 如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B，且.
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积.
（黄冈市中考试题）





11. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴、x轴分别交于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点、，过C点作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于F.
（1）求m，n的值；
（2）求直线AB的函数解析式；
（3）求证：△AEC ≌△DFB.
（温州市中考试题）





12. 如图所示，已知双曲线的图象上有两点，，且，分别过，向x轴作垂线，垂足为B，D，过，向y轴作垂线，垂足分别为A，C.
（1）若记四边形和四边形的面积分别为，，周长分别为，，试比较和，和的大小；
（2）若P是双曲线上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N. 试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？
（黄冈市特长生选拔赛试题）




B 级
1. 已知，且与成反比例，与成反比例. 且当时，；当时，. 当时， .
2. 直线与双曲线交于，两点，则 .
（荆门市中考试题）
3. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点A，C，自点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为B和D，则四边形ABCD的面积等于 .
（北京市竞赛试题）

（第3题） （第4题）
4. 已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点C，B，与双曲线交于点A，D，若，则k的值为 .
（十堰市中考试题）
5. 两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，有以下结论：
① △ODB与△OCA的面积相等；
② 四边形PAOB的面积不会发生变化；
③ PA与PB始终相等；
④ 当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.
其中一定正确的是 .
（咸宁市中考试题）
6. 如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数的图象上，则点E的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
（绍兴市中考试题）
7. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是曲线和，设P点在上，PE⊥x轴于点E，交于点A，PD⊥y轴于点D，交于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）
A. B. C. D.
（浙江省竞赛试题）
8. 等腰直角三角形ABC位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ）

A. B.
C. D.
（济南市中考试题）

9. 如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数的图象上，点是函数的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E，F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S.

（1）求B点坐标和k的值；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）写出S关于m的函数关系式.
（温州市中考试题）



10. 如图，已知直线交x轴于A，交y轴于B，P为反比例函数上一点，过P作x轴平行线交直线l于E，过P作y轴平行线交直线l于F. 求的值.



11. 已知一次函数与反比例函数的图象交于点，.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△MON的面积.
（太原市竞赛试题）



12. 已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴，y轴分别交于点A和点B，且. 这条曲线是函数的图象在第一象限内的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是，由点P向x轴、y轴作垂线PM，PN（垂足分别为M，N），分别与直线AB相交于点E和点F.

（1）设交点E和F都在线段AB上（如图），分别求E，F的坐标（用a的代数式表示E点坐标，用b的代数式表示F点坐标，只需写出答案，不要求写出计算过程）；
（2）求△OEF的面积（结果用a，b的代数式表示）；
（3）△AOF与△BOE是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由；
（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，是否有大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论.
（上海市竞赛试题）
专题11 双曲线
例1 （1）连结OB，则. 所以k=2
（2）作P1C⊥OA于C，P2D⊥OA2于D，P1C=OC，P2D=A1D=A2D，
设OA1 =a，A1A2=b，所以，所以a=4.
又因为P2D·OD=4，所以.则b=，
所以OA2 = OA1+A1A2 = 4 +=4，则A2（4，0）.
例2 1 提示：作FG⊥x轴于G，EH⊥y轴于H，则AF=，BE=，


例3 （1）k=8
（2）可试一试用图2解答：C(1，8)，
==32-4-4-9=15.
（3）因为反比例函数图像是关于原点O的中心对称图形，
所以OP=OQ，OA=OB.
所以四边形APBQ是平行四边形，
.
设P点的坐标为（）（m>0且m≠4），过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，∴.
若0 ∵
∴ 即
解得：m=2，m=-8(舍去)
若m>4（如图b）
∵
∴ 即
解得：m=8，m=-2(舍去)
故点P的坐标是P（2,4）或（8,1）

图 a 图b
例4 （1）
（2）解方程组得 ，（舍去）
从而y=1，∴A（1,1）
（3）符合条件的点P存在，有下列情况（如图）：
①若OA为底，则∠AOP1=45°，OA=，由OP1 =P1A，得P1(1，0)；
②若OA为腰，AP为底，则由OP=OA=，得P2(-，0)，P3（，0）；
③若OA为腰，OP为底，则由AO=AP=，得OP=2，P4(2，0)













例5 （1）∵
∴
∴
②连AD、AO、BC、BO.
∵ ，
∴
∴ CD∥MN.
又∵AC∥DN，BD∥CM，
∴四边形ANDC、BDCM为平行四边形，
∴AN=DC=BM
（2）AN与BM仍然相等，证法同（1）.

例6 点A与点B之间的距离是5，则它们之间的连线是直角三角形的斜边.
设点C（a，b），则
① ②
解①得或
所以C的坐标是（4，3）或（，）对应的k的值是12 或.
解②得 或
因为原点不可能在反比例函数图像上，
所以C的坐标是（，）对应的k的值是.
综上所述，k的值是12或.
A级
1.-2 2.1、2 3.< 4.y2>y1>y3 5.x<-1或0 ∵A点在第四象限内，∴k=-3，两个函数的解析式分别为.
（2）由，得，，∴A（1，-3），C（-3，1）.
设直线AC与y轴交于点D，则D（0，-2）.故（平方单位）.
11.（1）m=6,n=2 (2)y=-2x+8 (3)A(0,8), B(4,0),AE=DF=2,CE=BF=1，又∠AEC=∠DFB=900，故ΔAEC≌ΔDFB.
12.(1)而点P（x1，y1)在图象上，∴x1y1=k，即S1=k.同理，∴S1=S2，又C1=2（x1+y1)=
∴C2-C1=
∵双曲线在第一象限，∴
x1>0，x2>0.∴x1x2>0.又x1x22+kx1-x12x2-kx2=x1x2(x2-x1)-k(x2-x1)=(x1x2-k)(x2-x1)，且，当.
（2）设四边形PMON的周长为C，则C=2（x+y）.∵xy=k，
∴，这里x，k均大于0.
，当时，即时，四边形PMON的周长C最小，最小值为，此时P（）.
B级
1. 2.-3 3.14 4. ΔBOC为等腰直角三角形，OB=OC=1，BC=，由对称性可知AB=CD=，作AE垂直x轴于E，则AE，OE=.
5.①②④ 6.A 7.B 8.C 9.(1)设B点（x0，y0），S正方形OABC=x0y0=9，x0=y0=3，即B（3，3），k=x0y0=9.
(2)①如图a，P（m，n）在上，S矩形OEP1F=mn=9，S矩形OAGF=3n.,S=9-3n=，n=，m=6，
∴P1(6, ).
②如图a，同理可得P2（，6）.
（3）①如图b，当0 ②如图c，当m≥3时，S矩形OAGF=3n，S=9-3n=9-(m≥3).

10.设P（a，b），过E作ES⊥x轴于S，过F作FT⊥y轴于T，∴AE=，BF=2FT=2a.
∴AE·BF=.
11.（1） （2）
12.（1）E（1，1-a），F（1-b，b） （2）
（3）∽ （4）∠EOF=450