安徽省合肥市高考数学三年（2020-2022）模拟题知识点分类汇编-复数、坐标系与参数方程

安徽省合肥市高考数学三年（2020-2022）模拟题知识点分类汇编-复数、坐标系与参数方程

一、单选题

1．（2021·安徽合肥·统考三模）设（为虚数单位），则（    ）

A． B． C．1 D．

2．（2021·安徽合肥·统考三模）设（i是虚数单位），则（    ）

A． B． C．1 D．

3．（2021·安徽合肥·统考二模）复数(i是虚数单位)的模等于（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·安徽合肥·统考一模）已知(为虚数单位)，则在复平面内复数z所对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

5．（2021·安徽合肥·统考二模）若复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是

A．3 B． C．2 D．

6．（2021·安徽合肥·统考一模）已知复数(为虚数单位)，则的共轭复数为（    ）

A． B．

C． D．

7．（2020·安徽合肥·统考三模）若复数，在复平面内对应的点关于原点对称，，则（    ）

A． B． C．2 D．

8．（2020·安徽合肥·统考三模）已知i是虚数单位，则复数在复平面上所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

9．（2020·安徽合肥·统考二模）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数满足，则（    ）

A．1 B． C． D．

10．（2020·安徽合肥·统考一模）设，则（    ）

A． B． C． D．

11．（2020·安徽合肥·统考一模）设复数满足，在复平面内对应的点为，则不可能为（      ）

A． B． C． D．

12．（2022·安徽合肥·统考二模）设复数满足，则（    ）

A． B．4 C． D．

13．（2022·安徽合肥·统考二模）设复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．2

二、解答题

14．（2022·安徽合肥·统考二模）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2)若直线与直线交于点，直线与曲线交于点，且，求实数的值．

15．（2021·安徽合肥·统考二模）在直角坐标系中，曲线的参数方程为(t为参数).在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；

（2）若曲线与曲线交于点，，，求的值.

16．（2021·安徽合肥·统考二模）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，点P的极坐标为，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．

（1）求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标；

（2）已知直线（t为参数），若直线l与曲线C的交点分别是A、B，求的值．

17．（2021·安徽合肥·统考一模）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若点，为曲线上两点，且满足，求的最大值.

18．（2020·安徽合肥·统考三模）在平面直角坐标系中，直线m的参数方程为 （t为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0，直线m与曲线E交于A，C两点．

（1）求曲线E的直角坐标方程和直线m的极坐标方程；

（2）过原点且与直线m垂直的直线n，交曲线E于B，D两点，求四边形ABCD面积的最大值．

19．（2020·安徽合肥·统考二模）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）， 以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于两点，(2，0)，求的值.

20．（2020·安徽合肥·统考一模）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积.

参考答案：

1．B

【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数模的公式进行求解即可．

【详解】因为，

所以，

故选：B

2．B

【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数模的公式进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

故选：B

3．C

【分析】求出后可求其模．

【详解】，故所求的模为，

故选：C.

4．D

【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为的形式，即可推出结果．

【详解】解：，故它所表示复平面内的点是位于第四象限．

故选：．

5．A

【解析】先利用复数的除法运算，化简复数z，再利用复数的概念求解.

【详解】因为复数，

所以z的虚部是3，

故选：A

6．C

【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数，则的共轭复数可求．

【详解】解：，

的共轭复数为：．

故选：C．

7．A

【分析】利用已知求得，进而求得，再利用复数的乘法运算计算即可得解．

【详解】，复数在复平面内的对应点关于原点对称，

，则，

.

故选：A.

【点睛】本题考查了复数的对称关系，共轭复数以及复数的乘法运算，属于基础题．

8．C

【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.

【详解】由于复数，

在复平面的对应点坐标为.

在第三象限.

故选：C.

【点睛】主要考查复数的概念及复数的运算．属于容易题.

9．B

【解析】由新定义化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出后再求模．

【详解】由题意，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化为代数形式，然后求解．

10．B

【解析】化简得到，再计算模长得到答案.

【详解】依题意，，故.

故选：B.

【点睛】本题考查复数的运算、复数的概念，考查运算求解能力以及化归与转化思想.

11．D

【解析】依题意，设，由，得，再一一验证.

【详解】设，

因为，

所以，

经验证不满足，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题.

12．A

【分析】由复数的四则运算结合几何意义得出.

【详解】

故选：A

13．C

【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据虚部的定义即可得解.

【详解】解：因为，所以，

则.

所以的虚部为.

故选：C.

14．(1)，

(2)1

【分析】（1）消去参数可把参数方程化为普通方程，由公式可把极坐标方程与直角坐标方程互化；

（2）用极坐标法求出的极坐标，，再利用直角三角形性质可求得．

【详解】（1）由（为参数）得，

∴直线的极坐标方程为．

由得，，

，

∴曲线的直角坐标方程为．

（2）直线的极坐标方程为，将代入直线的极坐标方程得，

∴点的极坐标为

将代入曲线的极坐标方程得，

．

，且为线段的中点，

，即，

．

15．（1）见详解；（2）

【分析】（1）变形式子为，然后平方作差可得曲线的直角坐标方程，根据化简可得曲线的直角坐标方程.

（2）得到曲线的参数方程，然后根据参数的几何意义可得结果.

【详解】（1）由(t为参数)，则(t为参数)

所以

由（当且仅当时取等号）

所以曲线的直角坐标方程为

由，则

即，又

所以，即

所以曲线的直角坐标方程为

曲线的直角坐标方程为

由（1）可知：曲线的直角坐标方程为，且在曲线上

则曲线的参数方程为：（为参数）①

将①代入曲线的直角坐标方程化简为：

设所对应的参数分别为

所以，所以

所以

又

所以

【点睛】关键点点睛：第（1）问关键在于观察式子平方化简可知曲线，掌握可将极坐标方程化为直角坐标方程；第（2）问关键在于曲线转化为参数方程便于计算掌握参数的几何意义.

16．（1）；；（2）4.

【解析】（1）两边同时乘以，由，可得直角坐标方程以及点P的直角坐标.

（2）将直线的参数方程代入C方程，利用参数的几何意义即可求解.

【详解】解：（1）由，得，

又，，∴，

即曲线C的直角坐标方程为，

点P的直角坐标为．

（2）把直线l的方程代入C方程，整理得，

，

设A、B对应的参数分别是、，则，

于是

17．（1）；（2）

【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间进行转换；

（2）利用极径的应用和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．

【详解】解：（1）曲线的参数方程为（为参数），

其中，

所以，根据转换为极坐标方程为．

（2）设，，，

故，

不妨设，

故，

当时，的最大值为．

18．（1），；（2）

【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．

（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．

【详解】（1）曲线E的极坐标方程为，

所以曲线的直角坐标方程为，

因为直线m的参数方程为 （为参数，）

所以，

所以直线的极坐标方程为 ．

（2）设点的极坐标分别为．

由 可得，

，

；

同理得；

设四边形面积为，

，

当且仅当，即或时，等号成立，

∴四边形面积的最大值为．

【点睛】本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

19．（1）：，：；（2）

【分析】（1）根据参数方程消去参数得到椭圆方程，利用极坐标公式化简得到答案.

（2）将直线的参数方程代入椭圆方程，得到，计算得到答案.

【详解】（1）曲线的参数方程消去参数得，

 ，

故曲线的普通方程为.

∵，∴，

∴直线的直角坐标方程为.               

（2）设直线的参数方程为(为参数)，

将其代入曲线的直角坐标方程并化简得，∴.

∵点(2，0)在直线上，

∴.

【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.

20．（1）的极坐标方程为，的直角坐标方程为（2）

【解析】（1）先把曲线的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用 求得极坐标方程.将，化为，再利用 求得曲线的普通方程.

（2）设直线的极角，代入，得，将代入，得，由，得，即，从而求得，，从而求得，再利用求解.

【详解】（1）依题意，曲线，即，

故，即.

因为，故，

即，即.

（2）将代入，得，

将代入，得，

由，得，得，

解得，则.

又，故，

故的面积.

【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.