2022年安徽省合肥市双凤高级中学高考数学模拟试卷（文科）（二）(含答案解析)

2022年安徽省合肥市双凤高级中学高考数学模拟试卷（文科）（二）

1.     设全集为R，，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.     已知复数，是方程的两根，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.     某商家统计了去年P，Q两种产品的月销售额单位：万元，绘制了月销售额的雷达图，图中A点表示P产品2月份销售额约为20万元，B点表示Q产品9月份销售额约为25万元．
   根据图中信息，下面统计结论错误的是(    )

A. P产品的销售额极差较大 B. P产品销售额的中位数较大
C. Q产品的销售额平均值较大 D. Q产品的销售额波动较小

4.     下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.     函数的大致图象为(    )

A.
B.
C.
D.

6.     若函数在上有最大值无最小值，则实数a的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

7.     在矩形ABCD中，已知，，E为AD边上靠近点D的三等分点．现将沿直线BE折起至，使得点在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内不含边界，如图．设直线，与平面BCDE所成的角分别为，，二面角的大小为，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.     如图，N、S是球O直径的两个端点，圆是经过N和S点的大圆，圆和圆分别是所在平面与NS垂直的大圆和小圆，圆和交于点A、B，圆和交于点C、D，设a、b、c分别表示圆上劣弧CND的弧长、圆上半圆弧AB的弧长、圆上半圆弧CD的弧长，则a、b、c的大小关系为(    )
    

A.  B.  C.  D.

9.     古希腊数学家欧几里德在其著作《几何原本》中定义了相似圆锥：两个圆锥的高与底面的直径之比相等时，则称这两个圆锥为相似圆锥．已知圆锥SO的底面圆O的半径为3，其母线长为若圆锥与圆锥SO是相似圆锥，且其高为8，则圆锥的侧面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知抛物线的焦点为F，直线l为其准线，点E在抛物线上．若点E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，，则直线FE的斜率为(    )

A.  B.  C.  D. 1

11. 已知函数，若集合含有4个元素，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 设函数，若曲线上存在点使得，则实数a的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

13. 已知平面单位向量满足，设，向量的夹角为，则的最小值为______.
14. 已知圆，圆，若在圆上存在点M，圆上存在点N使得点满足：，则实数的取值范围是______.
15. 若从正六边形的6个顶点和中心共7个点中随机选出3个点，以选出的这3个点为顶点构成直角三角形的概率为______.
16. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则面积的最大值为______.
17. 已知数列满足，，且
    设，求数列前三项的值及数列的通项公式；
    设，求的前n项和
18. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，且
    求证：平面PAD；
    若点E，F分别是棱PD，BC的中点，求证：平面

19. 为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等．如表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数指数越小，空气质量越好统计表．
    表1：2016年12月AQI指数表：单位

表2：2017年12月AQI指数表：单位

根据表中数据回答下列问题：
求出2017年12月的空气质量指数的极差；
根据《环境空气质量指数技术规定试行》规定：当空气质量指数为时，空气质量级别为一级．从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望；
你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？结合数据说明理由．

20. 已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上横坐标为3的点M到焦点F的距离为
    求抛物线C的方程；
    过抛物线C的焦点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，求弦长
21. 已知函数，
    当时，求函数的单调区间；
    若，正实数a、b满足，求证：
22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，曲线的参数方程为为参数
    写出的普通方程；
    以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．
23. 已知，，
    若，求证：；
    若，求证：
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：，，
，
故选：
可以求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．
考查描述法的定义，指数函数的单调性，对数函数的定义域，以及交集、补集的运算．
 

2.【答案】B 

【解析】解：复数，是方程的两根，
，，故，故A错误，
，，故B正确，
，故C错误，
，故D错误．
故选：
根据已知条件，先求出，，再结合复数的性质，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：根据图象可以看见P产品的销售额波动较大，故D对；
P产品的销售额极差更大，故A对；
Q产品的销售额基本维持在25万元向上，而P销售额相对较低且波动大，则Q销售额平均值更大，故C对，
故选：
根据图象得到数据的相关结论即可
本题考查对图象的数据分析及判断，属于基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：几何体是一个底面半径为2高为4的圆柱与一个底面半径为2高为2的半个圆柱，与一个长方体的组合体，
可得几何体的体积为：

故选：
画出几何体的直观图，利用三视图的数据转化求解几何体的体积即可．
本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．考查计算能力以及空间想象能力．
 

5.【答案】D 

【解析】解：因为，所以为奇函数，排除选项A和C；
当时，，，所以，排除选项B，
故选：
根据函数奇偶性的概念可判断函数为奇函数，排除选项A和C，再对比剩下的选项，只需考虑时，与0的大小关系即可．
本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．

【解答】

解：，
时，，函数在内单调递增，无极值，舍去．
时，
由，解得，此时，函数在内单调递增，无极值，舍去．
由，解得，由，
解得，
当时，，，因此，函数在内单调递增，无极值，舍去．
当时，，，
函数在上有最大值无最小值，
，
解得：
综上可得：
故选

7.【答案】D 

【解析】解：如图，作，分别交BE，DC于点M，N，连接，，

易知∽，所以，所以
由翻折知，又，所以平面，
又平面BCDE，所以平面平面BCDE，
因此点在平面BCDE上的射影就落在线段MN上不含端点，
作于点O，则平面BCDE，连接OB，OC，
由线面角和二面角的定义可知，，，，
且，
易知，所以，
即点O在线段BC的垂直平分线的下方，故，
且易知，所以有，所以，
又，所以，
故选：
画出几何图形，作，分别交BE，DC于点M，N，连接，，易证平面平面BCDE，点在平面BCDE上的射影就落在线段MN上不含端点，再作于点O，则平面BCDE，连接OB，OC，，，，且，然后由题中的等量关系和大小关系得出答案即可．
本题考查了线面角和二面角的计算，属于中档题．
 

8.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查球中弧长的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键，属于中档题．
分别计算a，b，c，比较大小即可得出结论．

【解答】

解：设球的半径为R，球心角，则，，
，，
，，
令，
则，
，，，
，在上单调递减，
，，
，
故本题选

9.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了相似圆锥的定义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
根据相似圆锥的定义与高，求出底面圆半径和母线长，即可求出圆锥的侧面积．

【解答】

解：圆锥SO的底面圆O的半径为，母线长为，所以高为；
所以它的相似圆锥的高为时，它的底面圆半径为，母线长为，
所以圆锥的侧面积为
故选：

10.【答案】B 

【解析】解：由题意可得E在第一象限，
设准线l与y轴的交点为S，则，在中，，
所以，则，
由抛物线的定义知，，则为等边三角形，
所以直线EF的倾斜角为，斜率为
故选：
由题意可得E在第一象限，设S为准线与y轴的交点，则，再由可得的值，可得的值，再由抛物线的定义可得为等边三角形，进而可得
的值，进而可得直线EF的倾斜角，进而可得EF的斜率．
本题考查抛物线的性质及直线的斜率的求法，属于中档题．
 

11.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，综合性较强，有一定的难度．
通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，结合三角函数的图象和性质进行求解即可．

【解答】

解：函数
，
由集合含有4个元素，
得，即，
即，或，
即或，，
设与在上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，
则，，
在上有且只有四个交点，
则，
即，
得，
故选：

12.【答案】D 

【解析】解：曲线上存在点使得，则
考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取，
A，B，C，D四个选项参数都可取1，
由此可先验证参数为0与时是否符合题意，即可得出正确选项
当时，，是一个增函数，且函数值恒非负，
故只研究时是否成立
由于是一个增函数，可得出，
而，故符合题意，由此知A、C两个选项不正确
当时，，此函数是一个增函数，
，，
故符合题意，故A，B两个选项不正确
综上讨论知，可确定A、B，C三个选项不正确．
故D选项正确．
故选：
考查题设中的条件，函数的解析式不易得出，直接求最值有困难，考察四个选项，发现有两个特值区分开了四个选项，0出现在了B，D两个选项的范围中，出现在了C，D两个选项所给的范围中，故可通过验证参数为0与时是否符合题意判断出正确选项．
本题是一个函数综合题，解题的关键与切入点是观察出四个选项中同与不同点，判断出参数0与是两个特殊值，结合排除法做题的技巧及函数的性质判断出正确选项，本题考查了转化的思想，观察探究的能力，属于考查能力的综合题，易因为找不到入手处致使无法解答失分，易错．
 

13.【答案】 

【解析】解：已知平面单位向量满足，
则，
即，
又，，
，
设，则，
又向量的夹角为，
则，
当时，取最小值，
故答案为：
先由已知条件求出，设，则，然后结合平面向量的夹角的运算可得：，然后求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的夹角的运算，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：若在圆上存在点M，圆上存在点N使得点满足：，
由图形对称性，不妨设在y轴的右侧，
故只需，所以，
所以，
解得，
同理在y轴及其左侧得到，
综上，，
所以实数的取值范围是
故答案为：
由图形的对称性，不妨设在y轴的右侧，问题可转化为点到圆上的距离最大值大于等于点到圆上的距离最小值，即，即可求出的取值范围．
本题主要考查圆的方程及几何图形中的存在性问题处理策略，属于难题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，构成的三角形的个数为，
构成的直角三角形的个数为12个，
故概率
故答案为：
直接利用古典概型问题的应用，利用组合数的应用求出结果．
本题考查的知识要点：古典概型问题，组合数，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，且，
，
即，
即，
即，
，
即，
是锐角三角形形，
，即，
则，即，
由余弦定理得，
即，
得，得，即，
则三角形的面积，
即三角形面积的最大值为，
故答案为：
根据余弦定理，结合三角形的面积公式以及基本不等式的性质进行转化求解即可．
本题主要考查解三角形的应用，结合余弦定理，三角形的面积公式以及基本不等式的性质是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：因为，所以，
两边同时除以，得，即，
因为，所以，
而，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，
所以，，且
由，知数列单调递增，
而，，，
所以当时，，
此时，，

两式相减得，，
所以，
当时，；
当时，，满足，
综上所述，的前n项和 

【解析】由，知，两边同时除以，可证得数列是首项为2，公差为1的等差数列，从而得数列和的通项公式，得解；
易知数列单调递增，当时，，根据错位相减法求得，再检验，是否满足，即可．
本题考查数列通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，构造法，以及错位相减法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：在四棱锥中，
因为，所以，
又因为四棱锥的底面是平行四边形，所以，
所以
因为，PA，平面PAD，所以平面
如图，取AD的中点G，连EG，
在中，因为E是棱PD的中点，
所以
又平面PAB，平面PAB，
所以平面
在平行四边形ABCD中，G，F分别是棱AD，BC的中点，
所以，，所以四边形ABFG是平行四边形，
所以 
又平面PAB，平面PAB，所以平面
因为，EG，平面EFG，所以平面平面
又平面EFG，所以平面 

【解析】推导出，，，从而由此能证明平面
取AD的中点G，连EG，推导出从而平面推导出四边形ABFG是平行四边形，从而进而平面平面平面由此能证明平面
本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

19.【答案】解：年12月空气质量指数的最大值为221，最小值为27，
年12月空气质量指数的极差，
可取1，2，3，；；
的分布列为：

所以
年12月空气质量为优的天数为4天，而2016年空气质量为优的天数为17天，
故该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是有效的． 

【解析】根据空气质量指数的最大值和最小值得出极差；
根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；
从空气质量为优的天数变化即可得出结论．
本题考查了数据统计，离散型随机变量的分布列，属于中档题．
 

20.【答案】解：抛物线C：的焦点，准线方程为，
，由抛物线的定义可得，
故所求抛物线方程为；
由得，焦点，所以直线l的方程为，
并设，，
联立，消去y，得，
所以，
可得，
所以 

【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p的方程，求得p，即可得到所求抛物线方程；
求得直线l的方程为，设，，联立抛物线方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
 

21.【答案】解：当时，，
，
令，得；令，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
证明：当时，，因为，
即为：，
所以，
令，则，
，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
因为，
所以，得证． 

【解析】求出函数的导数，令和得到解集，从而即可确定的单调区间；
由题可得，令，则，根据函数的单调性求出，证明结论即可．
本题考查了导数的综合运用及用换元法证明不等式，属于中档题．
 

22.【答案】解：由为参数，消去参数t，
可得的普通方程为；
由为参数，消去参数s，
可得的普通方程为
由，得，
则曲线的直角坐标方程为
联立，解得或，
与交点的直角坐标为与；
联立，解得或，
与交点的直角坐标为与 

【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．
消去参数t，可得的普通方程；
消去参数s，可得的普通方程，化的极坐标方程为直角坐标方程，然后联立直角坐标方程求解与、与交点的直角坐标．
 

23.【答案】证明：，，由得，，
由柯西不等式，，等号成立的条件为
证明：，，
即，
当且仅当时等号成立．
又， 

【解析】利用柯西不等式转化证明即可．
利用重要不等式证明即可．
本题考查不等式的证明，是中档题．