安徽省合肥市高考数学三年（2020-2022）模拟题知识点分类汇编-01函数与导数

这是一份安徽省合肥市高考数学三年（2020-2022）模拟题知识点分类汇编-01函数与导数，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
安徽省合肥市高考数学三年（2020-2022）模拟题知识点分类汇编-01函数与导数

一、单选题
1．（河南省豫南省级示范高中联盟2021-2022学年高三下学期联考三理科数学试题）过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线，切点为（不重合），设直线分别与y轴交于点，则下列结论正确的个数是（    ）
①两点的横坐标之积为定值；
②直线的斜率为定值；
③线段的长度为定值；              
④面积的取值范围为.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（安徽省合肥市2022届高三下学期第二次教学质量检测文科数学试题）函数（是自然对数的底数）的图象关于（    ）
A．点对称 B．点对称
C．直线对称 D．直线对称
3．（安徽省合肥市2022届高三下学期第二次教学质量检测文科数学试题）设，，，则（    ）
A． B．
C． D．
4．（安徽省合肥市2022届高三下学期第二次教学质量检测文科数学试题）已知函数是奇函数，当时，的值域为（    ）
A． B．
C． D．
5．（安徽省合肥市2022届高三下学期第二次教学质量检测理科数学试题）函数（是自然对数的底数）的图象关于（    ）
A．直线对称 B．点对称
C．直线对称 D．点对称
6．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2022届高三下学期第九次模拟考试理科数学试题）已知不等式，对于任意的恒成立，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
7．（安徽省合肥市2020届高三高考数学（文科）三模试题）已知函数，则不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
8．（考点62充分、必要条件（练习）-2021年高考数学复习一轮复习笔记）“关于的方程有实数解”的一个充分不必要条件是（    ）
A． B． C． D．
9．（福建省莆田第二十五中学2021届高三上学期月考（一）数学试题）已知，则（）
A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b

二、填空题
10．（安徽省合肥市2022届高三下学期第二次教学质量检测文科数学试题）过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线，，切点为，（，不重合），设直线，分别与轴交于点，，则__________．
11．（安徽省合肥市2020届高三高考数学（文科）三模试题）设函数（其中e为自然对数的底数），则f（f（3））的值等于_____．
12．（2020届安徽省合肥市高三第二次教学质量检测文科数学试题）曲线（是自然对数的底数）在处的切线方程为_______.
13．（2020届河南省顶级名校高三1月教学质量测评文科数学试题）曲线在处的切线方程为_________.
14．（2020届河南省顶级名校高三1月教学质量测评理科数学试题）已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则__________.

三、解答题
15．（安徽省合肥市2022届高三下学期第二次教学质量检测理科数学试题）已知函数 ， 是的导函数.
(1)证明：函数只有一个极值点；
(2)若关于的方程在上有两个不相等的实数根，证明： ．
16．（安徽省合肥市2021届高三下学期第三次教学质量检测文科数学试题）已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求证：当时，；
（2）求证：.
17．（安徽省合肥市2021届高三下学期第三次教学质量检测理科数学试题）已知函数．
（1）若，求实数a的值；
（2）求证：．
18．（安徽省合肥市2021届高三下学期第二次教学质量检测文科数学试题）已知函数(，e为自然对数的底数).
（1）当时，求函数的零点：
（2）若对，恒成立，求实数a的取值范围.
19．（安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量检测文科数学试题）已知函数的图象在点处的切线与直线平行.
（1）求实数b的值；
（2）讨论极值点的个数.
20．（安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟数学（文）试题）已知函数．
（Ⅰ）若在R上是减函数，求m的取值范围；
（Ⅱ）当时，证明有一个极大值点和一个极小值点．
21．（河南省济源平顶山许昌2021届高三三模数学（理）试题）已知函数有两个零点.
（1）求实数的取值范围；
（2）记的两个零点分别为，，求证：(为自然对数的底数).
22．（安徽省合肥市2020届高三高考数学（理科）三模试题）已知函数（ω＞0）.
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若方程f（x）＝在区间[0，π]上恰有两个实数解，求ω的取值范围.
23．（安徽省合肥市2020届高三下学期第三次教学质量检测数学（文）试题）已知函数（为自然对数的底数），其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）当时，记函数，的图象分别为曲线，.在上取点（）作轴的垂线交于，再过点作轴的垂线交于（）（），且.
①用表示；
②设数列和的前项和分别为，求证：

参考答案：
1．C
【分析】当时，求得，当时，，可判定①正确；根据斜率公式和对数的运算性质，可判定②正确；求得的方程，得到，，求得，可判定③正确；联立方程组，得到，进而求得，可判定④不正确.
【详解】作出曲线的图象，如图所示，
过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线，切点为（不重合），
可得切点的横坐标在，的横坐标在，
当时，，则，所以；
当时，，则，所以，
所以，所以，所以①正确；
直线的斜率为，所以②正确；
过点的切线方程为，令，可得，即点，
过点的切线方程为，令，可得，即点，
所以，所以③正确；
由切线联立方程组，解得其交点的横坐标，
因为不重合，故等号不成立，
所以的横坐标，所以，所以④不正确.
故选：C.

2．C
【分析】根据对称性结合奇偶函数的定义逐一判断即可.
【详解】函数
对于A，，即图象不关于点对称，故A错误；
对于B，，即图象不关于点对称，故B错误；
对于C，，即图象关于直线对称，故C正确；
对于D，，即图象不关于直线对称，故D错误；
故选：C
3．C
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】，
，，
因为，所以，，则，即，
因此，.
故选：C.
4．D
【分析】利用奇函数的性质求出，然后，根据，利用数形结合求出的值域
【详解】因为函数是奇函数，
可得，得，又，得，得，，得，所以，
故选：D
5．D
【分析】根据对称性进行检验．
【详解】由题意，它与之间没有恒等关系，相加也不为0，AB均错，
而，所以的图象关于点对称．
故选：D．
6．B
【分析】将不等式转化为恒成立，令，求导判断单调性，并求解最小值，转化为，令，求导判断单调性，再结合，即可求解出答案.
【详解】由题意，时，恒成立，
设，则，
因为时，，所以，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，由题意，只需，
设，则，
当时，，所以函数单调递增，而，
显然，当时，成立.
故选：B
【点睛】在求解有关与的组合函数综合题时要把握三点：
灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，层层求导；
把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；
函数最值不易求解时，可重新拆分、组合，构建新函数，通过分类讨论新函数的单调性求最值.
7．D
【分析】首先判断的单调性和奇偶性，由此化简不等式，求得不等式的解集.
【详解】的定义域为，且，所以为奇函数，
由于，所以在上递减.
由，得，
所以，，
解得.所以不等式的解集为.
故选：D
【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.
8．C
【分析】首先设，，从而得到，再根据题意结合选项即可得到答案.
【详解】由题知：，，令，，
因为，，所以.
故“关于的方程有实数解”的一个充分不必要条件是.
故选：C
【点睛】本题主要考查充分不必要条件，同时考查了函数的零点问题，换元法为解决本题的关键，属于中档题.
9．B
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断可得；
【详解】解：，，
所以，，
所以
故选：B
【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.
10．2
【分析】设，.， ，利用导数表示出，，即可求出.
【详解】设，.，，所以.
.
不妨设与相切于点，则有，解得：.
同理可求：.
因为切线，互相垂直，所以，即.
所以.
故答案为：2.
【点睛】用导数求切线方程常见类型：
(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；
(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线方程：.
11．2e2
【分析】直接根据分段函数解析式计算可得；
【详解】解：因为
所以，所以
故答案为：
【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.
12．y＝ex﹣e
【解析】分别求出切点坐标和切点处的导数值，然后代入点斜式求切线方程．
【详解】∵f′（x）＝2ex﹣ex，
∴k＝f′（1）＝e，又f（1）＝0
故切线方程为y＝e（x﹣1），
即y＝ex﹣e．
故答案为：y＝ex﹣e．
【点睛】本题考查了利用导数求切线方程的方法，要注意计算的准确性．属于基础题．
13．
【解析】求导，计算，得到切线方程.
【详解】，故，
故所求切线方程为.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.
14．
【解析】先求导，再根据导数的几何意义，有求解.
【详解】因为函数，
所以，
所以，
解得.
故答案为：
【点睛】本题考查导数的几何意义，还考查运算求解能力以及数形结合思想，属于基础题.
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】(1)求导，根据导函数的单调性以及符号即可证明；
(2)应用极值点偏移的方法即可证明.
【详解】（1）函数的定义域为，且 ．
当时， ；
当时，令 ，则 ，
在上单调递增．
又，，，使得，
即，
当，时， ；当时， ，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
只有一个极小值点，无极大值点；
（2）由（1）知，函数 在上单调递增， ，
且 ，
，函数在上单调递减，在上单调递增，
不妨设，则，
要证 ，即证，只要证
，．
又在上单调递增，
∴要证，即证．
令，
，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
在上单调递增，，
在上单调递减，，
在上单调递增，，即 .
【点睛】本题的难点是极值点偏移，实际上对于极值点偏移是有专门的方法的，
即是以极值点为对称轴，作原函数的对称函数，通过判断函数图像是原函数的上方还是下方，即可证明.
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线方程得到，令，用导数法证明即可；
（2）由（1）知，当时，，令，转化为，再利用数列的裂项相消法求解.
【详解】（1）函数的定义域为，.
又∵，，
∴该切线方程为，即.
设，则.
令，则.
当时，，∴在上单调递增.
又∵，∴，即在上单调递增，
∴当时，，
∴当时，.
（2）由（1）知，当时，.
令，则，
∴，
∴，
化简得.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是利用数列的知识，根据（1）的结论，构造而得解.
17．（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）求导判断含参函数的单调性，根据与，分类讨论求出实数a的值；（2）由（1）知，当时，在上成立，即，
令，利用对原不等式左边进行放缩即可得证.
【详解】解：（1），则．
①当时，，在上单调递增．
∵，∴当时，，不符合题意，舍去；
②当时，，由得，，由得，．
∴在上单调递增，在上单调递减．
∵，∴当时，，不符合题意，舍去；
③当时，，由得，；由得，．
∴在上单调递增，在上单调递减．
又∵，∴成立．
④当时，，由得，，由得，．
∴在上单调递增，在上单调递减．
∵，∴当时，，不符合题意，舍去；
综上得，．
（2）由（1）知，当时，在上成立，即．
令，则，
∴，
即，
∴．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
18．（1）0；（2）．
【分析】（1）求出导函数确定函数在上单调，由得只有一个零点．需对再求导确定最值后求解．
（2）分类讨论变形不等式时，不等式为成立，，时，不等式化为，时，不等式化为，设，求导后确定单调性，然后由不等式恒成立得的范围．
【详解】（1），，
设，则，
当时，，递减，当时，，递增，
所以，所以恒成立，即恒成立，
所以在上是增函数，又，
所以的零点为0；
（2）时，不等式为成立，，
时，不等式化为，
时，不等式化为，
设，则，
所以时，递减，，恒成立，，
时，递减，，恒成立，，
综上的范围是．
【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求函数的零点，研究不等式恒成立问题．零点问题主要是通过导数研究函数的单调性，确定零点个数，结合特殊的函数值得出零点．不等式恒成立主要采取分离参数法，转化为求函数的最值．
19．（1）；（2）当时，函数的极值点个数为1；当时，函数的极值点个数为2；当时，函数的极值点个数为.
【分析】（1）由题意知，曲线的图象在点处的切线斜率为，求导数，代入计算，即可得出结论；
（2）令，则问题转化为函数的变号零点的个数，对函数求导，对分类讨论，判断的正负，得到函数的单调性，进而判断变号零点个数，从而得解.
【详解】（1），
由题意可得，
所以，所以.
（2）由（1）知，，
令，则极值点的个数即为函数的变号零点的个数，
所以，
①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
因为，
所以函数在上只有一个变号零点，
所以当时，函数的极值点个数为1；
②若，则当时，，当时，，
所以的最小值为，
（i）若，即，则函数在上没有变号零点，
所以当，函数的极值点个数为0；
（ii）若，即，则，
令．
所以，所以在上单调递减，
所以，即，，
即，且，
所以函数在上各有一个变号零点，
所以当时，函数的极值点个数为2．
综上所述，当时，函数的极值点个数为1；
当时，函数的极值点个数为2；
当时，函数的极值点个数为0．
【点睛】本题主要考查导数的概念及其几何意义、导数的运算以及导数在研究函数中的应用，考查分类讨论的数学思想，难点在于第二问，对、、的讨论．
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】（Ⅰ）求导可得的解析式，设，求导可得解析式，分别讨论和两种情况，可得的单调性及最值，根据题意，可得，即可得答案.
（Ⅱ）当时，，分别求得，结合的单调性，可得在上有一个零点，在上有一个零点，综合分析，即可得答案.
【详解】（Ⅰ）由，得，
设，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，因为在R上是减函数，
所以，所以，
故m的取值范围是．
（Ⅱ）当时，.
由于，，所以在上有零点，
又在上单调递增，
所以在上只有一个零点，设为.
又.设，
则，即在上单调递减，
所以，即.所以，
所以在上有零点，
又在上单调递减，
所以在上只有一个零点，设为.
因此，当时，，
当时，，
当时，，
即在，上单调递减，在上单调递增，
所以当时，的极小值是，
当时，的极大值是
因此，有一个极大值点和一个极小值点.
【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数的单调性、极值的方法，并灵活应用，若已知函数单调递减，则；若已知函数单调递增，则，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
21．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）先求解出，然后根据对进行分类讨论：、；当时，根据零点个数直接判断即可，当时，先分析单调性，然后分析最小值的取值正负以及根据零点的存在性定理判断零点个数，由此确定出有两个零点时的取值范围；
（2）通过等式变形，将待证明的问题转化为“当时，”，通过构造新函数，利用导数分析其单调性确定出最值，由此完成证明.
【详解】解：（1）的定义域为，
①当时，恒成立，在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意；
②当时，，且当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
从而的最小值为．
（i）若，即，此时至多有一个零点，不符合题意：
（ii）若，即，
∵在上单调递增，，，
根据零点存在性定理得，在内有且只有一个零点
又∵在上单调递减，且，
考虑的正负，令，，
则，∴在上单调递减，
∴，即，
∵，∴，，
根据零点存在性定理得，在内有且只有一个零点．
所以，当时，恰有两个零点，符合题意．
综上得，．
（2）由条件得，，∴

要证，即证，即证，
即证，即证①，
设，不妨设，由知，
证①式，即转化为证明：当时，，
设，则，
∴当时，恒成立，即在上单调递增，
∴当时，，
所以成立．
【点睛】思路点睛：导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题；
（3）构造关于或的新函数，同时根据已知条件确定出或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.
22．（1）；（2）．
【分析】（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得值域；
（2）解方程，由第二小的正数解，第三小的正数解大于可得出的范围．
【详解】（1），
因为，所以的值域是．
（2），，，显然，，，
因为方程在上只有两个解，又，所以，解得．
【点睛】本题考查求正弦型函数的值域，考查二倍角公式和两角和的正弦公式，考查三角方程的解，解题关键是由三角函数恒等变换化函数为形式，然后利用正弦函数性质求解．
23．（1）当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）①；②证明见解析.
【分析】（1）求导得到，分，讨论求解.
（2）①由（1）知，当时，，即当时，曲线恒在上方，则由求解.②由①知.注意到,则，即，然后两边同取对数求解.
【详解】（1）.
当时，恒成立，在上单调递增.
当时，由得，，∴.
∴在和上单调递增，
在上单调递减.
（2）①由（1）知，当时，，即当时，曲线恒在上方.
按题意有，，即，∴.
②由①知.
注意到，
∴，
∴，
两边同取自然对数得，，
即.
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，数列与不等式问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.